微專題10　數(shù)列的遞推關(guān)系與通項1.求數(shù)列的通項公式是高考的重點內(nèi)容，等差、等比數(shù)列可直接利用其通項公式求解，但有些數(shù)列是以遞推關(guān)系給出的，需要構(gòu)造新數(shù)列轉(zhuǎn)為等差或等比數(shù)列，再利用公式求解.2.利用數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項，常見的方法有：(1)累加法，(2)累乘法，(3)構(gòu)造法(包括輔助數(shù)列法，取倒數(shù)法，取對數(shù)法等).類型一　利用an與Sn的關(guān)系求通項1.已知Sn求an的步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時an的表達式.(3)對n＝1時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，若符合，則數(shù)列的通項公式合寫；若不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫.2.Sn與an關(guān)系問題的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.例1 (1)已知數(shù)列{an}為正項數(shù)列，且＋＋…＋＝Sn，求數(shù)列{an}的通項公式；(2)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且Sn＝，求數(shù)列{an}的通項公式.解　(1)由題知＋＋…＋＝Sn，     ①則＋＋…＋＝Sn－1(n≥2，n∈N*)，②由①－②可得＝an，即4Sn＝a＋2an，n≥2，n∈N*，在已知等式中令n＝1，得＝S1，則4S1＝a1(a1＋2)，③滿足上式，所以4Sn＝a＋2an，④則4Sn－1＝a＋2an－1(n≥2)， ⑤④－⑤可得4an＝a＋2an－a－2an－1?2(an＋an－1)＝a－a.因為a－a＝(an＋an－1)(an－an－1)，an>0，所以an－an－1＝2，所以{an}為公差是2的等差數(shù)列，由③可解得a1＝2，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n(n∈N*).(2)由Sn＝，得當(dāng)n≥2時，Sn＝，所以2Sn＝Sn－Sn－1＋，即Sn＋Sn－1＝，所以S－S＝1，所以{S}為公差是1的等差數(shù)列，所以S＝S＋(n－1).在Sn＝中，令n＝1可得S1＝，解得a1＝1，所以S＝n，所以Sn＝，所以an＝＝所以an＝－(n∈N*).訓(xùn)練1 已知正項數(shù)列{an＋2n－1}的前n項和為Sn，且4Sn＝a＋(2n＋2)an＋4n－1＋2n－3.求數(shù)列{an}的通項公式.解　由題知4Sn＝a＋(2n＋2)an＋4n－1＋2n－3＝(an＋2n－1)2＋2(an＋2n－1)－3，令bn＝an＋2n－1，則4Sn＝b＋2bn－3，             ①當(dāng)n≥2時，4Sn－1＝b＋2bn－1－3，②由①－②，得4bn＝b－b＋2bn－2bn－1，整理得(bn－bn－1－2)(bn＋bn－1)＝0.因為bn>0，所以bn－bn－1＝2(n≥2).又4S1＝b＋2b1－3，即b－2b1－3＝0，解得b1＝3或b1＝－1(舍去)，所以數(shù)列{bn}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，則bn＝2n＋1，所以an＝bn－2n－1＝2n＋1－2n－1(n∈N*).類型二　構(gòu)造輔助數(shù)列求通項(1)形如an＝pan－1＋q(p≠1，q≠0)的形式，通?？蓸?gòu)造出等比數(shù)列an＋＝p，進而求出通項公式.(2)形如an＝pan－1＋qn，此類問題可先處理qn，兩邊同時除以qn，得＝p＋1，進而構(gòu)造成＝·＋1，設(shè)bn＝，從而變成bn＝bn－1＋1，從而將問題轉(zhuǎn)化為第(1)個問題.(3)形如qan－1－pan＝anan－1，可以考慮兩邊同時除以anan－1，轉(zhuǎn)化為－＝1的形式，進而可設(shè)bn＝，遞推公式變?yōu)?/span>qbn－pbn－1＝1，從而轉(zhuǎn)變?yōu)樯厦娴?/span>(1)個問題.(4)形如an＝(其中n≥2，mkb≠0)取倒數(shù)，得到＝·?＝·＋，轉(zhuǎn)化為(1)中的類型.(5)形如an＝pa(n≥2，an，p>0)兩邊取常用對數(shù)，得lg an＝rlg an－1＋lg p，轉(zhuǎn)化為(1)中的類型.考向1　構(gòu)造法求通項例2 (1)在數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2an＋1－(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項公式.解　(1)由an＝2an＋1－，得2nan＝2n＋1an＋1－1，所以數(shù)列{2nan}是首項和公差均為1的等差數(shù)列，于是2nan＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝(n∈N*).(2)因為Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，n∈N*.因為a1＝S1＝1，所以可推出Sn＋1>0，故＝2，即{Sn＋1}為等比數(shù)列.因為S1＋1＝2，公比為2，所以Sn＋1＝2n，即Sn＝2n－1.因為Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，所以當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，又a1＝1也滿足此式，所以an＝2n－1(n∈N*).考向2　取倒數(shù)法求通項例3 已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a1＝2，求數(shù)列{an}的通項公式.解　對an＋1＝兩邊取倒數(shù)，可得＝＋1，由＋＝3.∴數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，∴＋＝3n－1，則an＝(n∈N*).考向3　取對數(shù)法求通項例4 設(shè)正項數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝2a(n≥2).求數(shù)列{an}的通項公式.解　對an＝2a兩邊取對數(shù)得log2an＝1＋2log2an－1，∴log2an＋1＝2(log2an－1＋1)，設(shè)bn＝log2an＋1，則{bn}是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列，所以bn＝2n－1，即log2an＋1＝2n－1，故an＝22n－1－1(n∈N*).訓(xùn)練2 (1)若數(shù)列{an}中，a1＝3，且an＋1＝a，則an＝________.(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝，則an＝________.答案　(1)32n－1(n∈N*)　(2)(n∈N*)解析　(1)易知an>0，由an＋1＝a得lg an＋1＝2lg an，故{lg an}是以lg 3為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則lg an＝lg a1·2n－1＝lg 32n－1，即an＝32n－1(n∈N*).(2)由an＝，取倒數(shù)得＝2＋，故是以2為公差，1為首項的等差數(shù)列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＝(n∈N*).(3)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，求數(shù)列{an}的通項公式.解　因為an＋1＝an＋1，所以an＋1－2＝(an－2)，所以數(shù)列{an－2}是以－1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以an－2＝－1×，所以an＝2－，n∈N*.一、基本技能練1.(2022·湖北新高考協(xié)作體聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項a1＝2，其前n項和為Sn，若Sn＋1＝2Sn＋1，則a7＝________.答案　96解析　因為Sn＋1＝2Sn＋1，所以Sn＝2Sn－1＋1(n≥2)，兩式相減得an＋1＝2an(n≥2)，又因為a1＝2，S2＝a1＋a2＝2a1＋1，得a2＝3，所以數(shù)列{an}從第二項開始成等比數(shù)列，因此其通項公式為an＝所以a7＝3×25＝96.2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________.答案　an＝(n∈N*)解析　由Sn＝n2an可得，當(dāng)n≥2時，Sn－1＝(n－1)2an－1，則an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，即(n2－1)an＝(n－1)2an－1，故＝，所以an＝···…···a1＝···…·××1＝.當(dāng)n＝1時，a1＝1滿足an＝.故數(shù)列{an}的通項公式為an＝，n∈N*.3.已知正項數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，則an＝________.答案　221－n(n∈N*)解析　將an＋1＝兩邊取以2為底的對數(shù)得log2an＋1＝log2an，∴數(shù)列{log2an}是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，故log2an＝1×＝21－n，即an＝221－n (n∈N*).4.數(shù)列{an}的首項a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N*)，令bn＝log3(an＋1)，則bn＝________.答案　n(n∈N*)解析　由an＋1＝3an＋2(n∈N*)可知an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝2，知an＋1≠0，所以數(shù)列{an＋1}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，因此an＋1＝3·3n－1＝3n，故bn＝log3(an＋1)＝n.5.(2022·南京調(diào)研)在數(shù)列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，則通項公式bn＝________.答案　(n∈N*)解析　由bn＋1＝，且b1＝－1.易知bn≠0，得＝＋3.因此＋3＝2，＋3＝2，故是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，于是＋3＝2·2n－1，可得bn＝，n∈N*.6.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋ln 3(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項an＝________.答案　(1＋ln 3)·2n－1－ln 3(n∈N*)解析　由an＝2an－1＋ln 3得an＋ln 3＝2(an－1＋ln 3)，則{an＋ln 3}是以1＋ln 3為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋ln 3＝(1＋ln 3)·2n－1，因此an＝(1＋ln 3)·2n－1－ln 3(n∈N*).7.已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1＋2an.某同學(xué)已經(jīng)證明了數(shù)列{an＋1－2an}和數(shù)列{an＋1＋an}都是等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式是an＝________.答案　(n∈N*)解析　因為an＋2＝an＋1＋2an，所以當(dāng)n＝1時， a3＝a2＋2a1＝5.令bn＝an＋1－2an，則{bn}為等比數(shù)列.又b1＝a2－2a1＝1，b2＝a3－2a2＝－1，所以等比數(shù)列{bn}的公比q＝＝－1，所以bn＝(－1)n－1，即an＋1－2an＝(－1)n－1.①令cn＝an＋1＋an，則{cn}為等比數(shù)列，c1＝a2＋a1＝4，c2＝a3＋a2＝8，所以等比數(shù)列{cn}的公比q1＝＝2，所以cn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＋1＋an＝2n＋1.②聯(lián)立①②，解得an＝.8.(2022·青島二模)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝，則b2 023＝________.答案　解析　因為an＋bn＝1，bn＋1＝，所以1－an＋1＝，an＋1＝1－＝，所以＝＋1，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為1，首項為＝2，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，所以an＝，所以bn＝，所以b2 023＝.9.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足2Sn－nan＝3n(n∈N*)，且S3＝15，則S10＝________.答案　120解析　當(dāng)n＝1時，2S1－a1＝3，解得a1＝3.又2Sn－nan＝3n，①當(dāng)n≥2時，2Sn－1－(n－1)an－1＝3(n－1)，②所以①－②得(n－1)an－1－(n－2)an＝3， ③當(dāng)n≥3時，(n－2)an－2－(n－3)an－1＝3，④所以④－③得(n－1)·an－1－(n－2)an＝(n－2)an－2－(n－3)an－1，可得2an－1＝an＋an－2，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.因為a1＝3，S3＝3a1＋3d＝9＋3d＝15，解得d＝2，故S10＝10×3＋×2＝120.10.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，則數(shù)列{an}的通項公式為________.答案　an＝2n＋n(n∈N*)解析　∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，∴＝2，∴數(shù)列{an－n}是以a1－1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n(n∈N*).11.數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋2n＋1，a1＝－1，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________.答案　－2n＋2＋(n∈N*)解析　∵an＋1＝3an＋2n＋1，∴＝·＋1,∴＋2＝，∴數(shù)列是以＋2＝為首項，為公比的等比數(shù)列，∴＋2＝×＝，∴an＝3n－2n＋1，∴Sn＝(31＋32＋…＋3n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝－＝－2n＋2＋(n∈N*).12.已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋3an－1，則{an}的通項公式為________.答案　an＝(n∈N*)解析　∵an＋1＝2an＋3an－1，∴an＋1＋an＝3(an＋an－1)，∴{an＋1＋an}是以a2＋a1＝3為首項，3為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＋an＝3×3n－1＝3n.①又an＋1－3an＝－(an－3an－1)，∴{an＋1－3an}是以a2－3a1＝－1為首項，－1為公比的等比數(shù)列，∴an＋1－3an＝(－1)×(－1)n－1＝(－1)n，②由①－②得4an＝3n－(－1)n，∴an＝(n∈N*).二、創(chuàng)新拓展練13.(2022·金麗衢12校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且Tn＝a1a2…an，若Tn＋1＝，n∈N*，則(　　)A.a50∈  B.a50∈C.a10∈  D.a10∈答案　B解析　因為Tn＝a1a2…an，所以an＋1＝.因為Tn＋1＝，所以an＋1＝，所以＝an＋.因為a1＝1>0，所以>>0，a2＝，所以0<an＋1<an≤1，所以＝a＋＋2，所以a＋2＝－∈，n≥2.由累加法可得－∈(16，18)，所以∈(，)，所以a10∈，同理可得a50∈＝，故選B.14.(多選)(2022·武漢調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是(　　)A.為等比數(shù)列B.{an}的通項公式為an＝C.{an}為遞增數(shù)列D.的前n項和Tn＝2n＋2－3n－4答案　ABD解析　因為＝＝＋3，所以＋3＝2，又＋3＝4≠0，所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以＋3＝4×2n－1，則an＝，所以{an}為遞減數(shù)列，的前n項和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝22＋23＋…＋2n＋1－3n＝－3n＝2n＋2－3n－4，故ABD正確.15.(多選)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{an}，則(　　)A.a4＝12  B.an＋1＝an＋n＋1C.a100＝5 050  D.2an＋1＝an·an＋2答案　BC解析　由題意知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，an＝an－1＋n，故an＝，∴a4＝＝10，故A錯誤；an＋1＝an＋n＋1，故B正確；a100＝＝5 050，故C正確；2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，an·an＋2＝，顯然2an＋1≠an·an＋2，故D錯誤.16.(多選)已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依次類推，第n項記為an，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則(　　)A.a60＝16  B.S18＝128C.a＝2k－1  D.S＝2k－k－1答案　AC解析　由題意可將數(shù)列分組：第一組為20，第二組為20，21，第三組為20，21，22，……，則前k組一共有1＋2＋…＋k＝個數(shù).第k組第k個數(shù)為2k－1，故a＝2k－1，所以C正確.因為＝55，所以a55＝29，又＝66，則a60為第11組第5個數(shù)，第11組為20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，210，故a60＝24＝16，所以A正確.每一組數(shù)的和為20＋21＋…＋2k－1＝＝2k－1，故前k組數(shù)之和為21＋22＋…＋2k－k＝－k＝2k＋1－2－k，S＝2k＋1－k－2，所以D錯誤.S15＝26－5－2＝57，S18＝S15＋20＋21＋22＝26－5－2＋7＝64，所以B錯誤.故選AC.17.已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝，則該數(shù)列的通項公式an＝________.答案　(n∈N*)解析　由＝＝＝·，所以是首項為＝2，公比為的等比數(shù)列，所以＝2×，解得an＝＋2＝，n∈N*.18.(2022·徐州考前卷)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，寫出一個滿足Sn＝an的通項公式：an＝________.答案　2n(答案不唯一)解析　當(dāng)an＝2n時，Sn＝＝2n＋1－2，an＝2n＝2n＋1－2＝Sn，∴an＝2n滿足條件.
 

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