?2020-2021學(xué)年八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共12小題，共36分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來(lái)，每小題選對(duì)得3分，錯(cuò)選、不選或選出的答案超過(guò)一個(gè)均記0分）
1．下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．下列式子中：，分式的個(gè)數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如圖，△ABC≌△DEF，點(diǎn)E、C、F、B在同一條直線上．下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠DEF C．AC＝EF D．BF＝CE
4．已知點(diǎn)P（a，b﹣2）與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（　　）
A．Q（a，﹣b+2） B．Q（﹣a，b﹣2） C．Q（a，b+2） D．Q（﹣a，﹣b+2）
5．下列分式中一定有意義的是（　　）
A． B． C． D．
6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M，作射線AM交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝5，AB＝16，則△ABD的面積是（　?。?br />
A．20 B．40 C．60 D．80
7．下列各式，從左到右變形正確的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
8．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，△ADC的周長(zhǎng)為10，且BC﹣AC＝2，則BC的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．4 B．6 C．8 D．10
9．已知，則代數(shù)式的值為（　?。?br /> A．5 B． C． D．
10．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，則∠EFD＝（　?。?br />
A．50° B．60° C．70° D．80°
11．如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方形紙條折成如圖的形狀，已知∠1＝110°，則∠2的度數(shù)為（　?。?br />
A．130° B．125° C．110° D．105°
12．如圖，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是線段AD，BE的中點(diǎn)．以下結(jié)論：①AD＝BE；②∠DOE＝α；③△CMN是等邊三角形；④連接OC，則OC平分∠AOE．其中正確的結(jié)論是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
二、填空題（本大題共6小題,每小題3分，共18分．把答案填寫在題中橫線上．）
13．若分式的值為0，則x的值為　 ?。?br /> 14．分式，﹣，的最簡(jiǎn)公分母是　 ?。?br /> 15．如圖，AB＝DE，AB∥DE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件　 　，使△ABC≌△DEF．

16．如圖，已知點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)，∠AON＝50°，若△AOP為等腰三角形，則∠A＝　 ?。?br />
17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝3，△ABC面積為，AC的垂直平分線EF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△PCD周長(zhǎng)的最小值為　 ?。?br />
18．已知：．請(qǐng)計(jì)算：y2021＝　 　．（用含x的代數(shù)式表示）
三、解答題（本題共7小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟．）
19．計(jì)算：
（1）；
（2）；
（3）．
20．先化簡(jiǎn)：，再?gòu)?，﹣2，3，﹣3中選一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值．
21．已知：如圖，AB＝CD，AC＝BD，AC、BD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F．求證：BF＝CF．

22．已知：，求A，B的值．
23．如圖，在5×7的方格紙上畫(huà)有AB，CD兩條線段，按下列要求畫(huà)圖．
（1）在圖1中畫(huà)出線段AB關(guān)于CD所在直線成軸對(duì)稱的圖形；
（2）在圖2中添加一條線段，使圖中的3條線段組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形．（用粗線畫(huà)出所有情形）

24．如圖，在△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且BD＝BE，連接CD，AE，交于點(diǎn)F．
（1）判斷∠BAE與∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）試說(shuō)明：過(guò)點(diǎn)B，F(xiàn)的直線垂直平分線段AC．

25．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以O(shè)C為一邊作等邊△OCD，使△OCD和△ABC在直線BC的同側(cè)，連接AD．
（1）△ADC與△BOC全等嗎？說(shuō)明你的理由；
（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？請(qǐng)直接寫出答案．



2020-2021學(xué)年八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共12小題）
1．下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
2．下列式子中：，分式的個(gè)數(shù)是（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【解答】解：屬于分式的為：，，共2個(gè)，
故選：B．
3．如圖，△ABC≌△DEF，點(diǎn)E、C、F、B在同一條直線上．下列結(jié)論正確的是（　　）

A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠DEF C．AC＝EF D．BF＝CE
【分析】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等解答．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，但∠B與∠D不一定相等，A選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠EFD，當(dāng)∠ACB與∠DEF不一定相等，B選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，當(dāng)AC與EF不一定相等，C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CF＝EF﹣CF，即BF＝CE，D選項(xiàng)結(jié)論正確，符合題意；
故選：D．
4．已知點(diǎn)P（a，b﹣2）與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（　　）
A．Q（a，﹣b+2） B．Q（﹣a，b﹣2） C．Q（a，b+2） D．Q（﹣a，﹣b+2）
【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”進(jìn)行解答即可．
【解答】解：∵點(diǎn)P（a，b﹣2）與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，﹣b+2）．
故選：A．
5．下列分式中一定有意義的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】分式有意義的條件是分母不等于零，據(jù)此可得結(jié)論．
【解答】解：A．當(dāng)x＝0時(shí)，無(wú)意義，不合題意；
B．當(dāng)x＝±1時(shí)，無(wú)意義，不合題意；
C．當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，有意義，符合題意；
D．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，無(wú)意義，不合題意；
故選：C．
6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M，作射線AM交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝5，AB＝16，則△ABD的面積是（　?。?br />
A．20 B．40 C．60 D．80
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC＝5，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：作DH⊥AB于H，

由基本尺規(guī)作圖可知，AD是△ABC的角平分線，
∵∠C＝90°，DC⊥AB，
∴DH＝DC＝5，
∴△ABD的面積＝×AB×DE＝40，
故選：B．
7．下列各式，從左到右變形正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)（分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變）判斷即可．
【解答】解：A、2前面是加號(hào)不是乘號(hào)，不可以約分，原變形錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、原式＝﹣，原變形錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、原式＝＝，原變形正確，故本選項(xiàng)符合題意；
D、從左邊到右邊不正確，原變形錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
8．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，△ADC的周長(zhǎng)為10，且BC﹣AC＝2，則BC的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴DA＝DB，
∵△ADC的周長(zhǎng)為10，
∴AC+DC+AD＝10，
∴AC+CD+BD＝AC+BC＝10，
∵BC﹣AC＝2，
∴BC＝6，
故選：B．
9．已知，則代數(shù)式的值為（　?。?br /> A．5 B． C． D．
【分析】把﹣＝5變形為x﹣y＝﹣5xy，代入代數(shù)式計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：∵﹣＝5，
∴＝5，
∴y﹣x＝5xy，
∴x﹣y＝﹣5xy，
∴
＝
＝
＝
＝5，
故選：A．
10．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，則∠EFD＝（　?。?br />
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠C＝70°，證明△AEF≌△CFD（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠AFE＝∠CDF，則可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝40°，AB＝CB，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，
在△AEF和△CFD中，
，
∴△AEF≌△CFD（SAS），
∴∠AFE＝∠CDF，
∵∠AFE+∠EFD+∠CFD＝180°，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴∠EFD＝∠C＝70°．
故選：C．
11．如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方形紙條折成如圖的形狀，已知∠1＝110°，則∠2的度數(shù)為（　?。?br />
A．130° B．125° C．110° D．105°
【分析】由平行線的性質(zhì)可求∠FCD＝180°﹣∠1＝70°，進(jìn)而可得∠FCB＝55°，再由平行線的性質(zhì)可求解．
【解答】解：如圖，

∵EF∥CD，
∴∠1+∠FCD＝180°，
∴∠FCD＝180°﹣∠1＝70°，
∵2∠FCB+∠FCD＝180°，
∴∠FCB＝55°，
∵AB∥CF，
∴∠2+∠FCB＝180°，
∴∠2＝180°﹣55°＝125°，
故選：B．
12．如圖，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是線段AD，BE的中點(diǎn)．以下結(jié)論：①AD＝BE；②∠DOE＝α；③△CMN是等邊三角形；④連接OC，則OC平分∠AOE．其中正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【分析】①根據(jù)全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得到AD＝BE；故①正確；
②設(shè)CD與BE交于F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC＝∠BEC，得到∠DOE＝∠DCE＝α，故②正確；
③根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC根據(jù)線段的中點(diǎn)的定義得到AM＝BN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，得到∠MCN＝α，推出△CMN不一定是等邊三角形，故③不符合題意；
④過(guò)C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CH＝CG，根據(jù)角平分線的判定定理即可得到OC平分∠AOE，故④正確．
【解答】解：①∵CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
故①正確；
②設(shè)CD與BE交于F，

∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵∠CFE＝∠DFO，
∴∠DOE＝∠DCE＝α，
故②正確；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，
又∵點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)，
∴AM＝AD，BN＝BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝α，
∴∠ACM+∠MCB＝α，
∴∠BCN+∠MCB＝α，
∴∠MCN＝α，
∴△MNC不一定是等邊三角形，故③不符合題意；
④過(guò)C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，

∴∠CHD＝∠ECG＝90°，
在△CGE和△CHD中，

∴△CGE≌△CHD（AAS），
∴CH＝CG，
∴OC平分∠AOE，故④正確，
故選：A．
二．填空題
13．若分式的值為0，則x的值為　﹣3　．
【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．兩個(gè)條件需同時(shí)具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題．
【解答】解：因?yàn)榉质降闹禐?，所以＝0，
化簡(jiǎn)得x2﹣9＝0，即x2＝9．
解得x＝±3
因?yàn)閤﹣3≠0，即x≠3
所以x＝﹣3．
故答案為﹣3．
14．分式，﹣，的最簡(jiǎn)公分母是　6a2b2c2?。?br /> 【分析】分母的系數(shù)的最小公倍數(shù)是6，同時(shí)取a2、b2、c2的積．
【解答】解：分式，﹣，的分母分別是a2b、c2，2ac2、3b2c，故最簡(jiǎn)公分母為6a2b2c2．
故答案為6a2b2c2．
15．如圖，AB＝DE，AB∥DE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件　∠A＝∠D或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F　，使△ABC≌△DEF．

【分析】判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加條件為∠A＝∠D，或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F．
【解答】解：可添加條件為∠A＝∠D或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F．
理由如下：若添加條件∠A＝∠D．
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
若添加BE＝CF或BC＝EF，可由SAS證得△ABC≌△DEF；
若添加∠ACB＝∠F，可由AAS證得△ABC≌△DEF；
故答案是：∠A＝∠D或BE＝CF或BC＝EF或∠ACB＝∠F（填一個(gè)即可）．
16．如圖，已知點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)，∠AON＝50°，若△AOP為等腰三角形，則∠A＝　50°或65°或80°?。?br />
【分析】若△AOP為等腰三角形則有AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三種情況，分別利用等腰三角形的兩底角相等可求得∠A的度數(shù)．
【解答】解：分三種情況：
①當(dāng)AO＝AP時(shí)，則有∠O＝∠APO＝50°，
∴∠A＝80°；
②當(dāng)AO＝OP時(shí)，則∠A＝∠APO＝（180°﹣50°）＝65°；
③當(dāng)OP＝AP時(shí)，則∠A＝∠AON＝50°，
綜上可知，∠A為50°或65°或80°，
故答案為：50°或65°或80°．

17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝3，△ABC面積為，AC的垂直平分線EF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△PCD周長(zhǎng)的最小值為　6.5?。?br />
【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【解答】解：連接AD，

∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC?AD＝×3×AD＝，
解得AD＝5，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴AD的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，
∴△CDP的周長(zhǎng)最短＝（CP+PD）+CD＝AD+BC＝5+×3＝6.5．
故答案為：6.5．
18．已知：．請(qǐng)計(jì)算：y2021＝　?。ㄓ煤瑇的代數(shù)式表示）
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算出y2、y3、y4，據(jù)此得出循環(huán)規(guī)律，再進(jìn)一步求解可得．
【解答】解：∵，
∴，
，
．
∴這列式子的結(jié)果以，為周期，每3個(gè)數(shù)一循環(huán)．
∵2021÷3＝673...2，
∴．
故答案為：．
三．解答題（共7小題）
19．計(jì)算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先計(jì)算乘方、將除法轉(zhuǎn)化為乘法、同時(shí)對(duì)除式因式分解，再約分即可；
（2）先將原式轉(zhuǎn)化為同分母分式的減法，再根據(jù)法則計(jì)算即可；
（3）根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得答案．
【解答】解：（1）原式＝?＝＝；
（2）原式＝﹣
＝
＝；
（3）原式＝?+
＝+
＝
＝．
20．先化簡(jiǎn)：，再?gòu)?，﹣2，3，﹣3中選一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值．
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再根據(jù)分式有意義的條件得出a的值，繼而代入計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝?
＝﹣，
∵a﹣2≠0，a﹣3≠0，a+3≠0，
∴a≠2，a≠±3，
∴當(dāng)a＝﹣2時(shí)，原式＝﹣＝﹣．
21．已知：如圖，AB＝CD，AC＝BD，AC、BD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F．求證：BF＝CF．

【分析】根據(jù)SSS證明△ABC≌△DCB，進(jìn)而解答即可．
【解答】證明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB＝∠DBC，
∴EB＝EC，
∵EF⊥BC，
∴BF＝CF．
22．已知：，求A，B的值．
【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則以及二元一次方程組的解法即可求出答案．
【解答】解：∵+＝，
∴＝，
∴，
解得：．
23．如圖，在5×7的方格紙上畫(huà)有AB，CD兩條線段，按下列要求畫(huà)圖．
（1）在圖1中畫(huà)出線段AB關(guān)于CD所在直線成軸對(duì)稱的圖形；
（2）在圖2中添加一條線段，使圖中的3條線段組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形．（用粗線畫(huà)出所有情形）

【分析】（1）直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出答案；
（2）直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：（1）如圖1所示：A′B′即為所求；

（2）如圖2所示：即為所求．

24．如圖，在△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且BD＝BE，連接CD，AE，交于點(diǎn)F．
（1）判斷∠BAE與∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）試說(shuō)明：過(guò)點(diǎn)B，F(xiàn)的直線垂直平分線段AC．

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）連接BF并延長(zhǎng)交AC于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠BCA，由（1）可知∠BAE＝∠BCD，得到∠FAC＝∠FCA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∠BAE＝∠BCD，
理由：在△BAE與△BCD中，
，
∴△BAE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE＝∠BCD；
（2）連接BF并延長(zhǎng)交AC于M，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
由（1）可知∠BAE＝∠BCD，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠BCA﹣∠BCD，
即∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴點(diǎn)F在AC的垂直平分線上，
∵AB＝AC，
∴點(diǎn)B在AC的垂直平分線上，
∴過(guò)點(diǎn)B，F(xiàn)的直線垂直平分線段AC．

25．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以O(shè)C為一邊作等邊△OCD，使△OCD和△ABC在直線BC的同側(cè)，連接AD．
（1）△ADC與△BOC全等嗎？說(shuō)明你的理由；
（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？請(qǐng)直接寫出答案．

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，求出∠ACD＝∠BCO，根據(jù)SAS可證△ADC≌△BOC；
（2）首先根據(jù)已知條件可以證明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以求出∠ADO的度數(shù)，由此即可判定△AOD的形狀；
（3）分三種情況討論，利用已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）△ADC≌△BOC，
理由如下：∵△ABC和△ODC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
（2）△ADO是直角三角形，
理由如下：∵△OCD是等邊三角形，
∴OC＝CD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
∴△BOC≌△ADC（SAS），
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（3）∵△OCD是等邊三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①當(dāng)∠AOD＝∠ADO時(shí)，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②當(dāng)∠AOD＝∠OAD時(shí)，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③當(dāng)∠ADO＝∠OAD時(shí)，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
綜上所述：當(dāng)α＝110°或125°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．





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