?2021年廣西貴港市覃塘區(qū)中考數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試題
學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________


一、單選題
1．-2的倒數(shù)是（ ）
A．-2 B． C． D．2
2．目前我國經(jīng)濟保持了中高速增長，2020年國內(nèi)生產(chǎn)總值突破100萬億元，穩(wěn)居世界第二，將數(shù)據(jù)“100萬億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．1×1013 B．1×1014 C．1×1015 D．1×1016
3．下列運算不正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2?a3＝a5 B．（y3）4＝y(tǒng)12
C．（﹣2x）3＝﹣8x3 D．x3+x3＝2x6
4．從n個蘋果和4個雪梨中，任選1個，若選中蘋果的概率是，則n的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．若點M(a，-1)與點N(2，b)關(guān)于y軸對稱，則a+b的值是( )
A．3 B．-3 C．1 D．-1
6．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx+2k﹣1=0的兩個實數(shù)根分別是x1、x2，且x12+x22=7，則（x1﹣x2）2的值是（　?。?br /> A．13或11 B．12或﹣11 C．13 D．12
7．若關(guān)于x的不等式組無解，則m的取值范圍（　?。?br /> A．m＞3 B．m＜3 C．m≤3 D．m≥3
8．下列四個命題：①一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；②對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；③順次連結(jié)矩形四邊中點得到的四邊形是菱形；④等邊三角形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．其中真命題共有（ ?）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并與○O相交于點D，連接BD，則∠DBC的大小為( )

A．15° B．35° C．25° D．45°
10．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE∥AC， AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA=1：36，則S△BDE與S△BAC的比是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：36
11．如圖，點P是菱形AOBC內(nèi)任意一點，∠C＝45°，OP＝2，點M和點N分別是射線OA，OB上的動點，則△PMN周長的最小值是（　?。?br />
A．2 B．2 C．4 D．2
12．如圖，直線y=kx+b（k≠0）與拋物線y=ax2（a≠0）交于A，B兩點，且點A的橫坐標(biāo)是﹣2，點B的橫坐標(biāo)是3，則以下結(jié)論：
①拋物線y=ax2（a≠0）的圖象的頂點一定是原點；
②x＞0時，直線y=kx+b（k≠0）與拋物線y=ax2（a≠0）的函數(shù)值都隨著x的增大而增大；
③AB的長度可以等于5；
④△OAB有可能成為等邊三角形；
⑤當(dāng)﹣3＜x＜2時，ax2+kx＜b，
其中正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤

二、填空題
13．若式子1+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是________．
14．分解因式：m2n+4mn﹣4n＝_____．
15．已知一組從小到大排列的數(shù)據(jù)： 1，，，2，6，10的平均數(shù)與中位數(shù)都是5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______________．
16．如圖，直線a∥b，∠B＝22°，∠C＝50°，則∠A的度數(shù)為_____°．

17．如圖，將半徑為2，圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B的對應(yīng)點D恰好落在上，點C的對應(yīng)點為E，則圖中陰影部分的面積為_____．

18．已知正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖所示放置，點A1，A2，A3…在直線y＝x+1上，C1，C2，C3…在x軸上，則點A2021的坐標(biāo)是_____．


三、解答題
19．（1）計算：|﹣2|﹣（﹣）﹣2+（3.14﹣π）0+2cos30°．
（2）解分式方程：．
20．如圖，已知⊙O和點P（點P在⊙O內(nèi)部），請用直尺和圓規(guī)作⊙O的一條弦AB，使得弦AB經(jīng)過點P且最短（要求不寫作法，保留作圖痕跡）．

21．如圖，直線y＝ax+b（a≠0）與雙曲線y＝（k≠0）相交于點A(，4)和點B(m，1)．
（1）求k的值和直線AB的表達(dá)式；
（2）請根據(jù)圖象直接寫出不等式＜ax+b的解集．

22．為了取得扶貧工作的勝利，某市對扶貧工作人員進(jìn)行了扶貧知識的培訓(xùn)與測試，隨機抽取了部分人員的測試成績作為樣本，并將成績劃分為四個不同的等級，繪制成不完整統(tǒng)計圖如下圖，請根據(jù)圖中的信息，解答下列問題；

(1)求樣本容量；
(2)補全條形圖，并填空: ；
(3)若全市有5000人參加了本次測試，估計本次測試成績?yōu)榧壍娜藬?shù)為多少?
23．學(xué)校為獎勵在藝術(shù)節(jié)系列活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的同學(xué)，計劃購買甲、乙兩種獎品．已知購買甲種獎品30件和乙種獎品25件需花費1950元，購買甲種獎品15件和乙種獎品35件需花費1650元．
（1）求甲、乙兩種獎品的單價；
（2）學(xué)校計劃購買甲、乙兩種獎品共1800件，其中購買乙種獎品的件數(shù)不超過甲種獎品件數(shù)的2倍，學(xué)校分別購買甲、乙兩種獎品多少件才能使總費用最?。孔钚≠M用是多少元？
24．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F．

（1）試說明DF是⊙O的切線；
（2）若AC=3AE，求tanC．
25．如圖，已知拋物線y＝αx2+bx+3經(jīng)過點A(1，0)和點B(3，0)，與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）若P是直線BC下方的拋物線上一個動點，當(dāng)PBC的面積最大時，求點P的坐標(biāo)．
（3）設(shè)拋物線的對稱軸與BC交于點E，點M在拋物線的對稱軸上，點N在y軸上，當(dāng)以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形時，求點M的坐標(biāo)．

26．已知：矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E是BC邊的中點，點F是線段OD的中點，連接EF．

（1）如圖1，若AB＝2，∠CBD＝30°，則線段EF的長為　 ?。?br /> （2）如圖2，設(shè)EF與AC的交點為P，連接AF．
①求證：點P是線段EF的中點；
②若AF＝EF，矩形ABCD的形狀有怎樣的變化？并證明你的結(jié)論．


參考答案
1．B
【分析】
根據(jù)倒數(shù)的定義求解.
【詳解】
-2的倒數(shù)是-
故選B
【點睛】
本題難度較低，主要考查學(xué)生對倒數(shù)相反數(shù)等知識點的掌握

2．B
【分析】
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】
解：100萬億＝100000000000000＝1×1014，
故選：B．
【點睛】
本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
3．D
【分析】
根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的運算、積的乘方、合并同類項逐項判斷即可．
【詳解】
A、，此項正確
B、，此項正確
C、，此項正確
D、，此項錯誤
故選：D．
【點睛】
本題考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的運算、積的乘方、合并同類項，熟記各運算法則是解題關(guān)鍵．
4．B
【詳解】
解：由題意可得：，
解得：．
經(jīng)檢驗：是原方程的解且符合題意，
故選B．
5．B
【詳解】
∵點M(a，-1)與點N(2，b)關(guān)于y軸對稱，
∴a=-2，b=-1，
∴a+b=-3，
故選B.
【點睛】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)特定：點P（a，b）關(guān)于x軸的對稱的點的坐標(biāo)為P1（a，-b）；點P（a，b）關(guān)于y軸的對稱的點的坐標(biāo)為P2（-a，b）．
6．C
【詳解】
試題解析：∵關(guān)于x的一元二次方程x2-kx+2k-1=0的兩個實數(shù)根分別是x1、x2，
∴x1+x2=k，x1x2=2k-1，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7，即k2-4k-5=0，
解得：k1=-1，k2=5．
當(dāng)k=-1時，原方程為x2+x-3=0，
∴△=12-4×1×（-3）=13＞0，
∴k=-1符合題意，此時x1+x2=-1，x1x2=-3，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=13；
當(dāng)k=5時，原方程為x2-5x+9=0，
∴△=（-5）2-4×1×9=-11＜0，
∴k=5不符合題意，舍去．
綜上可知：（x1-x2）2的值是13．
故選C．
7．C
【分析】
根據(jù)“大大小小找不著”可得不等式2+m≥2m-1，即可得出m的取值范圍．
【詳解】
，
由①得：x＞2+m，
由②得：x＜2m﹣1，
∵不等式組無解，
∴2+m≥2m﹣1，
∴m≤3，
故選C．
【點睛】
考查了解不等式組，根據(jù)求不等式的無解，遵循“大大小小解不了”原則得出是解題關(guān)鍵．
8．B
【詳解】
①一組對邊平行，且一組對角相等，則可以判定另外一組對邊也平行，所以該四邊形是平行四邊形，故該命題正確；
②對角線互相垂直且相等的四邊形不一定是正方形，也可以是普通的四邊形（例如箏形，箏形的對角線垂直但不相等，不是正方形），故該命題錯誤；
③因為矩形的對角線相等，所以連接矩形的中點后都是對角線的中位線，所以四邊相等，所以是菱形，故該命題正確；
④等邊三角形是軸對稱圖形．不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，旋轉(zhuǎn)180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對稱圖形的定義．故該命題錯誤；
故選B．
9．A
【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠A =50°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACD=∠A=50°，由圓周角定理可行∠D=∠A=50°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得∠DBC的度數(shù).
【詳解】
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，
∵DC//AB，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵∠D=∠A=50°，
∴∠DBC=180°-∠D -∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，
故選A.
【點睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.
10．D
【詳解】
∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∴=（）2=，
∴=，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴=（）2=，
故選D．
11．B
【分析】
設(shè)點P關(guān)于OA的對稱點為J，關(guān)于OB的對稱點為K，當(dāng)點M、N在JK上時，△PMN的周長最?。?br /> 【詳解】
解：∵四邊形AOBC是菱形，∠C＝45°，
∴∠AOB＝45°，
分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點J、K，連接JK，分別交OA、OB于點M、N，連接OJ、OK．
∵點P關(guān)于OA的對稱點為J，關(guān)于OB的對稱點為K，
∴PM＝JM，OP＝OJ，∠JOA＝∠POA；
∵點P關(guān)于OB的對稱點為K，
∴PN＝KN，OP＝OK，∠KOB＝∠POB，
∴OJ＝OK＝OP＝2，∠JOK＝∠JOA+∠POA+∠POB+∠KOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝90°，
∴△JOK是等腰直角三角形，
∴JK＝．
∴△PMN的周長的最小值＝PM+MN+PN＝JM+MN+KN≥JK＝2，
故選：B．

【點睛】
本題考查了軸對稱--最短路線問題，熟知兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．
12．B
【詳解】
試題分析：①由頂點坐標(biāo)公式判斷即可；
②根據(jù)圖象得到一次函數(shù)y=kx+b為增函數(shù)，拋物線當(dāng)x大于0時為增函數(shù)，本選項正確；
③AB長不可能為5，由A、B的橫坐標(biāo)求出AB為5時，直線AB與x軸平行，即k=0，與已知矛盾；
④三角形OAB不可能為等邊三角形，因為OA與OB不可能相等；
⑤直線y=-kx+b與y=kx+b關(guān)于y軸對稱，作出對稱后的圖象，故y=-kx+b與拋物線交點橫坐標(biāo)分別為-3與2，找出一次函數(shù)圖象在拋物線上方時x的范圍判斷即可．
試題解析：①拋物線y=ax2，利用頂點坐標(biāo)公式得：頂點坐標(biāo)為（0，0），本選項正確；
②根據(jù)圖象得：直線y=kx+b（k≠0）為增函數(shù)；拋物線y=ax2（a≠0）當(dāng)x＞0時為增函數(shù)，則x＞0時，直線與拋物線函數(shù)值都隨著x的增大而增大，本選項正確；
③由A、B橫坐標(biāo)分別為-2，3，若AB=5，可得出直線AB與x軸平行，即k=0，與已知k≠0矛盾，故AB不可能為5，本選項錯誤；
④若OA=OB，得到直線AB與x軸平行，即k=0，與已知k≠0矛盾，∴OA≠OB，即△AOB不可能為等邊三角形，本選項錯誤；
⑤直線y=-kx+b與y=kx+b關(guān)于y軸對稱，如圖所示：

可得出直線y=-kx+b與拋物線交點C、D橫坐標(biāo)分別為-3，2，由圖象可得：當(dāng)-3＜x＜2時，ax2＜-kx+b，即ax2+kx＜b，
則正確的結(jié)論有①②⑤．
故選B．
考點：二次函數(shù)綜合題.
13．x≠－2
【分析】
要使分式有意義，則必須滿足分式的分母不為零.

【詳解】
根據(jù)題意可得：x+2≠0， 解得：x≠2．
【點睛】
本題主要考查的是分式有意義的條件，屬于基礎(chǔ)題型．理解分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．n（m2+4m﹣4）
【分析】
運用提取公因式法分解即可．
【詳解】
解：m2n+4mn﹣4n＝n（m2+4m﹣4）．
故答案為：n（m2+4m﹣4）．
【點睛】
本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的常用方法是解題關(guān)鍵．
15．6
【分析】
根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)列出方程組，從而得出關(guān)于x和y的二元一次方程組，從而得出答案．
【詳解】
解：根據(jù)題意可得：，
解得：，
∴這組數(shù)據(jù)為：1、3、4、6、6、10，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6．
【點睛】
本題主要考查的就是平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題型．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)；中位數(shù)是指將數(shù)據(jù)按大小順序排列起來，形成一個數(shù)列，居于數(shù)列中間位置的那個數(shù)據(jù)；眾數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)．
16．28
【分析】
如解析圖，由平行線的性質(zhì)可求得∠1＝∠C，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠A．
【詳解】
解：如圖，

∵直線a∥b，
∴∠1＝∠C＝50°，
又∠1＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠1﹣∠B＝50°﹣22°＝28°，
故答案為：28．
【點睛】
本題考查平行線的性質(zhì)以及三角形的外角定理，熟記基本性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．
17．
【分析】
連接BD，過A作AF⊥BD于F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出扇形ABC和扇形ADE的面積相等，AB＝AD＝BC＝BD＝2，求出△ABD是等邊三角形，求出∠ABF＝60°，解直角三角形求出BF和AF，再根據(jù)陰影部分的面積S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABD﹣S△ABD）求出答案即可．
【詳解】
解：連接BD，過A作AF⊥BD于F，則∠AFB＝90°，如圖，

∵將半徑為2，圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B的對應(yīng)點D恰好落在上，點C的對應(yīng)點為E，
∴扇形ABC和扇形ADE的面積相等，AB＝AD＝BC＝BD＝2，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝＝1，由勾股定理得：AF＝＝，
∴陰影部分的面積S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABD﹣S△ABD）
＝﹣（）
＝+，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積計算等知識點，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵，注意：如果扇形的圓心角為n°，扇形的半徑為r，那么扇形的面積S=．
18．(22020﹣1，22020)
【分析】
根據(jù)直線y＝x+1 這個條件，可以判定直線與x軸的夾角是45°，且OA1＝1；再結(jié)合正方形條件，可以判定所有三角形都是等腰直角三角形；點Ak（k＝1，2，3，…） 的高度（縱坐標(biāo)）恰為前一個正方形邊長的2倍，也是Ak﹣1 高度（縱坐標(biāo)）的2倍．即Ak＝2×Ak﹣1，所以，其中 A1＝1．
【詳解】
解：根據(jù)條件y＝x+1，可以得到該直線與x軸的夾角是45°，且OA1＝1，即；
再結(jié)合正方形條件，可以判定所有三角形都是等腰直角三角形；
于是A2 的高度是1+1＝2，即；
A3的高度是2+2＝4，即；
同樣A4 的高度是4+4＝8，即；
An的高度是2n-1．
所以當(dāng)n＝2021 時，A2021的高度是22020，即，
于是將該點的縱坐標(biāo)代入y＝x+1，得到x＝22020﹣1．
故答案是：（22020﹣1，22020）．
【點睛】
本題考查了一次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征及正方形的性質(zhì)，找到相關(guān)點的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
19．（1）﹣1；（2）無解
【分析】
（1）原式利用絕對值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，以及特殊角的三角函數(shù)值計算即可求出值；
（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】
解：（1）原式

＝﹣1；
（2）原分式方程左右同時乘，
去分母得：x（x+2）﹣x2﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
檢驗：把x＝1代入最簡公分母得：＝0，
∴原分式方程無解．
【點睛】
本題考查零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值計算，以及解分式方程等，熟記基本的運算法則以及分式方程最后需要檢驗是解題關(guān)鍵．
20．見解析
【分析】
作直線OP，過點P作EF⊥OP交⊙O于E，F(xiàn)，線段EF即為所求．
【詳解】
解：如圖，線段EF即為所求．

【點睛】
本題主要考查了利用垂線的做法作圖，準(zhǔn)確理解是解題的關(guān)鍵．
21．（1）2，y＝﹣2x+5；（2）x＜0或＜x＜2
【分析】
（1）首先利用A點的坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，然后代入B（m，1），即可得出B點坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法即可得出直線AB的 解析式；
（2）根據(jù)圖象求得即可．
【詳解】
解：（1）∵ 雙曲線y＝（k≠0）經(jīng)過A（，4），
∴ k＝＝2，
∴ 雙曲線為y＝，
把B（m，1）代入得，1＝，
解得m＝2，
∴ B（2，1），
把A、B的坐標(biāo)代入y＝ax+b得，
解得：，
∴一次函數(shù)解析式為：y＝﹣2x+5；
（2）由圖形可知，不等式＜ax+b的解集為：x＜0或＜x＜2．
【點睛】
本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式求法，正確得出B點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
22．(1)60；(2)10；(3)2000
【詳解】
【分析】（1）根據(jù)B等級的人數(shù)為18，占比為30%即可求得樣本容量；
（2）用樣本容量減去A等級、B等級、D等級的人數(shù)求得C等級的人數(shù)，補全條形圖，用D等級的人數(shù)除以樣本容量再乘以100%即可求得n；
（3）用5000乘以A等級所占的比即可求得.
【詳解】（1）樣本容量為：18÷30%=60；
（2）C等級的人數(shù)為：60-24-18-6=12，補全條形圖如圖所示：

6÷60×100%=10% ，
所以n=10，
故答案為10；
（3）估計本次測試成績?yōu)榧壍娜藬?shù)為：5000×=2000（人）.
【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、利用樣本估計總體，能從統(tǒng)計圖中得到必要信息是解題的關(guān)鍵.
23．（1）甲單價為40元/件，乙單價為30元/件；（2）600件甲種獎品、1200件乙種獎品時，總費用最小，最小費用是60000元
【分析】
（1）設(shè)甲種獎品的單價為x元/件，乙種獎品的單價為y元/件，根據(jù)“購買甲種獎品30件和乙種獎品25件需花費1950元，購買甲種獎品15件和乙種獎品35件需花費1650元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買甲種獎品m件，則購買乙種獎品（1800﹣m）件，設(shè)購買兩種獎品的總費用為w，由購買乙種獎品的件數(shù)不超過甲種獎品件數(shù)的2倍，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，再由總價＝單價×數(shù)量，可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
【詳解】
（1）設(shè)甲種獎品的單價為x元/件，乙種獎品的單價為y元/件，
依題意，得：，
解得：．
答：甲種獎品的單價為40元/件，乙種獎品的單價為30元/件．
（2）設(shè)購買甲種獎品m件，則購買乙種獎品（1800﹣m）件，設(shè)購買兩種獎品的總費用為w，
∵購買乙種獎品的件數(shù)不超過甲種獎品件數(shù)的2倍，
∴1800﹣m≤2m，
∴m≥600．
依題意，得：w＝40m+30（1800﹣m）＝10m+54000，
∵10＞0，
∴w隨m值的增大而增大，
∴當(dāng)學(xué)校購買600件甲種獎品、1200件乙種獎品時，總費用最小，最小費用是60000元．
【點睛】
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式．
24．（1）詳見解析；（2）
【分析】
（1）連接OD，根據(jù)等邊對等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，證得OD∥AC，證得OD⊥DF，從而證得DF是⊙O的切線；
（2）連接BE，AB是直徑，∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的值．
【詳解】
（1）連接OD，

∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；
（2）連接BE，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE=，
在RT△BEC中，tanC=．
25．（1）y＝x2﹣4x+3；（2）；（3）(2，1+2)或(2，1﹣2)或(2，3)
【分析】
（1）將A，B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法可求；
（2）設(shè)出點P的坐標(biāo)（m，m2﹣4m+3），用含有m的式子求得△PBC的面積，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)可求△PBC面積的最大值時的m的值，P點坐標(biāo)可求；
（3）利用分類討論的思想，分以CE為邊和以CE為對角線兩種情形討論．利用菱形的四條邊相等和對角線垂直平分的性質(zhì)可求點M的坐標(biāo)．
【詳解】
解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過A（1，0）和B（3，0），
∴．
解得：．
∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣4x+3；
（2）如圖，過點P作PD⊥x軸交BC于點D，設(shè)P（m，m2﹣4m+3），

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，
∵點B（3，0），點C（0，3），
∴．
解得：．
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3．
∴D（m，﹣m+3）．
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
∵
∴
整理為頂點式得：．
∵，
∴當(dāng)m＝時，S△PBC有最大值．
當(dāng)m＝時，代入拋物線解析式得函數(shù)值．
∴P．
（3）如下圖，

∵拋物線y＝x2﹣4x+3的對稱軸為直線x＝2，直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
∴點E的坐標(biāo)為（2，1）．
∵C（0，3），
∴EC＝．
①當(dāng)以EC為邊時，所得的菱形為CEM1N1和CEM2N2，
根據(jù)菱形的四條邊相等，
∴．
∵點M在對稱軸x＝2上，
∴，．
②當(dāng)以EC為對角線時，所得的菱形為CEM3N3，
∵CE與M3N3互相垂直平分，又∠BCO＝45°，記CE與M3N3的交點為F，
∴△CN3F是等腰直角三角形．
∴．
則點M3的坐標(biāo)為（2，3）．
綜上，M點的坐標(biāo)為（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)綜合問題，準(zhǔn)確求出二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)最值問題的常用求解方式，并靈活運用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．
26．（1）；（2）①見解析，②矩形變成正方形，見解析
【分析】
（1）連接CF，根據(jù)正切的定義求出BC，根據(jù)矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到CF⊥OD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）①取OB的中點G，連接EG，根據(jù)三角形中位線定理得到EG∥OC，根據(jù)平行線分線段成比例定理證明即可；
②過點F作FH⊥BC于H，連接OE、FC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到點H是線段EC的中點，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到DA＝DC，根據(jù)正方形的判定定理證明結(jié)論．
【詳解】
（1）解：如圖1，連接CF，
∵ 四邊形ABCD為矩形，∠CBD＝30°，
∴ OC＝OD，∠BDC＝60°，BC＝＝，
∴ △OCD為等邊三角形，
∵點F是線段OD的中點，
∴ CF⊥OD，
∵點E是BC邊的中點，
∴ EF＝BC＝，
故答案為：；

（2）①證明：如圖2，取OB的中點G，連接EG，
∵點E是BC邊的中點，
∴ EG∥OC，
∴ ，
∵ 四邊形ABCD為矩形，
∴ OB＝OD，
∵點F是線段OD的中點，
∴ OF＝OG，
∴ FP＝PE，即點P是線段EF的中點；
②解：矩形ABCD是正方形，
理由如下：過點F作FH⊥BC于H，連接OE、FC，
∵OB＝OC，點E是BC邊的中點，
∴ OE⊥BC，
∴ OE∥FH∥CD，
∵ 點F是線段OD的中點，
∴ 點H是線段EC的中點，
∴ FE＝FC，
∵AF＝FE，
∴ AF＝CF，
∵ OA＝OC，
∴ DA＝DC，
∴ 矩形ABCD為正方形．

【點睛】
本題考查的是正方形的判定定理、矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，掌握矩形的性質(zhì)定理、正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．

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