2020—2021學年春季學期期中測試高二年級理科數(shù)學試題    本試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（客觀題）兩部分，共4頁?？忌鞔饡r，將答案答在答題卡上（答題注意事項見答題卡），在本試卷上答題無效，試卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：    1．答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚，并請認真填涂準考證號。2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號。答在試卷上的答案無效。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（    ）A．   B．    C．    D．2．復數(shù)的虛部為（    ）A．        B．        C．1        D．3．“”是“”的（    ）A．充分非必要條件       B．必要非充分條件C．充要條件             D．既非充分又非必要條件4．從集合中任取一個元素，記為；從集合中任取一個元素中，記為．事件發(fā)生的概率為（    ）A．      B．      C．      D．5．執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出結果為（    ）A．15                 B．31C．32                 D．636．在中，已知，，則   等于（    ）A．     B．2      C．      D．47．一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積（    ）A．          B．C．          D．8．已知函數(shù)，若曲線在點處的切線為，則（    ）A．－2       B．2       C．－3       D．39． 已知，則（    ）A．         B．        C．        D．10．三棱錐中，底面為邊長為6的正三角形，平面，且，則該三棱錐的外接球的表面積為（    ）A．                      B．        C．                      D． 11．如右圖，在平面直角坐標系中，已知點，，射線與拋物線及直線分別交于點，設，則的值為（    ）A．     B．      C．      D． 12．已知是定義域為的非負可導函數(shù)，其導數(shù)滿足，記，，，則（    ）A．        B．      C．        D．  二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13．已知實數(shù)滿足則的最小值為            ．14．若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則的取值范圍為                ．  15．過雙曲線的左焦點作圓的一條切線，記切點為，切線與雙曲線的右支的交點為，若恰好為線段的中點，則雙曲線的離心率為              ．16．設函數(shù)（R），若對任意的實數(shù)，不等式都成立，則實數(shù)的取值范圍為                 ．  三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）    設為等差數(shù)列，其前項和記為，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．      18．（本小題滿分12分）    在中，分別是內角的對邊，已知 ．（1）求角的大??；（2）若，且的面積為，求的值．       19．（本小題滿分12分）如圖，在幾何體中，平面，，且，為 的中點．（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．             20．（本小題滿分12分）   已知橢圓的離心率為，短軸長為2．   （1）求橢圓的方程；（2）設過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，求當的面積取得最大值時的值．      21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（R）．（1）討論的單調性；（2）當時，若方程（R）恰好有兩個實根（），求證：．        22．（本小題滿分10分）在平面直角坐標系中，已知直線．以坐標原點為極點、以軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．（1）寫出圓的直角坐標方程及對應的參數(shù)方程；（2）當直線經(jīng)過點時，設與圓的兩個交點為，求的值．        
 2020—2021學年春季學期期中測試高二年級理科數(shù)學   參考答案與評分標準時限：120分鐘   滿分：150分 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．1．B       2．C．    3．A       4．C        5．B       6．D7．A       8．D       9．C      10．A       11．D      12．B 【答案提示】12．由得，即，記，則在遞減．記，則，所以在上遞減，又，，，所以．結合的單調性得，所以選B． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．     14．     15．      16．【答案提示】    16．，所以在R遞減；又易知，所以為奇函數(shù)．于是有        ．記，則     ．由不等式恒成立得 解得． 三、解答題：本大題共6小題，共70分． 17．解：（1）由得，所以，公差，首項           ，所以．………………6分（2）．…………………8分     所以            ．……………………………12分18．解：（1）由條件結合正弦定理得．……………2分            整理得．………………………………………3分            所以，…………………………………5分             又，所以．……………………………………6分（2）由條件得，即，所以．………8分  又因為，，所以．…10分  所以，得，所以．…………12分19．（1）證明：取的中點，連接，．        因為分別是的中點，所以        ．又因為，所以        ，所以四邊形為平行四        邊形，所以．……………4分        又因為平面，平面，    所以平面．……………5分（2）由，，得，所以．     如圖建立空間直角坐標系，，，，     ．   ……………………6分        易知平面的一個法向量為．……………8分        設平面的一個法向量為，由，        得 可取．………………………………10分        所以，所以二面角的余弦值為．………………………12分20．解：（1）由題意得，，………………………………2分所以，橢圓的方程為．……………………4分（2）直線的方程為，代入橢圓的方程，整理得        ．…………………………………………5分        由題意，，設，        則，．………………………………6分        弦長，點到直線的距離，所以的面積……………7分                           ．……………………………………9分        令，則，當且僅當時取等號．所以，對應的，可解得，滿足題意．………12分21．解：（1）的定義域為，．…………………1分        當時，，所以在遞增．…………………………2分        當時，，，所以在        遞增，在遞減．              ………………………………………4分        綜上：當時，在遞增；當時，在遞增，在遞減．                ………………………………………………5分（2）【解法一】時，方程即為．記，     ．可得在遞減，在遞增．…7分        由題意，可知．      ． 因為，，在遞增，故只需證，即，亦即．①  構造函數(shù)，  則，所以在遞  減，得，故①式成立，所以成立．…………12分【解法二】時，方程即為．由題意，所以，變形得． ……………7分       ．  令，則不等式即為      ．①  …………………………………………………9分 記，則，所以  在遞增，所以．故①式成立，所以成立．……………………………………………12分22．解：（1）圓的直角坐標方程為．……………………………2分       圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. ………………………4分（2）易知直線的傾斜角為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.6分     把直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程，得．……………7分設對應的參數(shù)為，則，．……………………8分所以．                                             …………………………………10分   

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