?2020-2021學(xué)年浙江省杭州市八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一.選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　?。?br /> A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．2x+3y﹣5＝0
2．（3分）下列醫(yī)護(hù)圖案既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
3．（3分）下列計(jì)算結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．﹣＝ B．＝﹣2 C．＝2 D．（﹣2）2＝12
4．（3分）平行四邊形的兩條對(duì)角線一定（　?。?br /> A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．以上都不對(duì)
5．（3分）若x＝2能使下列二次根式有意義，則這個(gè)二次根式可以是（　?。?br /> A． B． C． D．
6．（3分）用反證法證明，“在△ABC中，∠A、∠B對(duì)邊是a、b，若∠A＞∠B，則a＞b．”第一步應(yīng)假設(shè)（　　）
A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)≤b D．a(chǎn)≥b
7．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，其中b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則這個(gè)方程的根的情況是（　?。?br />
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（　　）

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，DO＝BO
9．（3分）實(shí)數(shù)a，b，c滿足4a﹣2b+c＝0，則（　?。?br /> A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac≥0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
10．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC＝AB，E是AB邊的中點(diǎn)，G、F為BC上的點(diǎn)，連接OG和EF，若AB＝26，BC＝20，GF＝10，則圖中陰影部分的面積為（　　）

A．60 B．20 C．120 D．130
二、填空題（共24分，每小題4分）
11．（4分）若多邊形的每一個(gè)外角都等于60°，則該多邊形的邊數(shù)是　 ?。?br /> 12．（4分）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1+x2的值為　 ?。?br /> 13．（4分）若二次根式與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則a＝　 ?。?br /> 14．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點(diǎn)F，若∠B＝53°，∠DAE＝20°，則∠FED′的度數(shù)為　 ?。?br />
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)N是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別為CN，MN的中點(diǎn)，則DE的最小值是　 ?。?br />
16．（4分）已知矩形ABCD的周長(zhǎng)的平方與面積的比為18，則矩形ABCD的較長(zhǎng)的一邊與較短的一邊的長(zhǎng)度的比等于　 ?。?br /> 三.解答題（本大題有7小題，共66分）
17．（6分）計(jì)算：
（1）﹣2；
（2）（）﹣2﹣（π﹣4）0+．
18．（8分）解方程：
（1）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
（2）＝x2﹣1．
19．（8分）已知：如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，EF與BD相交于點(diǎn)O，AE＝CF．求證：BD、EF互相平分．

20．（10分）某學(xué)校計(jì)劃利用一片空地建一個(gè)學(xué)生自行車車棚，其中一面靠墻，這堵墻的長(zhǎng)度為12米．計(jì)劃建造車棚的面積為80平方米，已知現(xiàn)有的木板材料可使新建板墻的總長(zhǎng)為28米．
（1）這個(gè)車棚的長(zhǎng)和寬分別應(yīng)為多少米？
（2）如圖，為了方便學(xué)生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路，使得停放自行車的面積為54平方米，那么小路的寬度是多少米？

21．（10分）如圖，在△ABC中，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，E是AC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F，連接AD，CF．
（1）求證：四邊形AFCD是平行四邊形；
（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的長(zhǎng)．

22．（12分）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根為x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）當(dāng)方程①有一根為x＝r時(shí)，求證x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m與n，方程②的根是s和t，求的值．
23．（12分）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，且∠ADC＝60°．
（1）求證：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，連接OE；
①若m＝，求平行四邊ABCD的面積；
②設(shè)＝k，試求k與m滿足的關(guān)系．


2020-2021學(xué)年浙江省杭州市八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　?。?br /> A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．2x+3y﹣5＝0
【分析】利用一元二次方程定義進(jìn)行解答即可．
【解答】解：A、當(dāng)a＝0時(shí)，該方程不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、它是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、該方程符合一元二次方程的定義，故此選項(xiàng)符合題意；
D、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
2．（3分）下列醫(yī)護(hù)圖案既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：A．
3．（3分）下列計(jì)算結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．﹣＝ B．＝﹣2 C．＝2 D．（﹣2）2＝12
【分析】根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用二次根式的性質(zhì)對(duì)B選項(xiàng)、C選項(xiàng)和D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：A、與不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、原式＝2，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、原式＝＝，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、原式＝4×3＝12，所以D選項(xiàng)正確．
故選：D．
4．（3分）平行四邊形的兩條對(duì)角線一定（　?。?br /> A．互相垂直 B．互相平分 C．相等 D．以上都不對(duì)
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可進(jìn)行判斷．
【解答】解：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膬蓷l對(duì)角線一定互相平分，菱形的對(duì)角線互相垂直，矩形的對(duì)角線相等，
所以B選項(xiàng)正確．
故選：B．
5．（3分）若x＝2能使下列二次根式有意義，則這個(gè)二次根式可以是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)逐一判斷即可．
【解答】解：A．當(dāng)x＝2時(shí)，x﹣1＝2﹣1＝1＞0，有意義，符合題意；
B．當(dāng)x＝2時(shí)，1﹣x＝1﹣2＝﹣1＜0，無(wú)意義，不符合題意；
C．當(dāng)x＝2時(shí)，x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，無(wú)意義，不符合題意；
D．當(dāng)x＝2時(shí)，﹣x＝﹣2＜0，無(wú)意義，不符合題意；
故選：A．
6．（3分）用反證法證明，“在△ABC中，∠A、∠B對(duì)邊是a、b，若∠A＞∠B，則a＞b．”第一步應(yīng)假設(shè)（　?。?br /> A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)≤b D．a(chǎn)≥b
【分析】熟記反證法的步驟，直接填空即可．
【解答】解：根據(jù)反證法的步驟，得
第一步應(yīng)假設(shè)a＞b不成立，即a≤b．
故選：C．
7．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，其中b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則這個(gè)方程的根的情況是（　?。?br />
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
【分析】計(jì)算判別式的值即可判斷．
【解答】解：∵b＞0，c＜0，
∴△＝b2﹣4c＞0，
∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（　?。?br />
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，DO＝BO
【分析】分別利用平行四邊形的判定方法和全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、愿望AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠DCB+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、∵AO＝CO，AB＝DC，∠AOB＝∠COD，不能判定△AOB≌△COD，
∴不能得到∠OAB＝∠OCD，
∴不能得到AB∥CD，
∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝DC，
又∵AB∥DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．

9．（3分）實(shí)數(shù)a，b，c滿足4a﹣2b+c＝0，則（　?。?br /> A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac≥0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
【分析】構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)背景，利用二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系求解：把a(bǔ)、b、c看作二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，由于4a﹣2b+c＝0，自變量為﹣2時(shí)，函數(shù)值為0，說(shuō)明拋物線與x軸有交點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系即可得到b2﹣4ac≥0．
【解答】解：可把a(bǔ)、b、c看作二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，
∵4a﹣2b+c＝0，即x＝﹣2時(shí)，y＝0，
∴拋物線與x軸有公共點(diǎn)，
∴b2﹣4ac≥0．
故選：B．
10．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC＝AB，E是AB邊的中點(diǎn)，G、F為BC上的點(diǎn)，連接OG和EF，若AB＝26，BC＝20，GF＝10，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br />
A．60 B．20 C．120 D．130
【分析】連接EO，EG，OF，依據(jù)EO是△ABC的中位線，即可得出EO∥BC，EO＝BC＝10，進(jìn)而得到四邊形EOFG是平行四邊形，據(jù)此可得S陰影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，求得△ABO的面積即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖所示，連接EO，EG，OF，
∵平行四邊形ABCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，
∴O是AC的中點(diǎn)，
又∵E是AB邊的中點(diǎn)，
∴EO是△ABC的中位線，
∴EO∥BC，EO＝BC＝10，
又∵GF＝10，
∴EO＝GF，
∴四邊形EOFG是平行四邊形，
∴S△EOP+S△FGP＝S四邊形EOFG＝S△EOG，
又∵EO∥BG，
∴S△EOG＝S△EOB，
∴S△EOP+S△FGP＝S△EOB，
∴S陰影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，
∵AC＝AB＝13，BC＝10，
∴等腰△ABC中BC邊上的高為＝24，
∴S△ABC＝×20×24＝240，
∵O是AC的中點(diǎn)，
∴S△ABO＝S△ABC＝×240＝120，
∴陰影部分的面積為120，
故選：C．

二、填空題（共24分，每小題4分）
11．（4分）若多邊形的每一個(gè)外角都等于60°，則該多邊形的邊數(shù)是　6?。?br /> 【分析】由一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于60°，且多邊形的外角和等于360°，即可求得這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：∵一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于60°，且多邊形的外角和等于360°，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是：360÷60＝6，
故答案是：6．
12．（4分）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1+x2的值為　7?。?br /> 【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可求出x1+x2的值．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝7，
故答案為：7．
13．（4分）若二次根式與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則a＝　2?。?br /> 【分析】將化簡(jiǎn)，再根據(jù)同類二次根式的定義求解即可．
【解答】解：∵＝2與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，
∴a+1＝3，
解得a＝2，
故答案為：2．
14．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點(diǎn)F，若∠B＝53°，∠DAE＝20°，則∠FED′的度數(shù)為　34°　．

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠D＝∠B＝53°，由折疊的性質(zhì)得：∠D′＝∠D＝53°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠AEF＝73°，與三角形內(nèi)角和定理求出∠AED′＝107°，即可得出∠FED′的大小．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠D＝∠B＝53°，
由折疊的性質(zhì)得：∠D′＝∠D＝53°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝53°+20°＝73°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝107°，
∴∠FED′＝107°﹣73°＝34°；
故答案為：34°．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)N是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別為CN，MN的中點(diǎn)，則DE的最小值是　?。?br />
【分析】當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM的值最小，此時(shí)DE的值也最小，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積求出CM，再求出答案即可．
【解答】解：連接CM，

∵點(diǎn)D、E分別為CN，MN的中點(diǎn)，
∴DE＝CM，
當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM的值最小，此時(shí)DE的值也最小，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝＝，
∴CM＝，
∴DE＝＝，
故答案為：．
16．（4分）已知矩形ABCD的周長(zhǎng)的平方與面積的比為18，則矩形ABCD的較長(zhǎng)的一邊與較短的一邊的長(zhǎng)度的比等于　2?。?br /> 【分析】根據(jù)矩形ABCD的周長(zhǎng)的平方與面積的比為18得到相應(yīng)的等式，整理為整式后，設(shè)矩形ABCD的較長(zhǎng)的一邊與較短的一邊的長(zhǎng)度的比為未知數(shù)，用求根公式求解即可．
【解答】解：設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為a、b（a≥b）．
則＝18，即4a2+（8﹣18）ab+4b2＝0．
兩邊都除以b2，
令t＝，則4t2+（8﹣18）t+4＝0．
解得t＝+＝2．
故答案為：2．
三.解答題（本大題有7小題，共66分）
17．（6分）計(jì)算：
（1）﹣2；
（2）（）﹣2﹣（π﹣4）0+．
【分析】（1）先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可；
（2）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪和分母有理化進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：（1）原式＝3﹣
＝2；
（2）原式＝4﹣1+2﹣
＝5﹣．
18．（8分）解方程：
（1）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
（2）＝x2﹣1．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵7x（5x+2）＝6（5x+2），
∴（5x+2）（7x﹣6）＝0，
則5x+2＝0或7x﹣6＝0，
解得x1＝﹣，x2＝；
（2）∵（x﹣1）＝（x+1）（x﹣1），
∴（x﹣1）（﹣x﹣1）＝0，
則x﹣1＝0或﹣x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
19．（8分）已知：如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，EF與BD相交于點(diǎn)O，AE＝CF．求證：BD、EF互相平分．

【分析】連接BE、DF，由平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC，AD∥BC，再由AE＝CF得出DE＝BF，則四邊形BEDF是平行四邊形，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：連接BE、DF，如圖所示：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四邊形EBFD為平行四邊形，
∴BD、EF互相平分．

20．（10分）某學(xué)校計(jì)劃利用一片空地建一個(gè)學(xué)生自行車車棚，其中一面靠墻，這堵墻的長(zhǎng)度為12米．計(jì)劃建造車棚的面積為80平方米，已知現(xiàn)有的木板材料可使新建板墻的總長(zhǎng)為28米．
（1）這個(gè)車棚的長(zhǎng)和寬分別應(yīng)為多少米？
（2）如圖，為了方便學(xué)生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路，使得停放自行車的面積為54平方米，那么小路的寬度是多少米？

【分析】（1）設(shè)平行于墻的邊長(zhǎng)為x米，則垂直于墻的邊長(zhǎng)為米，根據(jù)建造車棚的面積為80平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合墻的長(zhǎng)度即可確定結(jié)論；
（2）設(shè)小路的寬度是m米，則停放自行車的區(qū)域可合成長(zhǎng)為（10﹣m）米，寬為（8﹣2m）米的長(zhǎng)方形，根據(jù)停放自行車的面積為54平方米，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其合適的值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)平行于墻的邊長(zhǎng)為x米，則垂直于墻的邊長(zhǎng)為米，
依題意得：x?＝80，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
又∵這堵墻的長(zhǎng)度為12米，
∴x＝8，
∴＝10．
答：這個(gè)車棚的長(zhǎng)為10米，寬為8米．
（2）設(shè)小路的寬度是m米，則停放自行車的區(qū)域可合成長(zhǎng)為（10﹣m）米，寬為（8﹣2m）米的長(zhǎng)方形，
依題意得：（10﹣m）（8﹣2m）＝54，
整理得：m2﹣14m+13＝0，
解得：m1＝1，m2＝13．
當(dāng)m＝1時(shí)，10﹣m＝9，8﹣2m＝6，符合題意；
當(dāng)m＝13時(shí)，10﹣m＝﹣3，不合題意，舍去．
答：小路的寬度是1米．
21．（10分）如圖，在△ABC中，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，E是AC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F，連接AD，CF．
（1）求證：四邊形AFCD是平行四邊形；
（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的長(zhǎng)．

【分析】（1）先證△AEF≌△CED（AAS），得AF＝CD，再由CD∥AB，即AF∥CD，即可得出結(jié)論；
（2）過(guò)C作CM⊥AB于M，先證△BCM是等腰直角三角形，得BM＝CM，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AC＝2AM，BM＝CM＝AM，由AM+BM＝AB求出AM＝3﹣3，即可求解．
【解答】（1）證明：∵E是AC的中點(diǎn)，
∴AE＝CE，
∵CD∥AB，
∴∠AFE＝∠CDE，
在△AEF和△CED中，
，
∵∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF＝CD，
又∵CD∥AB，即AF∥CD，
∴四邊形AFCD是平行四邊形；
（2）解：過(guò)C作CM⊥AB于M，如圖所示：
則∠CMB＝∠CMA＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠B+∠DCB＝180°，
∴∠B＝180°﹣135°＝45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴BM＝CM，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，
∵AM+BM＝AB，
∴AM+AM＝6，
解得：AM＝3﹣3，
∴AC＝2AM＝6﹣6．

22．（12分）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根為x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）當(dāng)方程①有一根為x＝r時(shí)，求證x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m與n，方程②的根是s和t，求的值．
【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根據(jù)方程根的定義得到r2+br+a＝0，兩邊同除r2得++1＝0，即可證得x＝是方程②的根；
（3）根據(jù)題意b＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n＝0，s+t＝0，從而得到m＝﹣n，s＝﹣t，即可得到ms＝nt，進(jìn)而求得＝1．
【解答】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根為x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②為6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根為x1＝，x2＝；
（2）∵方程①有一根為x＝r，
∴r2+br+a＝0，
兩邊同除r2得++1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m與n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1．
23．（12分）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，且∠ADC＝60°．
（1）求證：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，連接OE；
①若m＝，求平行四邊ABCD的面積；
②設(shè)＝k，試求k與m滿足的關(guān)系．

【分析】（1）根據(jù)?ABCD中，∠ADC＝60°，可得△ABE是等邊三角形，進(jìn)而可以證明結(jié)論；
（2）①根據(jù)＝m＝，可得AB＝BC，證明∠BAC＝90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得平行四邊ABCD的面積；
②根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可得S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BOD，由△ABE是等邊三角形，可得BE＝AB＝mBC，由△BOE的BE邊上的高等于△BDC的BC邊上的高的一半，底BE等于BC的m倍，設(shè)BC邊上的高為h，BC的長(zhǎng)為b，分別表示出四邊形OECD和三角形AOD的面積，進(jìn)而可得k與m滿足的關(guān)系．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∵cos∠ABC＝＝，
∴∠BAC＝90°，
當(dāng)AC＝4時(shí)，AB＝4，
∴平行四邊ABCD的面積＝2S△ABC＝2×AB?AC＝4×4＝16；
②∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BOD，
∵△ABE是等邊三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE邊上的高等于△BDC的BC邊上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
設(shè)BC邊上的高為h，BC的長(zhǎng)為b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四邊形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝×b＝，
∴＝（﹣）bh×＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．


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