一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．命題p：，，則是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（ ）
A．B．C．D．
4．若、是實(shí)數(shù)，則是的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分又非必要條件
5．下列函數(shù)中與函數(shù)是同一函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
6．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可能是（ ）
A．B．C．D．
7．如果角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A．B．2C．D．
8．若定義在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則滿(mǎn)足的解集是（ ）
A．B．
C．D．
9．要得到函數(shù)的圖像，只要把函數(shù)圖像
A．向右平移個(gè)單位B．向左平移個(gè)單位
C．向右平移個(gè)單位D．向左平移個(gè)單位
10．下列大小關(guān)系，正確的是
A．B．
C．D．
11．已知，設(shè)則函數(shù)大致圖象是（ ）
A．B．C．D．
12．若不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
13．下列函數(shù)是奇函數(shù)的有（ ）
A．B．
C．D．
14．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．若，，則
C．若，，則D．若，則
15．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)
D．若實(shí)數(shù)使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則一定有
三、填空題
16．________.
17．已知一扇形的圓心角為2弧度，半徑為，則此扇形的面積為_(kāi)______
18．已知，且，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______.
19．有材料可做墻（不計(jì)高度和厚度），如圖所示，要做間房，當(dāng)堵縱墻的長(zhǎng)度相等且長(zhǎng)度等于________時(shí)，間房的總面積達(dá)到最大值.
20．記函數(shù)，其中表示不大于的最大整數(shù)，若方程在區(qū)間上有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.
四、解答題
21．已知函數(shù) (>0且≠1)的圖像過(guò)點(diǎn)(9，2)
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)解不等式．
22．已知，，關(guān)于x的不等式的解集為.
（1）求m，n的值；
（2）正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，求的最大值.
23．已知函數(shù)()的圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為.
（1）求的值及函數(shù)的遞增區(qū)間；
（2）若，且，求.
24．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形，記，
（1）用角表示，的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)角取何值時(shí)，矩形的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.
25．已知函數(shù)(，)，且.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若，函數(shù)的零點(diǎn)分別為，()，函數(shù)的零點(diǎn)分別為，()，求的最大值.
參考答案
1．A
【分析】
直接利用交集的定義求解即可，或利用排除法
【詳解】
解法一由題意得，
解法二因?yàn)?，所以，故排除B，D；因?yàn)?，所以，故排除C.
故選：A.
2．C
【分析】
根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特征命題進(jìn)行解答即可.
【詳解】
因?yàn)槊}：，，所以為：，.
故選：C.
3．D
【分析】
根據(jù)誘導(dǎo)公式，以及特殊角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值可直接得出結(jié)果.
【詳解】
.
故選：D.
4．C
【分析】
根據(jù)是增函數(shù)可得出.
【詳解】
因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以是的充要條件.
故選：C.
5．A
【分析】
逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則是否與一致，進(jìn)而得出答案.
【詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?br>對(duì)于A項(xiàng)，的定義域?yàn)?，?duì)應(yīng)法則與一致，則A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，的對(duì)應(yīng)法則與不一致，則B錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，的定義域?yàn)?，則C錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，的定義域?yàn)?，則D錯(cuò)誤；
故選：A
6．B
【分析】
函數(shù)是上的增函數(shù)，判斷所給區(qū)間端點(diǎn)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的正負(fù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得答案.
【詳解】
函數(shù)是上的增函數(shù)，是上的增函數(shù)，
故函數(shù)是上的增函數(shù)，
，
，
，
，
因?yàn)椋院瘮?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn).
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理是解決本題的關(guān)鍵，
7．C
【分析】
由題意求得，再根據(jù)同角三角函數(shù)間的關(guān)系化簡(jiǎn)，代入計(jì)算可得選項(xiàng)．
【詳解】
因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，
故選：C．
8．D
【分析】
分析出函數(shù)在單調(diào)遞增，可得出，然后分、、三種情況解不等式，綜合可得出原不等式的解集.
【詳解】
由于定義在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞增，則該函數(shù)在單調(diào)遞增，
且，.
顯然當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，由可得，解得；
當(dāng)時(shí)，由可得，解得.
因此，不等式的解集為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解函數(shù)不等式，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.
9．C
【分析】
把化成后可得平移的方向及長(zhǎng)度．
【詳解】
因?yàn)椋?br>故把函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位后可得的圖像．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)的圖像平移變換，注意平移變換（左右平移）是自變量發(fā)生變化，如函數(shù)的圖像，它可以由向左平移個(gè)單位，而不是，本題為易錯(cuò)題．
10．B
【詳解】
本題考查指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用.
是減函數(shù)，所以都是增函數(shù)，所以
是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，所以是減函數(shù)，所以則故選B
11．C
【分析】
在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出和的圖象，保留上方的圖象即可.
【詳解】
由題可知，表示和中函數(shù)值較大的函數(shù)，
如圖，在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出和的圖象，保留上方的圖象即可，
故選：C.
12．D
【分析】
首先分離參數(shù)可得，然后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求得，從而可確定的取值范圍．
【詳解】
因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切恒成立，
所以在區(qū)間上恒成立，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，所以
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：一元二次不等式恒成立問(wèn)題主要方法：（1）若實(shí)數(shù)集上恒成立，考慮判別式的符號(hào)即可；（2）若在給定區(qū)間上恒成立，則考慮運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.
13．AC
【分析】
根據(jù)奇函數(shù)的定義逐個(gè)判斷可得.
【詳解】
對(duì)于,令,則,所以選項(xiàng)正確;
對(duì)于,令,則,故不正確;
對(duì)于,令,則,故選項(xiàng)正確;
對(duì)于,函數(shù)的定義域?yàn)?不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),故選項(xiàng)不正確.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】
熟練運(yùn)用奇函數(shù)定義是解題關(guān)鍵.
14．AB
【分析】
可代入特例判斷選項(xiàng)、錯(cuò)，可由性質(zhì)定理判斷、對(duì).
【詳解】
解：若，則，對(duì)，
由不等式同向可加性，若，，則，對(duì)，
當(dāng)令，，，，則，錯(cuò)，
令，，則，錯(cuò).
故選：.
【點(diǎn)睛】
本題考查了不等式的性質(zhì)，需熟記性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
15．ACD
【分析】
首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】
,故函數(shù)的最小正周期為,故正確;
當(dāng)時(shí), 故錯(cuò)誤;
當(dāng)時(shí), 故正確;
當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí),使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解
則一定有,故正確.
故選:.
【點(diǎn)睛】
本題考查正弦型函數(shù)的周期性、奇偶性和對(duì)稱(chēng)性，難度一般.
16．2
【分析】
先分別求的值，再求最終結(jié)果．
【詳解】
∵，
∴．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】
指、對(duì)數(shù)混合運(yùn)算技巧：
(1)應(yīng)用常用對(duì)數(shù)值；
(2)靈活應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)；
(3) 逆用法則、公式；
(4) 應(yīng)用換底公式，化為同底結(jié)構(gòu)．
17．1
【分析】
利用扇形的面積S，即可求得結(jié)論．
【詳解】
∵扇形的半徑為1cm，圓心角為2弧度，
∴扇形的面積S1cm2，
故答案為1
【點(diǎn)睛】
本題考查扇形的面積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
18．
【分析】
先根據(jù)，求出，再利用換底公式求出，再根據(jù)，即可解出.
【詳解】
解：，
，
即，
，
又，
，
即，
解得：，
又，
.
故答案為：.
19．
【分析】
設(shè)堵縱墻的長(zhǎng)度為，則橫墻的長(zhǎng)度為，可得出間房的總面積為，利用基本不等式可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的值，由此可得出結(jié)論.
【詳解】
設(shè)堵縱墻的長(zhǎng)度為，則橫墻的長(zhǎng)度為，
間房的總面積，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，所以，間房的總面積達(dá)到最大值.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
20．
【分析】
在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出，的圖像，結(jié)合圖形，由題中條件，即可得出結(jié)果.
【詳解】
在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出函數(shù)，的圖象，如圖所示，
由圖像可得，函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，
即方程在區(qū)間上有個(gè)實(shí)根，
故方程在區(qū)間上有個(gè)不同實(shí)根，即只需與在區(qū)間內(nèi)有個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，.
若在區(qū)間上有4個(gè)根，則.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：
已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的常用方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
21．（1）（2）
【分析】
(1)利用函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,2),解得的值,即可得到函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的底數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性可解不等式.
【詳解】
(1)因?yàn)?，所以，?
(2)因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以
即不等式的解集是
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式,屬于基礎(chǔ)題.
易錯(cuò)點(diǎn):容易忽視定義域.
22．（1），；（2）.
【分析】
（1）利用不等式解集的端點(diǎn)為方程的根求得，再求解不等式即可得；
（2）代入，可得，再利用基本不等式的乘“”法求得最值即可.
【詳解】
（1）根據(jù)題意，不等式的解集為，
即方程的兩根為和n，則有
解可得，.
（2）正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，即，變形有，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取等號(hào).
【點(diǎn)睛】
本題考查的是利用基本不等式求最值的知識(shí)，在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正:各項(xiàng)均為正；二定:積或和為定值；三相等:等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．
23．（1），單調(diào)增區(qū)間為()；（2）.
【分析】
(1)由已知結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可求，代入已知函數(shù)解析式后，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；
(2)由已知結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系，求出，再將變?yōu)?，利用兩角差的正弦公式展開(kāi)，即可求解.
【詳解】
（1）由題意知，又，所以，
又，所以.
∴，∴，，
∴，，單調(diào)增區(qū)間為().
（2）由題意，∵，
∴，∴，
∴.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查求三角函數(shù)的圖象性質(zhì)及給值求值問(wèn)題，同時(shí)考查同角三角函數(shù)關(guān)系，熟練運(yùn)用兩角差的正弦公式及角的變換是解題關(guān)鍵.
24．（1），；（2）當(dāng)時(shí)，矩形有最大面積，最大面積為.
【分析】
（1）先把矩形的各個(gè)邊長(zhǎng)用角α及表示出來(lái)，進(jìn)而表示出矩形的面積；
（2）再利用角α的范圍，結(jié)合正弦，余弦的二倍角公式，輔助角公式化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求求矩形面積的最大值即可．
【詳解】
（1）由題意知：在中，，.
在中，，
所以.
（2）設(shè)矩形的面積為S，則
.
由，得，所以當(dāng)，即時(shí)，.
因此，當(dāng)時(shí)，矩形有最大面積，為.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，求解問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角函數(shù)模型，將三角函數(shù)模型用所學(xué)的恒等式變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，由三角函數(shù)的性質(zhì)求得最值．
25．（1）；（2）最大值是.
【分析】
（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可得函數(shù)的解析式.
（2）根據(jù)零點(diǎn)存在的條件，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算法則，建立條件關(guān)系可得結(jié)論．
【詳解】
（1）∵，∴.解得，
所以函數(shù)的解析式.
（2）由得，即，或，
則，，
由，得，
即或，
則或，則，，
即，
∵，∴，則，
即，則，
故的最大值是.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用，難度較大，解決的關(guān)鍵在于將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題，再運(yùn)用指數(shù)冪，對(duì)數(shù)的運(yùn)算得以解決．

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