一、單選題
1．已知集合 ，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
3．已知命題：，，命題：函數(shù)是減函數(shù)，則命題成立是成立的（ ）
A．充分不必要條件B．充要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
4．2020年11月，中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，本次進(jìn)博會(huì)設(shè)置了“云采訪”區(qū)域，通過視頻連線，幫助中外記者采訪因疫情影響無法來滬參加進(jìn)博會(huì)的跨國(guó)企業(yè)CEO或海外負(fù)責(zé)人．某新聞機(jī)構(gòu)安排4名記者和3名攝影師對(duì)本次進(jìn)博會(huì)進(jìn)行采訪，其中2名記者和1名攝影師負(fù)責(zé)“云采訪”區(qū)域的采訪，另2名記者和2名攝影師分兩組（每組記者和攝影師各1人），分別負(fù)責(zé)“汽車展區(qū)”和“技術(shù)裝備展區(qū)”的現(xiàn)場(chǎng)采訪．如果所有記者、攝影師都能承擔(dān)三個(gè)采訪區(qū)域的相應(yīng)工作，則所有不同的安排方案有（ ）
A．36種B．48種C．72種D．144種
5．已知直線與圓有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（ ）
A．B．
C．D．
7．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，，則等比數(shù)列的公比的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
10．如圖所示，在長(zhǎng)方體，若，、分別是、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的是（ ）
A．與垂直B．平面
C．與所成的角為D．平面
11．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.則下列結(jié)論正確的是（ ）.
A．當(dāng)時(shí)，
B．函數(shù)在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)
C．若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D．，
12．已知函數(shù)與在的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，，.若為直角三角形，則（ ）
A．B．的面積
C．D．兩函數(shù)圖象必在處有交點(diǎn)
三、填空題
13．已知，則___________.
14．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
根據(jù)上表可得回歸方程中的為，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為萬元時(shí)銷售額為______萬元.
15．如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AD=3，，E，F(xiàn)為AB，CD的中點(diǎn)，P，Q為對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)，則的值為________.
16．過拋物線的焦點(diǎn)的直線，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，且.若與雙曲線的一條漸近線垂直，則該雙曲線離心率的取值范圍是___________.
四、解答題
17．在①，②是的等比中項(xiàng)，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.
問題：已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且 .
（1）求；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小，并說明理由.
18．已知函數(shù).
（1）求在上的最值；
（2）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，的面積為，求的值.
19．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，平面，為中點(diǎn).
（1）若，求證：平面；
（2）當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，求三棱錐的體積.
20．某市為了了解本市初中生周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們的周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）按照分層抽樣，從和中隨機(jī)抽取了名學(xué)生.現(xiàn)從已抽取的名學(xué)生中隨機(jī)推薦名學(xué)生參加體能測(cè)試.記推薦的名學(xué)生來自的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為：周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間服從正態(tài)分布，其中，為周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得.可以用該樣本的頻率估計(jì)總體的概率，現(xiàn)從本市所有初中生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，記周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間在之外的人數(shù)為，求(精確到).
參考數(shù)據(jù)：當(dāng)時(shí)，，，.
參考數(shù)據(jù)： .
21．已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知，是橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).是否存在以為圓心的定圓恒與直線相切？若存在，求出定圓方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.
22．已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且.證明：.
廣告費(fèi)用(萬元)
銷售額(萬元)
參考答案
1．C
【分析】
求出集合、，再利用集合的交運(yùn)算即可求解.
【詳解】
故選：C
2．A
【分析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.
【詳解】
，
所以.
故選：A
3．D
【分析】
由命題條件得到對(duì)應(yīng)的集合，根據(jù)集合的關(guān)系即可知命題、的關(guān)系.
【詳解】
命題：，有或，即，
命題：函數(shù)是減函數(shù)有，即，
∴?，?，
∴命題成立是成立的既不充分也不必要條件.
故選：D
4．C
【分析】
根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①在4名記者中任選2人，在3名攝影師中選出1人，安排到“云采訪”區(qū)域采訪，②在剩下的外2名記者中選出1人，在2名攝影師中選出1人，安排到“汽車展區(qū)”采訪，③將最后的1名記者和1名攝影師，安排到“技術(shù)裝備展區(qū)”采訪，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．
【詳解】
解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：
①在4名記者中任選2人，在3名攝影師中選出1人，安排到“云采訪”區(qū)域采訪，有種情況，
②在剩下的外2名記者中選出1人，在2名攝影師中選出1人，安排到“汽車展區(qū)”采訪，有種情況，
③將最后的1名記者和1名攝影師，安排到“技術(shù)裝備展區(qū)”采訪，有1種情況，
則有種不同的安排方案，
故選：
5．A
【分析】
依題意可知，直線與圓相交或相切，所以由圓心到直線的距離小于等于半徑，即可求出．
【詳解】
依題意可知，直線與圓相交或相切．
即為．
由，解得．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6．D
【分析】
比較的大小，再根據(jù)單調(diào)性，即可得答案；
【詳解】
偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，
又，，
，
，
故選：D.
【點(diǎn)睛】
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性是求解的關(guān)鍵.
7．D
【分析】
易知此三棱柱為正三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)為球心，求出底面三角形外接圓半徑，利用勾股定理即可得解.
【詳解】
由三棱柱所有棱的長(zhǎng)，可知底面為正三角形，
底面三角形的外接圓直徑，所以，
設(shè)外接球的半徑為，則有，
所以該球的表面積，
故選：D.
8．A
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合題意和指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，，，所以?br>，因?yàn)椋?br>所以有，
因?yàn)椋裕?br>因此要想對(duì)于恒成立，只需，而，
所以.
故選：A
9．BD
【分析】
根據(jù)基本不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)鉤函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.
【詳解】
因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).
A：因?yàn)椋员具x項(xiàng)不正確；
B：設(shè)，函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，因此有，即，所以本選項(xiàng)正確；
C：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即時(shí)，取等號(hào)，所以本選項(xiàng)不正確；
D：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，因此本選項(xiàng)正確.
故選：BD
10．ABD
【分析】
證明出，，可判斷A選項(xiàng)的正誤；證明出平面，結(jié)合可判斷B選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出的值，結(jié)合以及異面直線所成角的定義可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用線面平行的判定定理可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】
連接、、，則為的中點(diǎn)，
對(duì)于A選項(xiàng)，平面，平面，，
、分別為、的中點(diǎn)，則，，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，四邊形為正方形，則，
又，，平面，
，平面，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，易知為等邊三角形，則，
，則與所成的角為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，，平面，平面，平面，D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】
本題考查線線垂直、線面垂直、線面平行以及異面直線所成角的判斷，屬于中等題.
11．BD
【分析】
根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象，逐項(xiàng)判斷，即可得到本題答案.
【詳解】
令，則，所以，得，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
觀察在時(shí)的圖象，令，得，
可知在上單調(diào)遞減，在上遞增，且在上，，在上，，由此可判斷在僅有一個(gè)零點(diǎn)，由函數(shù)的對(duì)稱性可知在上也有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，故該函?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)B正確；
由圖可知，若關(guān)于的方程有解，則，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
由圖可知，的值域?yàn)?，所以?duì)，恒成立，所以選項(xiàng)D正確.
故選：BD
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng).
12．ACD
【分析】
根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合為直角三角形，易得其高為，斜邊為，從而周期為，然后再逐項(xiàng)判斷.
【詳解】
由，得，
而，
因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，，，且為直角三角形，
所以的高為，且是等腰直角三角形，
所以斜邊為，即周期為，
所以,故A正確；
，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，則，
由正余弦函數(shù)的性質(zhì)得，且，
因?yàn)?，則，故C正確；
因?yàn)?，解得，故D正確；
故選：ACD
【點(diǎn)睛】
易錯(cuò)點(diǎn)睛：由 ，得到，容易忽視確定，且.
13．
【分析】
根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角正弦公式即可化簡(jiǎn)求值得解.
【詳解】
因?yàn)?
所以
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題注意“1”的替換，即和齊次化正切的技巧.
14．
【分析】
利用表格可得，，求出回歸直線方程，將代入可得此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為萬元時(shí)銷售額．
【詳解】
由表可計(jì)算，，因?yàn)辄c(diǎn)在回歸直線上,且，所以, 解得,故回歸方程為，令得65.5
故答案為：
15．
【分析】
可連接，，，，根據(jù)題意即可得出四邊形為平行四邊形，從而可得出，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．
【詳解】
如圖，連接，，，，
，為，的中點(diǎn)，，為對(duì)角線，的中點(diǎn)，
四邊形為平行四邊形，
，，且，，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形中位線的性質(zhì)、向量加法的平行四邊形法則、向量減法和數(shù)乘的幾何意義，考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
16．
【分析】
不妨設(shè)直線的斜率為正數(shù)，過作與拋物線的準(zhǔn)線垂直，垂足為，根據(jù)拋物線的定義可知，結(jié)合可得直線的斜率的取值范圍，利用兩直線垂直可求出結(jié)果.
【詳解】
依題意可知直線的斜率存在且不為0，
不妨設(shè)直線的斜率為正數(shù)，如圖：
過作與拋物線的準(zhǔn)線垂直，垂足為，
根據(jù)拋物線的定義可知，
因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)?，所以，所以，所以?br>所以，即直線的斜率的取值范圍為，
又與雙曲線的一條漸近線垂直，所以，
所以雙曲線的離心率，又，
所以，即該雙曲線離心率的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的離心率的取值范圍，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于的不等關(guān)系．本題中利用拋物線的定義，結(jié)合向量關(guān)系求出直線的斜率的取值范圍，再利用兩直線垂直可得所要求的不等關(guān)系.
17．（1）（2），理由見解析
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，根據(jù)所選條件求出數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公差，進(jìn)一步求出{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求得，運(yùn)用數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和求得，將與作差，通分化簡(jiǎn)可得大?。?br>【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則
，
.
方案一：選條件①
由，
解得，，
.
又
方案二：選條件②
由
解得，
同方案一
方案三：選條件③
由
解得，
同方案一
【點(diǎn)睛】
規(guī)律方法點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)．
18．（1），；（2）.
【分析】
（1）利用二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而由的取值范圍得出函數(shù)的最值；
（2）利用面積公式，余弦定理和正弦定理求解即可．
【詳解】
（1）
當(dāng)時(shí)，
，.
（2）
又
又
19．（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）分別證明和，再由線面垂直的判定定理即證明；
（2）設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，找出平面的法向量，把直線與平面所成角的正弦表示成的函數(shù)，再用均值不等式，即可算出，從而求得三棱錐的體積.
【詳解】
（1）證明：平面，平面
四邊形為矩形
又，平面
平面
平面
在中，，為中點(diǎn)
又，平面
平面
（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，，，
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
令，解得
設(shè)直線與平面所成角為，則
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立
三棱錐的體積
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
20．（1）分布列見解析，；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出在上抽取的人數(shù)為人，在上抽取的人數(shù)為人，隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，，利用組合數(shù)得出各隨機(jī)變量的概率，進(jìn)而得出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望.
（2）利用頻率分布直方圖求出平均數(shù)，得出，利用正態(tài)分布的性質(zhì)得出，再根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式即可求解.
【詳解】
解：運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的人數(shù)為人.
運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的人數(shù)為人.
按照分層抽樣共抽取人，則在上抽取的人數(shù)為人，
在上抽取的人數(shù)為人.
隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，.
所以隨機(jī)變量的分布列為
，
（或）
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、頻率分布直方圖以及正態(tài)分布，二項(xiàng)分布求概率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)頻率分布直方圖求均值以及利用正態(tài)分布的性質(zhì)求出，考查了計(jì)算能力.
21．（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）由題意可得，再利用離心率求出，即可求解.
（2）設(shè)，，分情況討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出，從而可得，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出半徑，再求出直線的斜率不存在時(shí)圓的半徑，從而得出圓的方程.
【詳解】
解：由題意知，
又
橢圓的方程為
設(shè)，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線的方程為，
由
得
，
以線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)
，且
坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題知，
坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離
綜上所述，存在以為圓心的定圓恒與直線相切，定圓的方程為.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)，得出，考查了運(yùn)算求解能力、分析能力.
22．（1）當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)極值點(diǎn)；（2）證明見解析.
【分析】
（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)可得，令，則，由的單調(diào)性可得 ，再分和討論即可得解；
（2）由題意知，，
由的單調(diào)性可得，若要函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)
則有，即，再根據(jù)，
令，可得，令，可得，作差即可得解.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
令，
則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，無極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，
，
在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn).
又，
在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有個(gè)極值點(diǎn)；
（2），則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且
，即
又
令，
則
令，
則
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增.
，
令，
則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減
即
令，則
.
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想和證明推理能力，在高考中考查壓軸題，要求較高的計(jì)算能力和邏輯思維能力，屬于難題.本題的關(guān)鍵點(diǎn)有：
（1）分類討論思想的應(yīng)用，分類討論的關(guān)鍵是找到討論點(diǎn)；
（2）反復(fù)的構(gòu)造函數(shù)，并用導(dǎo)數(shù)研究相關(guān)構(gòu)造的函數(shù).

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