考點46  三定問題(定點、定值、定直線)一．求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．二．直線定點問題的求解的基本思路如下：①假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關系，代入韋達定理可整理得到變量間的關系，從而化簡直線方程；④根據直線過定點的求解方法可求得結果.三．解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數法：參數解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數表示變化量，即確定題目中核心變量(通常為變量)；②利用條件找到過定點的曲線之間的關系，得到關于與的等式，再研究變化量與參數何時沒有關系，得出定點的坐標；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.考向一 定值【例1】(2021·北京豐臺區(qū)·高三一模)已知橢圓長軸的兩個端點分別為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點，連接并延長交橢圓于點. (ⅰ)求證：直線的斜率之積為定值；(ⅱ)判斷三點是否共線，并說明理由.        【舉一反三】1．(2021·陜西寶雞市·高三二模(文))已知橢圓：()的左?右焦點分別為，，離心率為，點是橢圓上一點，的周長為.(1)求橢圓的方程；(2)直線：與橢圓交于，兩點，且四邊形為平行四邊形，求證：的面積為定值.        2．(2021·四川遂寧市·高三二模(文))如圖，已知橢圓：的左焦點為，直線與橢圓交于，兩點，且時，.(1)求的值；(2)設線段，的延長線分別交橢圓于，兩點，當變化時，直線與直線的斜率之比是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，請說明理由.     考向二 定點【例2】(2021·河南月考(文))已知橢圓的兩焦點為，，點在橢圓上，且的面積最大值為．(Ⅰ)求橢圓的標準方程；(Ⅱ)點為橢圓的右頂點，若不平行于坐標軸的直線與橢圓相交于兩點(均不是橢圓的右頂點)，且滿足，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．     【舉一反三】1．(2021·黑龍江大慶市·高三一模(理))已知焦點在軸上的橢圓：，短軸長為，橢圓左頂點到左焦點的距離為．(1)求橢圓的標準方程；(2)如圖，已知點，點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于不同的兩點 ，兩點都在軸上方，且．證明直線過定點，并求出該定點坐標．               2．(2021·全國高三月考(文))已知斜率為的的直線與橢圓交于點，線段中點為，直線在軸上的截距為橢圓的長軸長的倍.(1)求橢圓的方程；(2)若點都在橢圓上，且都經過橢圓的右焦點，設直線的斜率分別為，，線段的中點分別為，判斷直線是否過定點，若過定點.求出該定點，若不過定點，說明理由.      考向三 定直線【例3】(2021·深圳實驗學校高中部)如圖，已知拋物線直線交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點.(1)證明：；(2)設拋物線C在點A處的切線為，在點B處的切線為，證明：與的交點M在一定直線上.  【舉一反三】1．(2021·浙江溫州市)已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線交拋物線于，兩點.(1)求拋物線的標準方程；(2)過點，分別作拋物線的切線，，點為直線，的交點.(i)求證：點在一條定直線上；(ii)求面積的取值范圍.       2．(2021·云南昆明市·昆明一中高三月考(理))已知點P是拋物線上的動點，且位于第一象限．圓，點P處的切線l與圓O交于不同兩點A，B，線段的中點為D，直線與過點P且垂直于x軸的直線交于點M．(1)求證：點M在定直線上；(2)設點F為拋物線C的焦點，切線l與y軸交于點N，求與面積比的取值范圍．      1．(2021·江蘇常州市·高三一模)已知O為坐標系原點，橢圓的右焦點為點F，右準線為直線n.(1)過點的直線交橢圓C于兩個不同點，且以線段為直徑的圓經過原點O，求該直線的方程；(2)已知直線l上有且只有一個點到F的距離與到直線n的距離之比為.直線l與直線n交于點N，過F作x軸的垂線，交直線l于點M.求證：為定值.                2(2021·山西臨汾市·高三一模(理))已知橢圓與雙曲線有兩個相同的頂點，且的焦點到其漸近線的距離恰好為的短半軸的長度．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作不垂直于坐標軸的直線與交于，兩點，在軸上是否存在點，使得平分？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．      3．(2021·漠河市高級中學高三月考(理))已知橢圓的一個頂點恰好是拋物線的焦點，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數.(1)求橢圓的標準方程；(2)若過橢圓的右焦點作與坐標軸不垂直的直線交橢圓于兩點，設點關于軸的對稱點為，當直線繞著點轉動時，試探究：是否存在定點，使得三點共線？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.       4．(2021·山東煙臺市·高三一模)已知分別是橢圓的左?右焦點， 為橢圓的上頂點，是面積為的直角三角形.(1)求橢圓的方程；(2)設圓上任意一點處的切線交橢圓于點，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由.       6．(2021·四川遂寧市·高三二模(理))如圖，已知橢圓：的左焦點為，直線與橢圓交于，兩點，且時，.(1)求的值；(2)設線段，的延長線分別交橢圓于，兩點，當變化時，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.    7．(2021·廣東汕頭市·高三一模)在平面直角坐標系中，為坐標原點，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于．(1)求動點的軌跡方程；(2過作互相垂直的兩條直線、，與動點的軌跡交于、，與動點的軌跡交于點、，、的中點分別為、；①證明：直線恒過定點，并求出定點坐標．②求四邊形面積的最小值．               8．(2021·河南平頂山市·高三二模(理))已知橢圓的離心率，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點，在第一象限，且．(1)求橢圓的方程；(2)在軸上是否存在點，滿足對于過點的任一直線與橢圓的兩個交點，，都有為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．       9．(2021·北京平谷區(qū)·高三一模)已知橢圓的離心率為，并且經過點．(1)求橢圓的方程；(2)設過點的直線與軸交于點，與橢圓的另一個交點為，點關于軸的對稱點為，直線交軸于點，求證：為定值．    10．(2021·河南新鄉(xiāng)市·高三二模(理))已知橢圓的左、右頂點分別為，，為上不同于，的動點，直線，的斜率，滿足，的最小值為-4.(1)求的方程；(2)為坐標原點，過的兩條直線，滿足，，且，分別交于，和，.試判斷四邊形的面積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明理由.

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