?2019屆江西省、廣東省百校聯(lián)考高三12月教學(xué)質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)（文）試題


一、單選題
1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈A}，則A∩B＝（ ）
A．{4} B．{2，4} C．{1，3，5} D．{1，2，3，4，5}
【答案】B
【解析】利用交集定義直接求解．
【詳解】
解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，
B＝{x|x＝2n，n∈N}，
∴A∩B＝{2，4}．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題．
2．已知i為虛數(shù)單位，下列運(yùn)算結(jié)果為實(shí)數(shù)的是（ ）
A．i?（1+i） B．i2?（1+i） C．i?（1+i）2 D．i2?（1+i）2
【答案】C
【解析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．
【詳解】
解：i?（1+i）＝﹣1+i，
i2?（1+i）＝﹣1﹣i，
i?（1+i）2＝i?2i＝﹣2，
i2?（1+i）2＝﹣1?2i＝﹣2i．
∴運(yùn)算結(jié)果為實(shí)數(shù)的是C．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．
3．已知p：﹣1＜x＜2，q：2x2﹣x﹣3＜0，則p是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】求出不等式的等價(jià)條件，結(jié)合不等式的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：由2x2﹣x﹣3＜0得（x+1）（2x﹣3）＜0，
得﹣1＜x，
則p是q的必要不充分條件
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，二次不等式的解法，理解不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
4．已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝2x+x2，則f（﹣2）＝（ ）
A． B．﹣8 C． D．8
【答案】B
【解析】根據(jù)f（x）是奇函數(shù)即可得出f（﹣2）＝﹣f（2），而根據(jù)x＞0時(shí)，f（x）＝2x+x2，即可得出f（2）＝8，從而求出f（﹣2）＝﹣8．
【詳解】
解：∵f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝2x+x2；
∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣（4+4）＝﹣8．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查奇函數(shù)的定義，以及已知函數(shù)求值的方法，考查轉(zhuǎn)化能力．
5．中國和印度是當(dāng)今世界上兩個(gè)發(fā)展最快且是最大的發(fā)展中國家，為了解兩國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展情況，收集了2008年至2017年兩國GDP年度增長率，并繪制成如圖折線圖，則下列結(jié)論不正確的是（ ）

A．2010年，兩國GDP年度增長率均為最大
B．2014年，兩國GDP年度增長率幾乎相等
C．這十年內(nèi)，中國比印度的發(fā)展更為平穩(wěn)一些
D．2015年起，印度GDP年度增長率均比中國大
【答案】D
【解析】根據(jù)折線圖進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：由折線圖可知兩國GDP年度增長率均在2010年達(dá)到最大值，故A正確；
在2014年，兩國GDP年度增長率幾乎相等，故B正確；
在這十年間，中國GDP年度增長率變化不大，而印度GDP年度增長率變化較大，故C正確；
由折線圖可知在2017年，印度GDP年度增長率低于中國，故D錯(cuò)誤．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，考查折線圖的意義，考查數(shù)據(jù)分析能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝2，B＝30°，△ABC的面積為，則b＝（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】C
【解析】由已知利用三角形的面積公式可求c的值，根據(jù)余弦定理可求b的值．
【詳解】
解：∵a＝2，B＝30°，△ABC的面積為acsinB，
∴c＝2，
∴由余弦定理可得：b．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
7．函數(shù)y在其定義域內(nèi)的大致圖象為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用導(dǎo)數(shù)明確函數(shù)在上的單調(diào)性．
【詳解】
解：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
f（﹣x）f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除C，
當(dāng)時(shí)， ，
∴，
即在 上單調(diào)遞減，排除B，D
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和極限思想，利用排除法是解決本題的關(guān)鍵．
8．已知函數(shù)f（x）＝2sin（2x+θ）（|θ|）的圖象經(jīng)過（，1），則f（x）的圖象（ ）
A．關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱 B．關(guān)于直線x對稱
C．關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱 D．關(guān)于直線x對稱
【答案】B
【解析】根據(jù)函數(shù)過定點(diǎn)，求出θ的大小，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求出對稱軸和對稱中心方程進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：∵f（x）的圖象經(jīng)過（，1），
∴f（）＝2sin（2θ）＝1，
即sin（θ），
∵|θ|，
∴θ，則θ，
則θ，即θ，
則f（x）＝2sin（2x），
由2xkπ，得x，k∈Z，即對稱中心為（，0），k∈Z，
由2xkπ，得x，k∈Z，即對稱軸方程為x，k∈Z，
當(dāng)k＝0時(shí)，對稱軸方程為x，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角函數(shù)解析式以及性質(zhì)判斷，求出θ的值，利用三角函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．
9．已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周均在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為（ ）
A．π B．π C．π D．12π
【答案】C
【解析】取圓錐的軸截面，得出軸截面的外接圓半徑等于圓錐的外接球半徑，然后利用正弦定理可計(jì)算出球的直徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案．
【詳解】
解：如下圖所示，

取圓錐的軸截面，則該軸截面等邊△ABC的外接圓圓心即為圓錐的外接球球心，且△ABC外接圓半徑等于圓錐的外接球半徑，
設(shè)球的半徑為R，由正弦定理得，
因此，這個(gè)球的表面積為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查球體的表面積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵在于充分利用圓錐軸截面的幾何性質(zhì)來求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題．
10．已知A、B分別為橢圓C：1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，F(xiàn)是C的左焦點(diǎn)，若FB⊥AB，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用橢圓的性質(zhì)結(jié)合勾股定理轉(zhuǎn)化求解即可．
【詳解】
解：A、B分別為橢圓C：1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，F(xiàn)是C的左焦點(diǎn)，若FB⊥AB，
可得：a2+b2+b2+c2＝（a+c）2，即：2ac＝2b2＝2a2﹣2c2，
可得e2+e﹣1＝0，解得e，e（舍去）．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．
11．某正三棱柱的三視圖如圖所示，正三棱柱表面上的點(diǎn)M、N分別對應(yīng)正視圖上的點(diǎn)A，B，若在此正三棱柱側(cè)面上，M經(jīng)過三個(gè)側(cè)面到達(dá)N的最短距離為6，則當(dāng)此正三棱柱的側(cè)面積取得最大值時(shí)，它的高為（ ）

A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由三視圖還原原幾何體正三棱柱，設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為b，由已知求得．再由基本不等式求最值得答案．
【詳解】
解：由三視圖還原原幾何體正三棱柱如圖，

設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為b，
則，即．
∴，
即ab≤6，當(dāng)且僅當(dāng)，即b時(shí)，
三棱柱側(cè)面積有最大值S＝3ab＝18．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，考查多面體表面距離最小值的求法，是中檔題．
12．若函數(shù)f（x），的值域是[﹣1，1]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，﹣1]
C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【答案】B
【解析】這是一道分段函數(shù)的最值問題，可利用分類討論來解答，注意分段函數(shù)的值域是每個(gè)分支函數(shù)的值域的并集．
【詳解】
解：當(dāng)x≥a，y＝sinx的值域?yàn)閇﹣1，1]，而y＝f（x）的值域也恰好是[﹣1，1]，這說明：函數(shù)的值域是[﹣1，1]的一個(gè)子集．
則有，a≤﹣1．
故選：B．

【點(diǎn)睛】
本題考查了分段函數(shù)的最值問題，利用數(shù)形結(jié)合思想能夠直觀，形象地解答問題．


二、填空題
13．若傾斜角為α的直線l與曲線y＝ex+x相切于點(diǎn)（0，1），則sin2α＝_____．
【答案】
【解析】由條件通過導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得sin2α的值．
【詳解】
解：y′＝ex+1，
故y′|x＝0＝2，
即tanα＝2，
則sin2α
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，切線的斜率的求法，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
14．已知x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)﹣2x的最大值為_____．
【答案】5
【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求最大值．
【詳解】
作出x，y滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：

由z＝y(tǒng)﹣2x得y＝2x+z，
平移直線y＝2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y＝2x+z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線y＝2x+z的截距最大，此時(shí)z最大．
由，解得C（﹣4，﹣3），
代入目標(biāo)函數(shù)得z＝﹣3﹣2×（﹣4）＝5，
即z＝y(tǒng)﹣2x的最大值是5．
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．
15．某中學(xué)“主持朗誦”社團(tuán)的成員中，分別有高一、高二、高三年級各1、2、3名表達(dá)與形象俱佳的學(xué)生，在該?！霸┕?jié)目匯演”中，要從這6名學(xué)生中選取兩人擔(dān)任節(jié)目主持人，則至少有一個(gè)是高三學(xué)生的概率是_____．
【答案】
【解析】設(shè)高三的3位同學(xué)為A1，A2，A3，高二的2位同學(xué)為B1，B2，高一的1位同學(xué)為C1，列舉可得總的基本事件有15個(gè)，符合條件的有12個(gè)，由概率公式可得．
【詳解】
解：設(shè)高三的3位同學(xué)為A1，A2，A3，高二的2位同學(xué)為B1，B2，高一的1位同學(xué)為C1，
則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有15種可能，列舉如下：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），
（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），
（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），
（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），
其中高三的3位同學(xué)至少一位同學(xué)參加縣里測試的有：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），
（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），
（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），
12種可能．
∴高二至少有一名學(xué)生參加縣里比賽的概率為：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，屬基礎(chǔ)題．
16．在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD＝120°，△ABD是邊長為2的正三角形，E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則?的最小值為_____．
【答案】
【解析】將四邊形放入坐標(biāo)系，結(jié)合三角函數(shù)定義求出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)進(jìn)行求求解即可．
【詳解】
解：當(dāng)四邊形ABCD放入平面直角坐標(biāo)系，
∵AB⊥BC，∠BCD＝120°，△ABD是邊長為2的正三角形，
∴D（2cos30°，2sin30°），即D（，1），
∵∠CDB＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝120°
∴∠CDB＝30°，即△BCD是等腰三角形，
取BD的中點(diǎn)E，
則BE＝1，
則cos30°，
即BC，即C（，0），
設(shè)E（0，b），0≤b≤2，
則（，b﹣1），（，b），
則?（，b﹣1）?（，b）＝2+b（b﹣1）＝b2﹣b+2
＝（b）2+2═（b）2，
∴當(dāng)b時(shí)，數(shù)量積取得最小值，
故答案為：

【點(diǎn)睛】
本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．

三、解答題
17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an﹣1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn＝an?log2an+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
【答案】（1）an＝2n﹣1（2）Tn＝1+（n﹣1）?2n
【解析】（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求通項(xiàng)；
（2）求得bn＝an?log2an+1＝n?2n﹣1，由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．
【詳解】
（1）Sn＝2an﹣1，可得n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a1﹣1，即有a1＝1，
n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，即為an＝2an﹣1，
可得{an}為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
可得an＝2n﹣1；
（2）bn＝an?log2an+1＝n?2n﹣1，
前n項(xiàng)和Tn＝1?20+2?21+…+n?2n﹣1，
2Tn＝1?2+2?22+…+n?2n，
相減可得﹣Tn＝1+2+…+2n﹣1﹣n?2n
n?2n，
化簡可得Tn＝1+（n﹣1）?2n．
【點(diǎn)睛】
本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
18．如圖，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1．將矩形沿對角線BD折起，使A移到點(diǎn)P，P在平面BCD上的投影O恰好落在CD邊上．

（1）證明：DP⊥平面BCP；
（2）求點(diǎn)O到平面PBD的距離．
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】（1）由已知可證BC⊥CD，DA⊥AB，由A點(diǎn)移動(dòng)到了P點(diǎn)，可證PD⊥PB，過P點(diǎn)作PO⊥CD，利用PO⊥面BCD，可證BC⊥面PCD，利用線面垂直的性質(zhì)得BC⊥PD，根據(jù)線面垂直的判定定理可證PD⊥面PBC．
（2）連接OB，由（1）可知DP⊥PC，可求PC，可證OP⊥CD，由DC?PO＝DP?PC，解得OP，OC的值，可得S△ODB，設(shè)點(diǎn)O到平面PBD的距離為h，可得S△DPB＝S△ABD＝1，根據(jù)VP﹣DOB＝VO﹣DPB，即可解得h的值．
【詳解】
（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC⊥CD，DA⊥AB，
∵A點(diǎn)移動(dòng)到了P點(diǎn)，
∴PD⊥PB，
又∵P點(diǎn)在平面BCD上的射影在CD上，
∴過P點(diǎn)作PO⊥CD，
∴PO⊥面BCD，
∴BC⊥面PCD，可得：BC⊥PD，
∴PD⊥面PBC，
（2）連接OB，由（1）可知DP⊥平面BCP，PC?平面BCP，
所以DP⊥PC，
即PC，
由（1）可知OP⊥平面BCD，
而CD?平面BCD，
所以O(shè)P⊥CD，
由DC?PO＝DP?PC，解得：OP，
所以O(shè)C，
可得：OD，BD，sin∠ODB，
可得S△ODBsin∠ODB，
設(shè)點(diǎn)O到平面PBD的距離為h，可得S△DPB＝S△ABD＝1，
因?yàn)閂P﹣DOB＝VO﹣DPB，
所以S△DOB?POS△DPB?h，
可得：h，解得h．
即點(diǎn)O到平面PBD的距離．
【點(diǎn)睛】
本題是對線面垂直的判定和性質(zhì)以及三棱錐的體積計(jì)算的綜合考查，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．
19．如圖是某創(chuàng)業(yè)公司2017年每月份公司利潤（單位：百萬元）情況的散點(diǎn)圖：為了預(yù)測該公司2018年的利潤情況，根據(jù)上圖數(shù)據(jù)，建立了利潤y與月份x的兩個(gè)線性回歸模型：①0.94+0.028；②0.96+0.032lnx，并得到以下統(tǒng)計(jì)值：


模型①
模型②

殘差平方和（yi）2
0.000591
0.000164
總偏差平方和（yi）2
0.006050

（1）請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好；
（2）為了激勵(lì)員工工作的積極性，公司每月會(huì)根據(jù)利潤的情況進(jìn)行獎(jiǎng)懲，假設(shè)本月利潤為y1，而上一月利潤為y2，計(jì)算z，并規(guī)定：若z≥10，則向全體員工發(fā)放獎(jiǎng)金總額z元；若z＜10，從全體員工每人的工資中倒扣10﹣z元作為懲罰，扣完為止，請根據(jù)（1）中擬合效果更好的回歸模型，試預(yù)測208年4月份該公司的獎(jiǎng)懲情況？（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）
參考數(shù)據(jù)及公式：1.73，2.24，1n2≈0.69，1n3≈1.10，ln5≈1.61．相關(guān)指數(shù)R2＝1．
【答案】（1）模型②0.96+0.032lnx，的擬合效果更好，詳見解析（2）預(yù)測2018年4月份公司應(yīng)該向全體員工發(fā)放10.56萬元的獎(jiǎng)金總額
【解析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，分別計(jì)算出兩種回歸方程的相關(guān)指數(shù)，比較即可．
（2）由（1）知模型②的擬合效果更好，利用模型②預(yù)報(bào)4月份和3月份的利潤y2，y1，代入公式求出z分析即可．
【詳解】
設(shè)模型①②的相關(guān)指數(shù)分別為，，
則10.902314，10.97289，
所以，所以模型②0.96+0.032lnx，的擬合效果更好．
（2）由（1）知，模型②0.96+0.032lnx，的擬合效果更好．
則2018年4月份公司的利潤的預(yù)報(bào)值為：y1＝0.96+0.032ln16＝0.96+0.032×4×ln2≈1.04832（百萬元），
2018年3月份公司的利潤預(yù)報(bào)為：y2＝0.96+0.32ln15＝0.96+0.032（ln3+ln5）≈1.04672（百萬元），
所以z＝0.1y1+0.5×（y2﹣y1）＝0.104832+0.5×0.0016≈0.105632（百萬元）≈10.56萬元，
因?yàn)閦≥10，
所以，預(yù)測2018年4月份公司應(yīng)該向全體員工發(fā)放10.56萬元的獎(jiǎng)金總額．
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用相關(guān)指數(shù)判斷回歸分析擬合效果，主要考查計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題．
20．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F垂直于x軸的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，△AOB的面積為2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過P（，0）的直線與C相交于M，N兩點(diǎn)，且2，求直線l的方程．
【答案】（1）y2＝4x（2）或．
【解析】（1）先得出直線AB的方程，將直線AB的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可求出|AB|，然后利用三角形的面積公式可求出p的值，即可求出拋物線的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為x＝my﹣1，設(shè)點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），將直線l的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，由得出y1＝2y2，并將此關(guān)系式代入韋達(dá)定理，可求出m的值，即可得出直線l的方程．
【詳解】
（1）易知直線AB的方程為，將該直線方程代入拋物線C的方程得，∴、，且|AB|＝2p，
∴△AOB的面積為，∵p＞0，解得p＝2．
因此，拋物線C的方程為y2＝4x；
（2）設(shè)直線MN的方程為，設(shè)點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），y2﹣4my+4＝0
△＝16m2﹣16＞0，解得m＜﹣1或m＞1．
，，∵，∴y1＝2y2，

由韋達(dá)定理得y1+y2＝3y2＝4m，則，
，得，
因此，直線l的方程為，即或．
【點(diǎn)睛】
本題考查直線與拋物線的綜合問題，考查韋達(dá)定理設(shè)而不求法在拋物線綜合問題中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題．
21．已知f（x）＝1nx2x+1，其中a≠0．
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，證明：f（x）．
【答案】（1）f（x）的極大值為﹣2，無極小值（2）證明見解析
【解析】（1）對f（x）求導(dǎo)，求出函數(shù)單調(diào)性，求出極值；
（2）證明f（x）即證明f（x）max，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的最大值即可．
【詳解】
解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝lnx2x+1，
所以f（x），（x＞0）
令f'（x）＞0得f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，
令f'（x）＜0得f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取得極大值f（1）＝﹣2，無極小值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）（x＞0），
令g（x）＝﹣2x2+x+a，則g（0）＝a＞0，又g（x）開口向下，且對稱軸為x，
所以存在x0使得g（x0）＝0，即a＝2x0，
所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，（x0，+∞）是單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x＝x0時(shí)，f（x）取得最大值f（x0），
f（x0）＝lnx02x0+1＝lnx02x0+1＝lnx0﹣4x0+2，
令h（x0）＝f（x0），
所以當(dāng)x0時(shí)，h'（x0）0，
所以在h（x0）（上單調(diào)遞減，
所以h（x0）＜h（）＝lnln，
所以原不等式成立．
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于綜合題．
22．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ（ρ﹣2sinθ）＝1．
（1）求C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與y軸相交于P，與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且|PA|+|PB|＝2，求點(diǎn)O到直線l的距離．
【答案】（1）x2+（y﹣1）2＝2（2）
【解析】（1）把曲線C的極坐標(biāo)方程變形，結(jié)合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得C的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線l與y軸的交點(diǎn)為P（0，﹣1），曲線C是圓心為C（0，1），半徑為的圓，由CP＝2可得P（0，﹣1）在圓外，將直線l的參數(shù)方程代入x2+（y﹣1）2＝2，得到關(guān)于t的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)t的幾何意義求解．
【詳解】
（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ（ρ﹣2sinθ）＝1，
化簡得：ρ2﹣2ρcosθ﹣1＝0，
由ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
得C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣2y﹣1＝0，即x2+（y﹣1）2＝2；
（2）直線l與y軸的交點(diǎn)為P（0，﹣1），曲線C是圓心為C（0，1），半徑為的圓，
∵CP＝2，∴P（0，﹣1）在圓外，
將直線l的參數(shù)方程代入x2+（y﹣1）2＝2，
得t2﹣4tsinα+2＝0．
∴t1+t2＝4sinα，又P（0，﹣1）在圓外，
∴t1，t2同號，
∴|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝|4sinα|＝2，
得|sinα|，可得直線l的斜率為．
設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為h，則h＝|OP|?sin60°．
即點(diǎn)O到直線l的距離為．
【點(diǎn)睛】
本題考查參數(shù)方程化普通方程，極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，關(guān)鍵是直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題．
23．已知函數(shù)f（x）＝|x|+|x﹣λ|，其中λ．
（1）若對任意x∈R，恒有f（x），求λ的最大值；
（2）在（1）的條件下，設(shè)λ的最大值為t，若正數(shù)m，n滿足m+2n＝mnt，求2m+n的最小值．
【答案】（1）（2）36
【解析】（1）對任意x∈R，恒有f（x）?f（x）min，再用絕對值不等式的性質(zhì)求得f（x）的最小值代入可求得λ的最大值；
（2）由（1）知t，m+2nmn，∴，再變形后用基本不等式可求得．
【詳解】
（1）∵f（x）＝|x|+|x﹣λ|≥|（x）﹣（x﹣λ）|＝|λ|，∴f（x）min＝|λ|，
對任意x∈R，恒有f（x）?|λ|，解得λ或λ，
又已知λ，故λ，所以λ的最大值為．
（2）由（1）知t，m+2nmn，∴，
∴2m+n＝（2m+n）×4（）＝4（4+1）≥4（5+2）＝36
當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝12時(shí)取等．
2m+n的最小值為36．
【點(diǎn)睛】
本題考查絕對值不等式的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．屬于中檔題．

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