2020屆河南省名校聯(lián)盟高三11月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題  一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】直接利用交集的運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】．故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的定義及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再求出z的坐標(biāo)得答案．【詳解】因?yàn)?/span>，所以復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為，位于第三象限．故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．設(shè)向量滿足，，則（    ）A．1 B． C． D．7【答案】B【解析】由，然后用數(shù)量積的定義，將的模長和代入即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模長，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4．設(shè)有不同的直線a，b和不同的平面，，給出下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則．其中正確的個(gè)數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系判斷求解即可．【詳解】對(duì)于①，若a∥α，b∥α，則直線a和直線b可以相交也可以異面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若a∥α，a∥β，則平面a和平面β可以相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若a⊥α，b⊥α，則根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理，a∥b，故③正確；對(duì)于④，若a⊥α，a⊥β，則α∥β成立；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查推理判斷能力，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．5．甲、乙2名黨員干部各自等可能地從A，B，C，D，4個(gè)貧困村中選擇1個(gè)駐村扶貧，則他們選擇不同的貧困村駐村扶貧的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】列舉出符合題意的所有情況，找出滿足選擇不同的貧困村駐村扶貧的種數(shù)，利用古典概型的概率公式計(jì)算即可..【詳解】甲乙2名黨員干部各自等可能地從A，B，C，D，4個(gè)貧困村中選擇1個(gè)駐村扶貧，可能的結(jié)果共有如下16種：，，，，，，，，，，，，，，，，其中他們選擇相同的貧困村駐村扶貧的結(jié)果共有如下4種：，，，，故他們選擇不同的貧困村駐村扶貧的概率為．故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型，考查了列舉法求基本事件的方法，屬于基礎(chǔ)題.6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年齡大，甲和湖南人不同歲，湖南人比乙年齡?。纱丝梢酝浦杭?、乙、丙三人中（    ）A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年齡小 C．湖南人比河南人年齡大 D．海南人年齡最小【答案】D【解析】通過分析，排除即可．【詳解】由于甲和湖南人不同歲，湖南人比乙年齡小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人；由于丙比海南人年齡大，湖南人比乙年齡小，可知甲是海南人；故：乙（河南人）的年齡＞丙（湖南人）的年齡＞甲（海南人）的年齡；所以ABC錯(cuò)，D對(duì)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的邏輯推理，屬于基礎(chǔ)題．7．已知，則（    ）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)，再利用兩角差的正切公式，將弦化切，代入計(jì)算即可求出值．【詳解】．故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用二倍角的正余弦公式化簡(jiǎn)求值，考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．函數(shù)的圖像大致是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】本題首先可根據(jù)得出，然后即可判斷出函數(shù)是奇函數(shù)并排除B項(xiàng)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，問題得解。【詳解】因?yàn)?/span>，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除B，因?yàn)楹瘮?shù)的解析式為，所以，,在遞增又，所以在恒成立所以在遞增，又所以在恒成立所以在為增函數(shù)，排除A、C，綜上所述，故選D。【點(diǎn)睛】本題考查如何判斷函數(shù)的大致圖像，可通過函數(shù)性質(zhì)來判斷，比如說函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、值域、特殊值的大小，考查推理能力，是中檔題。9．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，滿足，且，則C的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】通過|F1F2|＝|PF2|及橢圓的定義建立a與c的關(guān)系，求出橢圓的離心率e．【詳解】因?yàn)樵?/span>中，，，所以，，橢圓C的離心率為．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的求法，考查了橢圓定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，若與都是偶函數(shù)，則（    ）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù) C．是偶函數(shù) D．【答案】C【解析】首先由偶函數(shù)及圖象平移的性質(zhì)求得f（x）的周期，然后利用所求結(jié)論直接判斷即可．【詳解】f（x+1）與f（x﹣1）都是偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象的平移可知，f（x）的圖象關(guān)于x＝1，x＝﹣1對(duì)稱，可得f（x）＝f（2﹣x）＝f（﹣4+x），即有f（x+4）＝f（x），∴函數(shù)的周期T＝4，∴f（﹣x+3）＝f（﹣x﹣1）＝f（x+3），則f（x+3）為偶函數(shù)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用與周期性的證明，準(zhǔn)確把握定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．11．如圖來自某中學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組所研究的幾何圖形，大球內(nèi)有4個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有1個(gè)交點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，小球相交部分(圖中陰影部分)記為Ⅰ，大球內(nèi)、小球外的部分(圖中黑色部分)記為Ⅱ，若在大球中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取Ⅰ，Ⅱ的概率分別記為，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意推知小球半徑是大球的一半，建立大球體積小球體積和陰影部分的體積的關(guān)系，可推知選項(xiàng)．【詳解】設(shè)小球的半徑為r，則大球的半徑為，體積為，4個(gè)小球的體積之和為，小球相交部分的體積，大球內(nèi)、小球外的部分的體積，所以，從而，，，所以選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確．故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型，考查組合體的體積，空間想象能力，邏輯推理能力，是難題．12．已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（    ）A．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．的最大值為 D．是周期函數(shù)【答案】C【解析】根據(jù)對(duì)稱性，周期性最值的概念結(jié)合三角函數(shù)的運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>f（π﹣x）+f（x）＝sin（π﹣x）sin（2π﹣2x）+sinxsin2x＝0，所以A正確；對(duì)于B，f（2π﹣x）＝sin（2π﹣x）sin（4π﹣2x）＝sinxsin2x＝f（x），所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以B正確；對(duì)于C，f（x）＝sinx?sin2x＝2sin2xcosx＝2（1﹣cos2x）cosx＝2cosx﹣2cos3x，令t＝cosx，則t∈[﹣1，1]，f（x）＝g（t）＝2t﹣2t3，令g′（t）＝2﹣6t2＝0，得，t，，，，，所以的最大值是，從而的最大值是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，即f（2π+x）＝f（x），故2π為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，故D正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的周期性及其求法函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的對(duì)稱性，考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查分析和解決問題的能力，屬于中檔題．  二、填空題13．曲線在處的切線方程為______．【答案】【解析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由斜截式方程可得切線方程．【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，即有切線方程為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的運(yùn)用，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題．14．若一個(gè)棱長為2的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為__________．【答案】【解析】棱長為的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則球的直徑等于正方體的對(duì)角線長，即，則該球的體積15．已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，則__________．【答案】5【解析】利用正弦定理及同角基本關(guān)系直接得解.【詳解】由正弦定理得．又，所以，從而，．故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)Q在C的漸近線上，則C的兩條漸近線方程為__________．【答案】y＝±2x【解析】求得雙曲線的漸近線方程，由圓的性質(zhì)可得PF1⊥PF2，由三角形的中位線定理可得PF1⊥OQ，OQ的方程設(shè)為bx+ay＝0，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得F1（﹣c，0）到OQ的距離，結(jié)合雙曲線的定義可得b＝2a，進(jìn)而雙曲線的漸近線方程．【詳解】雙曲線的漸近線方程為y＝±x，點(diǎn)P是以F1F2為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，可得PF1⊥PF2，線段PF1的中點(diǎn)Q在C的漸近線，可得OQ∥PF2，且PF1⊥OQ，OQ的方程設(shè)為bx+ay＝0，可得F1（﹣c，0）到OQ的距離為b，即有|PF1|＝2b，|PF2|＝2|OQ|＝2a，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，即b＝2a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±2x．故答案為：y＝±2x．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查直徑所對(duì)的圓周角為直角，三角形的中位線定理和化簡(jiǎn)整理能力，屬于中檔題． 三、解答題17．2019年中秋節(jié)期間，某超市為了解月餅的銷售量，對(duì)其所在銷售范圍內(nèi)的1000名消費(fèi)者在中秋節(jié)期間的月餅購買量(單位：g)進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計(jì)該超市銷售范圍內(nèi)消費(fèi)者人均在中秋節(jié)期間的月餅購買量(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)的值作代表)．【答案】（1）（2）【解析】（1）由頻率分布直方圖列出方程能求出a．（2）由頻率分布直方圖求出人均月餅購買量，由此得到結(jié)果．【詳解】(1)依題意，有，解得．(2)該超市銷售范圍內(nèi)消費(fèi)者人均在中秋節(jié)期間的月餅購買量的估計(jì)值為．【點(diǎn)睛】本題考查用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布及識(shí)圖的能力，求解的重點(diǎn)是對(duì)題設(shè)條件及直方圖的理解，了解直方圖中每個(gè)小矩形的面積的意義，是中檔題．18．設(shè)等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】（1）直接利用等比數(shù)列的基本量建立的方程組，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）利用乘公比錯(cuò)位相減法求數(shù)列和即可．【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為q．依題意，有解得所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由(1)知，．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．則，．兩式相減得，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，乘公比錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面．(1)求證：平面．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，說明理由；(2)若，求點(diǎn)A到平面的距離．【答案】（1）四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為，，，（2）【解析】（1）利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明，根據(jù)“鱉臑”定義進(jìn)行判斷即可；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化方法求解．【詳解】(1)因?yàn)?/span>，，由余弦定理得．從而，故．由平面，可得．因?yàn)?/span>，所以平面．由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為，，，．(2)因?yàn)?/span>為平行四邊形，，，，所以，，，．所以的面積為．在中，，，，所以．在中，，，，所以的面積為．設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為d，則三棱錐的體積為．因?yàn)?/span>平面，所以三棱錐的體積為．所以，，即點(diǎn)A到平面的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查新概念、線面垂直的證明，考查了空間位置關(guān)系以及體積轉(zhuǎn)化的應(yīng)用，屬于中檔題目．20．已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到y軸距離的差都是1．(1)求曲線C的方程；(2)直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】（1）設(shè)P（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，由題意知，由此能求出曲線C的方程．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用點(diǎn)差法能求出l的一般式方程．【詳解】本題主要考查曲線與方程、直線與拋物線的位置關(guān)系．(1)設(shè)點(diǎn)是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)滿足．化簡(jiǎn)得曲線C的方程為．(2)顯然直線的斜率存在．設(shè)直線的方程為，設(shè)，，依題意，有所以，因?yàn)?/span>，所以．因此直線的方程為．【點(diǎn)睛】本題考查曲線方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．21．已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（Ⅱ）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.【答案】（Ⅰ）在，單調(diào)遞增，證明見解析；（Ⅱ）見解析.【解析】（Ⅰ）先求得函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證得有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).（Ⅱ）令，得.利用求得曲線在處的切線，求得與此切線的斜率相等的曲線的切線方程，利用判斷出這兩條切線方程相同，由此證得結(jié)論成立.【詳解】（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以在，單調(diào)遞增.因?yàn)?/span>，，所以在有唯一零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，由，得；因?yàn)?/span>，所以在有唯一零點(diǎn).綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).（Ⅱ）由題設(shè)知，即，由，得，曲線在處的切線為：，即.由，得，則曲線的斜率為的切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，解得，代入，得，故曲線的斜率為的切線方程為，即，由，得，從而與為同一條直線.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線，考查零點(diǎn)存在性定理，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．(1)求C的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)求C上的點(diǎn)到距離的最大值．【答案】（1）C的普通方程為．的直角坐標(biāo)方程為（2）3【解析】（1）把曲線C的參數(shù)方程平方相加可得普通方程，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρcosθρsinθ+4＝0，可得直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)出橢圓上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（參數(shù)形式），再由點(diǎn)到直線的距離公式寫出距離，利用三角函數(shù)求最值．【詳解】（1）由（t為參數(shù)），因?yàn)?/span>，且，所以C的普通方程為．由ρcosθρsinθ+4＝0，得xy+4＝0．即直線l的直角坐標(biāo)方程為得xy+4＝0；（2）由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)．則P到直線得xy+4＝0的距離為：C上的點(diǎn)到的距離為．當(dāng)時(shí)，取得最大值6，故C上的點(diǎn)到距離的最大值為3．【點(diǎn)睛】本題考查間單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．23．已知a，b為正數(shù)，且滿足．(1)求證：；(2)求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）把a+b＝1代入，用柯西不等式證明；（2）根據(jù)基本不等式求出ab的范圍，再化簡(jiǎn)所求結(jié)論，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的最值，求出即可．【詳解】已知a，b為正數(shù)，且滿足a+b＝1，（1）（1）（1）＝11，（）（a+b）≥（）2＝8，故；（2）∵a+b＝1，a＞0，b＞0，∴根據(jù)基本不等式1＝a+b≥2∴0＜ab，（a）（b）ab，令t＝ab∈（0，]，y＝t遞減，所以，故（a）（b）≥2．【點(diǎn)睛】考查基本不等式、柯西不等式的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，屬于中檔題． 

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