2020年1月2日高中數(shù)學(xué)作業(yè)  一、單選題1．若，則（     ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求集合B，再根據(jù)并集定義求結(jié)果.【詳解】.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合并集定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（   ）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)乘法求復(fù)數(shù)代數(shù)形式，再確定象限.【詳解】，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)幾何意義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3．已知數(shù)列是等比數(shù)列，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，則（   ）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得，再根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)結(jié)果.【詳解】由韋達(dá)定理可知，，則，，從而，且，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查方程與函數(shù)零點(diǎn)關(guān)系以及等比數(shù)列性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4．“”是“”的（   ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)”時(shí)，則或此時(shí)可能無意義，故不一定成立，而當(dāng)時(shí)，則或，“”成立故“”是的一個(gè)必要不充分條件。故答案選5．已知圓C：上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，=（   ）A．1 B． C．0 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓的對(duì)稱性圓心在對(duì)稱軸上，通過列方程解得結(jié)果.【詳解】若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則直線經(jīng)過圓心，，，得.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圓的對(duì)稱性，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6．在中，，是直線上的一點(diǎn)，若，則=（   ）A． B． C．1 D．4【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)條件化以為基底向量，再根據(jù)平面向量共線定理推論確定參數(shù).【詳解】，又三點(diǎn)共線，所以，得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線定理推論，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7．惠州市某學(xué)校一位班主任需要更換手機(jī)語音月卡套餐，該教師統(tǒng)計(jì)自己1至8月的月平均通話時(shí)間，其中有6個(gè)月的月平均通話時(shí)間分別為520、530、550、610、650、660（單位：分鐘），有2個(gè)月的數(shù)據(jù)未統(tǒng)計(jì)出來.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該教師這8個(gè)月的月平均通話時(shí)間的中位數(shù)大小不可能是（   ）A．580 B．600 C．620 D．640【答案】D【解析】【分析】先假設(shè)未統(tǒng)計(jì)2個(gè)月的數(shù)據(jù)，確定中位數(shù)大小的取值區(qū)間，再判斷選擇.【詳解】當(dāng)另外兩個(gè)月的通話時(shí)長都小于530（分鐘）時(shí)，中位數(shù)為（分鐘），當(dāng)另外兩個(gè)月的通話時(shí)長都大于650（分鐘）時(shí)，中位數(shù)為（分鐘），所以8個(gè)月的月通話時(shí)長的中位數(shù)大小的取值區(qū)間為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)據(jù)估計(jì)中位數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8．已知函數(shù)為偶函數(shù)，若曲線的一條切線與直線垂直，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)偶函數(shù)求參數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得斜率，最后根據(jù)直線垂直關(guān)系得結(jié)果.【詳解】為偶函數(shù)，則，，設(shè)切點(diǎn)得橫坐標(biāo)為，則解得，（負(fù)值舍去）所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線垂直關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9．函數(shù)在的圖像大致為（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：因?yàn)?/span>，故排除A；因?yàn)?/span>，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除B；因?yàn)?/span>，分別作出與的圖象，可知極值點(diǎn)在上，故選C．考點(diǎn)：1、函數(shù)的圖象；2、函數(shù)的奇偶性；3、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 10．為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別為圓與圓上的動(dòng)點(diǎn)，若的最小值為，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】圓外的點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為：點(diǎn)到圓心的距離減去半徑；從而得到兩個(gè)不等式，再根據(jù)的最小值，得到關(guān)于的方程，進(jìn)而求得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>，得，所以，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最小值，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，求解時(shí)注意利用不等式結(jié)合最值進(jìn)行運(yùn)算求值.11．已知函數(shù)，對(duì)任意，都有，若在上的值域?yàn)?/span>，則的取值范圍是（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先化簡函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最大值，解得；再根據(jù)在上的值域確定取值范圍，解得結(jié)果.【詳解】=，，   ，，，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查輔助角公式以及正弦函數(shù)性質(zhì)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.12．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)相等，則不等式恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件解得，代入化簡不等式；再將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題，最后利用導(dǎo)數(shù)求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，即得結(jié)果.【詳解】由題得，由已知得為兩個(gè)不等實(shí)根，所以，恒成立，恒成立.令，則，當(dāng)，當(dāng)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.  二、填空題13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n值是_________.【答案】6【解析】【分析】執(zhí)行循環(huán)，根據(jù)判斷條件判斷是否繼續(xù)循環(huán)，直至跳出循環(huán)輸出結(jié)果.【詳解】①②③結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果：6故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14．已知的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若，，則________．【答案】（或120°）【解析】【分析】根據(jù)余弦定理直接求解得，再根據(jù)特殊角三角函數(shù)值得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15．如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)．我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為_______．【答案】.【解析】【分析】設(shè)球的半徑為，可知圓柱高為；根據(jù)圓柱表面積和球的表面積公式分別求得表面積，作比得到結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為圓柱的表面積；球的表面積圓柱的表面積與球的表面積之比為本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查圓柱表面積和球的表面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16．設(shè)為不等式組所表示的平面區(qū)域，為不等式組所表示的平面區(qū)域，其中，在內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記點(diǎn)在內(nèi)的概率為．（）若，則__________．（）的最大值是__________．【答案】.    .    【解析】分析：，當(dāng)時(shí)，時(shí)，求出滿足的面積，分別求出滿足面積，利用幾何概型概率公式求解即可.詳解：由題意可得，當(dāng)時(shí)，滿足的面積為，時(shí)，滿足面積為 所以，；如圖，當(dāng)取得最大值時(shí)，即時(shí)最大，當(dāng)時(shí)，滿足的面積為，時(shí)，滿足面積為 所以；最大值為．故答案為， .點(diǎn)睛：本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題. 解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域測度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤 ；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí) , 忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤. 三、解答題17．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，公差為大于0的整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)，取得最小值.（1）求公差及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】（1）=2，（2）272【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得，解不等式得范圍，再根據(jù)為大于0的整數(shù)得的值，最后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)去掉絕對(duì)值，再分別根據(jù)對(duì)應(yīng)等差數(shù)列求和公式求和，即得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則由題可知：. ，即. 解得.因?yàn)?/span>為整數(shù)，=2 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， .=272  所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為272.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列求和公式以及等差數(shù)列性質(zhì)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18．如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是菱形，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面平面，，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析 （2）4【解析】【分析】（1）設(shè)，利用三角形中位線性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果；（2）取的中點(diǎn)，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理得平面，再根據(jù)等體積法以及利用錐體體積公式求結(jié)果.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，則點(diǎn)是的中點(diǎn)．又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以， 又因?yàn)?/span>平面，平面所以平面．（2）因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，且，所以．又因?yàn)?/span>，所以三角形是正三角形． 取的中點(diǎn)，連接，則 又平面⊥平面，平面，平面平面， 所以平面．即是四棱錐的一條高而所以 ．綜上，三棱錐的體積為4.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理、面面垂直性質(zhì)定理以及錐體體積公式，考查綜合分析論證與求解能力，屬中檔基礎(chǔ)題.19．惠州市某商店銷售某海鮮，經(jīng)理統(tǒng)計(jì)了春節(jié)前后50天該海鮮的日需求量（，單位：公斤），其頻率分布直方圖如下圖所示.該海鮮每天進(jìn)貨1次，每銷售1公斤可獲利40元；若供大于求，剩余的海鮮削價(jià)處理，削價(jià)處理的海鮮每公斤虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，調(diào)撥的海鮮銷售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店該海鮮每天的進(jìn)貨量為14公斤，商店銷售該海鮮的日利潤為元.（1）求商店日利潤關(guān)于日需求量的函數(shù)表達(dá)式.（2）根據(jù)頻率分布直方圖，①估計(jì)這50天此商店該海鮮日需求量的平均數(shù).②假設(shè)用事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率，請(qǐng)估計(jì)日利潤不少于620元的概率.【答案】（1）（2）①15.32公斤 ②0.4【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列分段函數(shù)關(guān)系式，即得結(jié)果；（2）①根據(jù)組中值求平均數(shù)，②先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定日利潤不少于620元對(duì)應(yīng)區(qū)間，再求對(duì)應(yīng)區(qū)間概率.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所求函數(shù)表達(dá)式為：． （2）①由頻率分布直方圖得：海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；海鮮需求量在區(qū)間的頻率是 海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；海鮮需求量在區(qū)間的頻率是； 這50天商店銷售該海鮮日需求量的平均數(shù)為： （公斤）②當(dāng)時(shí)，，由此可令，得所以估計(jì)日利潤不少于620元的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式以及利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和概率，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.20．己知函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)為.（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；（2）若函數(shù)存在極小值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）是的零點(diǎn)；（2）【解析】【分析】（1）求得時(shí)的，由單調(diào)性及求得結(jié)果.（2）當(dāng)時(shí)，，易得存在極小值點(diǎn)，再分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，令，通過研究的單調(diào)性及零點(diǎn)情況，得到的零點(diǎn)及分布的范圍，進(jìn)而得到的極值情況，綜合可得結(jié)果.【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，.易知為上的增函數(shù)，又，所以是的零點(diǎn).（2），① 當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合題意.令，則.② 當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.又，，所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是的極小值點(diǎn)，符合題意.③ 當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)）時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.若，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不符合題意.若，即當(dāng)時(shí)，，所以，即在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是的極小值點(diǎn)，符合題意.綜上，可知，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了函數(shù)的極值，單調(diào)性和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．21．設(shè)拋物線C:與直線交于A、B兩點(diǎn).（1）當(dāng)取得最小值為時(shí)，求的值.（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)作兩條直線PM、PN分別交拋物線C于M、N（M、N不同于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，且的平分線與軸平行，求證：直線MN的斜率為定值.【答案】（1）（2）證明見解析，定值.【解析】【分析】（1）先確定直線過拋物線焦點(diǎn)，再根據(jù)拋物線定義求，最后根據(jù)最小值求的值；（2）先確定PM、PN的斜率互為相反數(shù)，再設(shè)直線PM方程，與拋物線聯(lián)立解得M坐標(biāo)，類似可得N點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用斜率公式求結(jié)果.【詳解】（1）由題意知：直線過定點(diǎn)，該點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn). 聯(lián)立，消去得： 設(shè)，有，…，當(dāng)時(shí)，，解得（2）證明：由已知可知直線PM、PN的斜率存在，且互為相反數(shù)設(shè)，直線PM的方程為.聯(lián)立，消去x整理得：.又4為方程的一個(gè)根，所以，得同理可得所以直線MN的斜率為定值. 【點(diǎn)睛】本題考查焦點(diǎn)弦長以及直線與拋物線位置關(guān)系，考查綜合分析求解與論證能力，屬中檔題.22．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，若極坐標(biāo)系內(nèi)異于的三點(diǎn)，，都在曲線上.（1）求證：；（2）若過，兩點(diǎn)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求四邊形的面積.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）將 代入極坐標(biāo)方程，求出，利用兩角和與差的余弦公式化簡可得結(jié)論；（2）求得，則；又得.四邊形面積為，化簡可得結(jié)果.【詳解】（1）由 ，則 ；（2）由曲線的普通方程為：，聯(lián)立直線的參數(shù)方程得：解得；平面直角坐標(biāo)為：則；又得.即四邊形面積為為所求.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程以及參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了極徑與極角的幾何意義的應(yīng)用，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，解答問題的能力，屬于中檔題.23．已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1) 把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求；(2)對(duì)x分類討論，當(dāng)時(shí)，，借助絕對(duì)值不等式即可得到右側(cè)的最小值，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得，所以；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得，所以此時(shí)不等式無解；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得，所以；綜上所述，不等式解集為.（2）由，得當(dāng)時(shí)，恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>當(dāng)且僅當(dāng)即或時(shí)，等號(hào)成立所以，綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，絕對(duì)值三角不等式，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題． 

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