?2019年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共12個(gè)小題,每小題3分,滿分36分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1．（3分）﹣的絕對值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）如果分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．全體實(shí)數(shù) D．x＝﹣1
3．（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四號任務(wù)“鵲橋”中繼星成功實(shí)施軌道捕獲控制，進(jìn)入環(huán)繞距月球65000公里的地月拉格朗日L2點(diǎn)Halo使命軌道，成為世界首顆運(yùn)行在地月L2點(diǎn)Halo軌道的衛(wèi)星，用科學(xué)記數(shù)法表示65000公里為（　?。┕铮?br /> A．0.65×105 B．65×103 C．6.5×104 D．6.5×105
4．（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
5．（3分）下列各式中，計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)8÷a4＝a2 D．a(chǎn)2?a＝a3
6．（3分）如圖，已知AB∥CD，AF交CD于點(diǎn)E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，則∠A的度數(shù)是（　　）

A．40° B．50° C．80° D．90°
7．（3分）某校5名同學(xué)在“國學(xué)經(jīng)典頌讀”比賽中，成績（單位：分）分別是86，95，97，90，88，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（　?。?br /> A．97 B．90 C．95 D．88
8．（3分）下列命題是假命題的是（　?。?br /> A．n邊形（n≥3）的外角和是360°
B．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
C．相等的角是對頂角
D．矩形的對角線互相平分且相等
9．（3分）不等式組的整數(shù)解是（　?。?br /> A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1
10．（3分）國家實(shí)施”精準(zhǔn)扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路．某地區(qū)2016年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人．設(shè)2016年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x，根據(jù)題意列方程得（　?。?br /> A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1
11．（3分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2＝（m為常數(shù)且m≠0）的圖象都經(jīng)過A（﹣1，2），B（2，﹣1），結(jié)合圖象，則不等式kx+b＞的解集是（　?。?br />
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
12．（3分）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AC和BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)F，四邊形CDEF沿著CA方向勻速運(yùn)動，點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t，運(yùn)動過程中四邊形CDEF與△ABC的重疊部分面積為S．則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（　?。?br />
A． B．
C． D．
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分.)
13．（3分）因式分解：2a2﹣8＝　 　．
14．（3分）在一個(gè)不透明布袋里裝有3個(gè)白球、2個(gè)紅球和a個(gè)黃球，這些球除顏色不同其它沒有任何區(qū)別．若從該布袋里任意摸出1個(gè)球，該球是黃球的概率為，則a等于　 ?。?br /> 15．（3分）﹣＝　 ?。?br /> 16．（3分）計(jì)算：+＝　 　．
17．（3分）已知圓的半徑是6，則圓內(nèi)接正三角形的邊長是　 ?。?br /> 18．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2的圖象如圖所示．已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），過點(diǎn)A作AA1∥x軸交拋物線于點(diǎn)A1，過點(diǎn)A1作A1A2∥OA交拋物線于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作A2A3∥x軸交拋物線于點(diǎn)A3，過點(diǎn)A3作A3A4∥OA交拋物線于點(diǎn)A4……，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為　 ?。?br />
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，19-20題每題6分，21-24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
19．（6分）（）﹣3+|﹣2|+tan60°﹣（﹣2019）0
20．（6分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖中的信息解決下列問題：

（1）這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是　 ??；
（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）如果該校共有1000名學(xué)生，請你估計(jì)該校報(bào)D的學(xué)生約有多少人？
21．（8分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0與方程x2﹣3x+k＝0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值．
22．（8分）如圖，在一次綜合實(shí)踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面D處測得樓房頂部A的仰角為30°，沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米到達(dá)E處，測得樓房頂部A的仰角為60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房AB高度．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41）

23．（8分）如圖，點(diǎn)A、B、C在半徑為8的⊙O上，過點(diǎn)B作BD∥AC，交OA延長線于點(diǎn)D．連接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．

24．（8分）某商店購進(jìn)A、B兩種商品，購買1個(gè)A商品比購買1個(gè)B商品多花10元，并且花費(fèi)300元購買A商品和花費(fèi)100元購買B商品的數(shù)量相等．
（1）求購買一個(gè)A商品和一個(gè)B商品各需要多少元；
（2）商店準(zhǔn)備購買A、B兩種商品共80個(gè)，若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍，并且購買A、B商品的總費(fèi)用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方案？
25．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB（點(diǎn)P不與O、B重合）上運(yùn)動至何處時(shí)，線段OE的長有最大值？并求出這個(gè)最大值；
（3）在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M，連接MN、MB．請問：△MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

26．（12分）如圖，在等邊△ABC中，AB＝6cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以lcm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動．動點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為以t（s）．過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，連接PQ交AC邊于D．以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為直角三角形；
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)F在∠ABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；
（3）求DE的長；
（4）取線段BC的中點(diǎn)M，連接PM，將△BPM沿直線PM翻折，得△B′PM，連接AB′，當(dāng)t為何值時(shí)，AB'的值最??？并求出最小值．


2019年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12個(gè)小題,每小題3分,滿分36分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1．（3分）﹣的絕對值是（　?。?br /> A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即可解答．
【解答】解：|﹣|＝，故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了相反數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是熟記負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．
2．（3分）如果分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．全體實(shí)數(shù) D．x＝﹣1
【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：x+1≠0，
x≠﹣1，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查分式的有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．
3．（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四號任務(wù)“鵲橋”中繼星成功實(shí)施軌道捕獲控制，進(jìn)入環(huán)繞距月球65000公里的地月拉格朗日L2點(diǎn)Halo使命軌道，成為世界首顆運(yùn)行在地月L2點(diǎn)Halo軌道的衛(wèi)星，用科學(xué)記數(shù)法表示65000公里為（　?。┕铮?br /> A．0.65×105 B．65×103 C．6.5×104 D．6.5×105
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：科學(xué)記數(shù)法表示65000公里為6.5×104公里．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4．（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題主要考查了中心對稱與軸對稱的概念：軸對稱的關(guān)鍵是尋找對稱軸，兩邊圖象折疊后可重合，中心對稱是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．
5．（3分）下列各式中，計(jì)算正確的是（　　）
A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)8÷a4＝a2 D．a(chǎn)2?a＝a3
【分析】分別根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則、同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則以及同底數(shù)冪除法法則解答即可．
【解答】解：A、8a與3b不是同類項(xiàng)，故不能合并，故選項(xiàng)A不合題意；
B、（a2）3＝a6，故選項(xiàng)B不合題意；
C、a8÷a4＝a4，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、a2?a＝a3，故選項(xiàng)D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)以及合并同類項(xiàng)的法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，已知AB∥CD，AF交CD于點(diǎn)E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，則∠A的度數(shù)是（　?。?br />
A．40° B．50° C．80° D．90°
【分析】直接利用垂線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：∵BE⊥AF，∠BED＝40°，
∴∠FED＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠FED＝50°．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，正確得出∠FED的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
7．（3分）某校5名同學(xué)在“國學(xué)經(jīng)典頌讀”比賽中，成績（單位：分）分別是86，95，97，90，88，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（　?。?br /> A．97 B．90 C．95 D．88
【分析】先將題中的數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，然后根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可．
【解答】解：將小明所在小組的5個(gè)同學(xué)的成績重新排列為：86、88、90、95、97，
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為90分，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了中位數(shù)的概念：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
8．（3分）下列命題是假命題的是（　?。?br /> A．n邊形（n≥3）的外角和是360°
B．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
C．相等的角是對頂角
D．矩形的對角線互相平分且相等
【分析】根據(jù)多邊形的外角和、線段垂直平分線的性質(zhì)、對頂角和矩形的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：A、n邊形（n≥3）的外角和是360°，是真命題；
B、線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，是真命題；
C、相等的角不一定是對頂角，是假命題；
D、矩形的對角線互相平分且相等，是真命題；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．
9．（3分）不等式組的整數(shù)解是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1
【分析】先求出不等式組的解集，再求出整數(shù)解，即可得出選項(xiàng)．
【解答】解：
解不等式①得：x＜0，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴不等式組的解集為﹣2＜x＜0，
∴不等式組的整數(shù)解是﹣1，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．
10．（3分）國家實(shí)施”精準(zhǔn)扶貧“政策以來，很多貧困人口走向了致富的道路．某地區(qū)2016年底有貧困人口9萬人，通過社會各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬人．設(shè)2016年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x，根據(jù)題意列方程得（　?。?br /> A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1
【分析】等量關(guān)系為：2016年貧困人口×（1﹣下降率）2＝2018年貧困人口，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x，根據(jù)題意得：
9（1﹣x）2＝1，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，得到2年內(nèi)變化情況的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
11．（3分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2＝（m為常數(shù)且m≠0）的圖象都經(jīng)過A（﹣1，2），B（2，﹣1），結(jié)合圖象，則不等式kx+b＞的解集是（　　）

A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的x的取值范圍便是不等式kx+b＞的解集．
【解答】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）的圖象在反比例函數(shù)y2＝（m為常數(shù)且m≠0）的圖象上方時(shí)，x的取值范圍是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2
故選：C．
【點(diǎn)評】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題：主要考查了由函數(shù)圖象求不等式的解集．利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AC和BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)F，四邊形CDEF沿著CA方向勻速運(yùn)動，點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t，運(yùn)動過程中四邊形CDEF與△ABC的重疊部分面積為S．則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)已知條件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四邊形EFCD是正方形，設(shè)正方形的邊長為a，當(dāng)移動的距離＜a時(shí)，如圖1S＝正方形的面積﹣△EE′H的面積＝a2﹣t2；當(dāng)移動的距離＞a時(shí)，如圖2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式即可得到結(jié)論；
【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，ED⊥AC，
∴四邊形EFCD是矩形，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴EF＝AC，DE＝BC，
∴EF＝ED，
∴四邊形EFCD是正方形，
設(shè)正方形的邊長為a，
如圖1當(dāng)移動的距離＜a時(shí)，S＝正方形的面積﹣△EE′H的面積＝a2﹣t2；
當(dāng)移動的距離＞a時(shí)，如圖2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，
∴S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為C選項(xiàng)，
故選：C．


【點(diǎn)評】本題考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，學(xué)會分類討論的思想，屬于中考常考題型．
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分.)
13．（3分）因式分解：2a2﹣8＝　2（a+2）（a﹣2）　．
【分析】首先提取公因式2，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案為：2（a+2）（a﹣2）．
【點(diǎn)評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．
14．（3分）在一個(gè)不透明布袋里裝有3個(gè)白球、2個(gè)紅球和a個(gè)黃球，這些球除顏色不同其它沒有任何區(qū)別．若從該布袋里任意摸出1個(gè)球，該球是黃球的概率為，則a等于　5?。?br /> 【分析】根據(jù)概率公式列出關(guān)于a的方程，解之可得．
【解答】解：根據(jù)題意知＝，
解得a＝5，
經(jīng)檢驗(yàn)：a＝5是原分式方程的解，
∴a＝5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
15．（3分）﹣＝　?。?br /> 【分析】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】此題考查了二次根式的加減運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并，難度一般．
16．（3分）計(jì)算：+＝　1　．
【分析】原式變形后，利用同分母分式的減法法則計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
17．（3分）已知圓的半徑是6，則圓內(nèi)接正三角形的邊長是　6?。?br /> 【分析】易得正三角形的中心角為120°，那么中心角的一半為60°，利用60°的正弦值可得正三角形邊長的一半，乘以2即為正三角形的邊長．
【解答】解：如圖，圓半徑為6，求AB長．
∠AOB＝360°÷3＝120°
連接OA，OB，作OC⊥AB于點(diǎn)C，
∵OA＝OB，
∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA×sin60°＝6×＝3，
∴AB＝2AC＝6，
故答案為：6．

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，先利用垂徑定理和相應(yīng)的三角函數(shù)知識得到AC的值是解決本題的關(guān)鍵．
18．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2的圖象如圖所示．已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），過點(diǎn)A作AA1∥x軸交拋物線于點(diǎn)A1，過點(diǎn)A1作A1A2∥OA交拋物線于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作A2A3∥x軸交拋物線于點(diǎn)A3，過點(diǎn)A3作A3A4∥OA交拋物線于點(diǎn)A4……，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為?。ī?010，10102）?。?br />
【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得出點(diǎn)A1的坐標(biāo)，求得直線A1A2為y＝x+2，聯(lián)立方程求得A2的坐標(biāo)，即可求得A3的坐標(biāo)，同理求得A4的坐標(biāo)，即可求得A5的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律，即可找出點(diǎn)A2019的坐標(biāo)．
【解答】解：∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
∴直線OA為y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直線A1A2為y＝x+2，
解得或，
∴A2（2，4），
∴A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直線A3A4為y＝x+6，
解得或，
∴A4（3，9），
∴A5（﹣3，9）
…，
∴A2019（﹣1010，10102），
故答案為（﹣1010，10102）．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的圖象以及交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，19-20題每題6分，21-24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
19．（6分）（）﹣3+|﹣2|+tan60°﹣（﹣2019）0
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案．
【解答】解：原式＝8+2﹣+﹣1
＝9．
【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．
20．（6分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖中的信息解決下列問題：

（1）這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是　40?。?br /> （2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）如果該校共有1000名學(xué)生，請你估計(jì)該校報(bào)D的學(xué)生約有多少人？
【分析】（1）利用A項(xiàng)目的頻數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；
（2）計(jì)算出C項(xiàng)目的人數(shù)后補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；
（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中該校報(bào)D的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查學(xué)生數(shù)的比例即可得．
【解答】解：（1）這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是12÷30%＝40（人），
故答案為：40人；
（2）C項(xiàng)目的人數(shù)為40﹣12﹣14﹣4＝10（人）
條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充為：

（3）估計(jì)全校報(bào)名軍事競技的學(xué)生有1000×＝100（人）．
【點(diǎn)評】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
21．（8分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0與方程x2﹣3x+k＝0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值．
【分析】（1）利用判別式的意義得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；‘
（2）利用（1）中的結(jié)論得到k的最大整數(shù)為2，解方程x2﹣3x+2＝0解得x1＝1，x2＝2，把x＝1和x＝2分別代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0求出對應(yīng)的m，同時(shí)滿足m﹣1≠0．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤；
（2）k的最大整數(shù)為2，
方程x2﹣3x+k＝0變形為x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0與方程x2﹣3x+k＝0有一個(gè)相同的根，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；
當(dāng)x＝2時(shí)，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，
而m﹣1≠0，
∴m的值為．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
22．（8分）如圖，在一次綜合實(shí)踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面D處測得樓房頂部A的仰角為30°，沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米到達(dá)E處，測得樓房頂部A的仰角為60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求樓房AB高度．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41）

【分析】過D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，則DG＝FP＝BH，DF＝GP，求出∠DCG＝30°，得出FP＝DG＝CD＝5，CG＝DG＝5，求出DF＝GP＝+10，證出∠DAF＝30°＝∠ADF，得出AF＝DF＝+10，得出FH＝AF＝+5，因此AH＝FH＝10+5，即可得出答案．
【解答】解：過D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如圖所示：
則DG＝FP＝BH，DF＝GP，
∵坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，
∴∠DCG＝30°，
∴FP＝DG＝CD＝5，
∴CG＝DG＝5，
∵∠FEP＝60°，
∴FP＝EP＝5，
∴EP＝，
∴DF＝GP＝5+10+＝+10，
∵∠AEB＝60°，
∴∠EAB＝30°，
∵∠ADH＝30°，
∴∠DAH＝60°，
∴∠DAF＝30°＝∠ADF，
∴AF＝DF＝+10，
∴FH＝AF＝+5，
∴AH＝FH＝10+5，
∴AB＝AH+BH＝10+5+5＝15+5≈15+5×1.73≈23.7（米），
答：樓房AB高度約為23.7米．

【點(diǎn)評】此題是解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣仰角，俯角問題，主要考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．
23．（8分）如圖，點(diǎn)A、B、C在半徑為8的⊙O上，過點(diǎn)B作BD∥AC，交OA延長線于點(diǎn)D．連接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．

【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠COA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OCA，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠＝30°，解直角三角形求出BD，分別求出△BOD的面積和扇形AOB的面積，即可得出答案．
【解答】（1）證明：連接OB，交CA于E，
∵∠C＝30°，∠C＝∠BOA，
∴∠BOA＝60°，
∵∠BCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AEO＝90°，
即OB⊥AC，
∵BD∥AC，
∴∠DBE＝∠AEO＝90°，
∴BD是⊙O的切線；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°，
∵∠OBD＝90°，OB＝8，
∴BD＝OB＝8，
∴S陰影＝S△BDO﹣S扇形AOB＝×8×8﹣＝32﹣．

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目比較好，難度適中．
24．（8分）某商店購進(jìn)A、B兩種商品，購買1個(gè)A商品比購買1個(gè)B商品多花10元，并且花費(fèi)300元購買A商品和花費(fèi)100元購買B商品的數(shù)量相等．
（1）求購買一個(gè)A商品和一個(gè)B商品各需要多少元；
（2）商店準(zhǔn)備購買A、B兩種商品共80個(gè)，若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍，并且購買A、B商品的總費(fèi)用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方案？
【分析】（1）設(shè)購買一個(gè)B商品需要x元，則購買一個(gè)A商品需要（x+10）元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合花費(fèi)300元購買A商品和花費(fèi)100元購買B商品的數(shù)量相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買B商品m個(gè)，則購買A商品（80﹣m）個(gè)，根據(jù)A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍并且購買A、B商品的總費(fèi)用不低于1000元且不高于1050元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為整數(shù)即可找出各購買方案．
【解答】解：（1）設(shè)購買一個(gè)B商品需要x元，則購買一個(gè)A商品需要（x+10）元，
依題意，得：＝，
解得：x＝5，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝5是原方程的解，且符合題意，
∴x+10＝15．
答：購買一個(gè)A商品需要15元，購買一個(gè)B商品需要5元．
（2）設(shè)購買B商品m個(gè)，則購買A商品（80﹣m）個(gè)，
依題意，得：，
解得：15≤m≤16．
∵m為整數(shù)，
∴m＝15或16．
∴商店有2種購買方案，方案①：購進(jìn)A商品65個(gè)、B商品15個(gè)；方案②：購進(jìn)A商品64個(gè)、B商品16個(gè)．
【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
25．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB（點(diǎn)P不與O、B重合）上運(yùn)動至何處時(shí)，線段OE的長有最大值？并求出這個(gè)最大值；
（3）在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M，連接MN、MB．請問：△MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；
（2）設(shè)OP＝x，則PB＝3﹣x，由△POE∽△CBP得出比例線段，可表示OE的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出線段OE的最大值；
（3）過點(diǎn)M作MH∥y軸交BN于點(diǎn)H，由S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝即可求解．
【解答】解：（1））∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，，
解得：，
故拋物線函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），
∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，
∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥BE，
∴∠OPE+∠CPB＝90°，
∠CPB+∠PCB＝90°，
∴∠OPE＝∠PCB，
又∵∠EOP＝∠PBC＝90°，
∴△POE∽△CBP，
∴，
設(shè)OP＝x，則PB＝3﹣x，
∴，
∴OE＝，
∵0＜x＜3，
∴時(shí)，線段OE長有最大值，最大值為．
即OP＝時(shí)，線段OE有最大值．最大值是．
（3）存在．
如圖，過點(diǎn)M作MH∥y軸交BN于點(diǎn)H，
∵拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
∴x＝0，y＝﹣3，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），
設(shè)直線BN的解析式為y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直線BN的解析式為y＝x﹣3，
設(shè)M（a，a2﹣2a﹣3），則H（a，a﹣3），
∴MH＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝＝＝，
∵，
∴a＝時(shí)，△MBN的面積有最大值，最大值是，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會利用相似比表示線段之間的關(guān)系．利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度是解題的關(guān)鍵．
26．（12分）如圖，在等邊△ABC中，AB＝6cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以lcm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動．動點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為以t（s）．過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，連接PQ交AC邊于D．以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為直角三角形；
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)F在∠ABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；
（3）求DE的長；
（4）取線段BC的中點(diǎn)M，連接PM，將△BPM沿直線PM翻折，得△B′PM，連接AB′，當(dāng)t為何值時(shí)，AB'的值最??？并求出最小值．

【分析】（1）當(dāng)BQ＝2BP時(shí)，∠BPQ＝90°，由此構(gòu)建方程即可解決問題．
（2）如圖1中，連接BF交AC于M．證明EF＝2EM，由此構(gòu)建方程即可解決問題．
（3）證明DE＝AC即可解決問題．
（4）如圖3中，連接AM，AB′．根據(jù)AB′≥AM﹣MB′求解即可解決問題．
【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝60°，
∴當(dāng)BQ＝2BP時(shí)，∠BPQ＝90°，
∴6+t＝2（6﹣t），
∴t＝3，
∴t＝3時(shí)，△BPQ是直角三角形．

（2）存在．
理由：如圖1中，連接BF交AC于M．

∵BF平分∠ABC，BA＝BC，
∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，
∵EF∥BQ，
∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，
∴EF＝2EM，
∴t＝2?（3﹣t），
解得t＝3．

（3）如圖2中，作PK∥BC交AC于K．

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠A＝60°，
∵PK∥BC，
∴∠APK＝∠B＝60°，
∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，
∴△APK是等邊三角形，
∴PA＝PK，
∵PE⊥AK，
∴AE＝EK，
∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，
∴△PKD≌△QCD（AAS），
∴DK＝DC，
∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．

（4）如圖3中，連接AM，AB′

∵BM＝CM＝3，AB＝AC，
∴AM⊥BC，
∴AM＝＝3，
∵AB′≥AM﹣MB′，
∴AB′≥3﹣3，
∴AB′的最小值為3﹣3．
【點(diǎn)評】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．


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