絕密★啟用前


2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試


理科數(shù)學(xué)


注意事項：


1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.


2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效.


3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.


一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.


1. 若z=1+i，則|z2–2z|=（ ）


A. 0B. 1C. D. 2


【答案】D


【解析】


【分析】


由題意首先求得的值，然后計算其模即可.


【詳解】由題意可得：，則.


故.


故選：D.


【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)的模的求解等知識，屬于基礎(chǔ)題.


2. 設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（ ）


A. –4B. –2C. 2D. 4


【答案】B


【解析】


【分析】


由題意首先求得集合A,B，然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于a的方程，求解方程即可確定實數(shù)a的值.


【詳解】求解二次不等式可得：，


求解一次不等式可得：.


由于，故：，解得：.


故選：B.


【點睛】本題主要考查交集的運算，不等式的解法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.


3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（ ）











A. B. C. D.


【答案】C


【解析】


【分析】


設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.


【詳解】如圖，設(shè)，則，


由題意，即，化簡得，


解得（負(fù)值舍去）.


故選：C.





【點晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力，是一道容易題.


4. 已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（ ）


A. 2B. 3C. 6D. 9


【答案】C


【解析】


【分析】


利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.


【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.


故選：C.


【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.


5. 某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：





由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（ ）


A. B.


C. D.


【答案】D


【解析】


【分析】


根據(jù)散點圖分布可選擇合適的函數(shù)模型.


【詳解】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近，


因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是.


故選：D.


【點睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.


6. 函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（ ）


A. B.


C. D.


【答案】B


【解析】


【分析】


求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.


【詳解】，，，，


因此，所求切線的方程為，即.


故選：B.


【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題


7. 設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（ ）





A. B.


C. D.


【答案】C


【解析】


【分析】


由圖可得：函數(shù)圖象過點，即可得到，結(jié)合是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個交點即可得到，即可求得，再利用三角函數(shù)周期公式即可得解.


【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過點，


將它代入函數(shù)可得：


又是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個交點，


所以，解得：


所以函數(shù)的最小正周期為


故選：C


【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.


8. 的展開式中x3y3的系數(shù)為（ ）


A. 5B. 10


C. 15D. 20


【答案】C


【解析】


【分析】


求得展開式的通項公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.


【詳解】展開式的通項公式為（且）


所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：


和


在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，


在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為


所以的系數(shù)為


故選：C


【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬于中檔題.


9. 已知，且，則（ ）


A. B.


C. D.


【答案】A


【解析】


【分析】


用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.


【詳解】，得，


即，解得或（舍去），


又.


故選：A.


【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.


10. 已知為球球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（ ）


A. B. C. D.


【答案】A


【解析】


【分析】


由已知可得等邊的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長，得出的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.


【詳解】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，


得，等邊三角形，


由正弦定理可得，


，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，


，


球的表面積.


故選：A





【點睛】


本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.


11. 已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為（ ）


A. B. C. D.


【答案】D


【解析】


【分析】


由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識可知，四點共圓，且，根據(jù) 可知，當(dāng)直線時，最小，求出以 為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識即可求出直線的方程．


【詳解】圓的方程可化為，點 到直線的距離為，所以直線 與圓相離．


依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而 ，


當(dāng)直線時，， ，此時最?。?br/>

∴即 ，由解得， ．


所以以為直徑的圓的方程為，即 ，


兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．


故選：D.


【點睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題．


12. 若，則（ ）


A. B. C. D.


【答案】B


【解析】


【分析】


設(shè)，利用作差法結(jié)合的單調(diào)性即可得到答案.


【詳解】設(shè)，則為增函數(shù)，因為


所以，


所以，所以.


，


當(dāng)時，，此時，有


當(dāng)時，，此時，有，所以C、D錯誤.


故選：B.


【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.


二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。


13. 若x，y滿足約束條件則z=x+7y的最大值為______________.


【答案】1


【解析】


【分析】


首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值.


【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，





目標(biāo)函數(shù)即：，


其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，


據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點A處取得最大值，


聯(lián)立直線方程：，可得點A的坐標(biāo)為：，


據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.


故答案為：1．


【點睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當(dāng)b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.


14. 設(shè)為單位向量，且，則______________.


【答案】


【解析】


【分析】


整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對變形可得：，問題得解.


【詳解】因為為單位向量，所以


所以


解得：


所以


故答案為：


【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.


15. 已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為______________.


【答案】2


【解析】


【分析】


根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)可知，，，即可根據(jù)斜率列出等式求解即可．


【詳解】聯(lián)立，解得，所以.


依題可得，，，即，變形得，,


因此，雙曲線的離心率為.


故答案為：．


【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．


16. 如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cs∠FCB=______________.








【答案】


【解析】


【分析】


在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.


【詳解】，，，


由勾股定理得，


同理得，，


在中，，，，


由余弦定理得，


，


在中，，，，


由余弦定理得.


故答案為：.


【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.


三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.


（一）必考題：共60分.


17. 設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．


（1）求的公比；


（2）若，求數(shù)列的前項和．


【答案】（1）；（2）.


【解析】


【分析】


（1）由已知結(jié)合等差中項關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；


（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項，根據(jù)的通項公式特征，用錯位相減法，即可求出結(jié)論.


【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項，


，


；


（2）設(shè)的前項和為，，


，①


，②


①②得，


，


.


【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算、等差中項的性質(zhì)，以及錯位相減法求和，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.


18. 如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，．





（1）證明：平面；


（2）求二面角的余弦值．


【答案】（1）證明見解析；（2）.


【解析】


【分析】


（1）要證明平面，只需證明，即可；


（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面的法向量為，平面的法向量為，利用公式計算即可得到答案.


【詳解】（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，


則，，所以，





又為等邊三角形，則，所以，


，則，所以，


同理，又，所以平面；


（2）過O作∥BC交AB于點N，因為平面，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，





則，


，，，


設(shè)平面的一個法向量為，


由，得，令，得，


所以，


設(shè)平面的一個法向量為


由，得，令，得，


所以


故，


設(shè)二面角的大小為，則.


【點晴】本題主要考查線面垂直的證明以及利用向量求二面角的大小，考查學(xué)生空間想象能力，數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.


19. 甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，


（1）求甲連勝四場的概率；


（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；


（3）求丙最終獲勝的概率.


【答案】（1）；（2）；（3）.


【解析】


【分析】


（1）根據(jù)獨立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；


（2）計算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；


（3）列舉出甲贏的基本事件，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.


【詳解】（1）記事件甲連勝四場，則；


（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，


則四局內(nèi)結(jié)束比賽概率為


，


所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為；


（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，


記事件甲贏，記事件丙贏，


則甲贏的基本事件包括：、、、


、、、、，


所以，甲贏的概率為.


由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，


所以丙贏的概率為.


【點睛】本題考查獨立事件概率的計算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計算能力，屬于中等題.


20. 已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．


（1）求E的方程；


（2）證明：直線CD過定點.


【答案】（1）；（2）證明詳見解析.


【解析】


【分析】


（1）由已知可得：， ，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問題得解.


（2）設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點的坐標(biāo)為，同理可得點的坐標(biāo)為，當(dāng)時，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點，當(dāng)時，直線：，直線過點，命題得證.


【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：





由橢圓方程可得：， ，


，


，


橢圓方程為：


（2）證明：設(shè)，


則直線的方程為：，即：


聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：


，解得：或


將代入直線可得：


所以點的坐標(biāo)為.


同理可得：點的坐標(biāo)為


當(dāng)時，


直線的方程為：，


整理可得：


整理得：


所以直線過定點．


當(dāng)時，直線：，直線過點．


故直線CD過定點．


【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.


21. 已知函數(shù).


（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；


（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.


【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.（2）


【解析】


【分析】


(1)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.


(2)首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實數(shù)a的取值范圍.


【詳解】(1)當(dāng)時，，，


由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：


當(dāng)時，單調(diào)遞減，


當(dāng)時，單調(diào)遞增.


(2)由得，，其中，


①.當(dāng)x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；


②.當(dāng)時，分離參數(shù)a得，，


記，，


令，


則，，


故單調(diào)遞增，，


故函數(shù)單調(diào)遞增，，


由可得：恒成立，


故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；


當(dāng)時，，單調(diào)遞減；


因此，,


綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是.


【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．


（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。


[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]


22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)．以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．


（1）當(dāng)時，是什么曲線？


（2）當(dāng)時，求與的公共點的直角坐標(biāo)．


【答案】（1）曲線表示以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為1的圓；（2）.


【解析】


【分析】


（1）利用消去參數(shù)，求出曲線的普通方程，即可得出結(jié)論；


（2）當(dāng)時，，曲線的參數(shù)方程化為 為參數(shù)），兩式相加消去參數(shù)，得普通方程，由，將曲線 化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，即可求解.


【詳解】（1）當(dāng)時，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），


兩式平方相加得，


所以曲線表示以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為1的圓；


（2）當(dāng)時，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），


所以，曲線的參數(shù)方程化為為參數(shù)），


兩式相加得曲線方程為，


得，平方得，


曲線的極坐標(biāo)方程為，


曲線直角坐標(biāo)方程為，


聯(lián)立方程，


整理得，解得或 （舍去），


，公共點的直角坐標(biāo)為 .


【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，合理消元是解題的關(guān)鍵，要注意曲線坐標(biāo)的范圍，考查計算求解能力，屬于中檔題.


[選修4—5：不等式選講]


23. 已知函數(shù)．


（1）畫出的圖像；





（2）求不等式的解集．


【答案】（1）詳解解析；（2）.


【解析】


【分析】


（1）根據(jù)分段討論法，即可寫出函數(shù)的解析式，作出圖象；


（2）作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可解出．


【詳解】（1）因為，作出圖象，如圖所示：


（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：





由，解得．


所以不等式的解集為．


【點睛】本題主要考查畫分段函數(shù)的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，屬于基礎(chǔ)題．





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