?專題十四 空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系
一、單選題
1．（2020·安徽高三月考（文））在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，平面過(guò)兩點(diǎn)，且，設(shè)平面截正方體所得截面面積為，有如下結(jié)論：①截面是三角形，②截面是四邊形，③，④，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得與平面的相交線與平行，得到平面與的交點(diǎn)為中點(diǎn)，進(jìn)而確定平面截正方體截面為等腰梯形，求出其面積，即可得出結(jié)論.
【詳解】
設(shè)平面與交于，連，
平面平面，
，又是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，
在正方體中，，
故平面即平面，所以截面為等腰梯形.
①錯(cuò)誤，②正確；
由己知可得，，，
高為，其面積.
③錯(cuò)誤，④正確.
故選：D.

【點(diǎn)睛】
本題考查正方體的截面幾何特征，利用線面平行的性質(zhì)確定截面圖形是解題的關(guān)鍵，考查直觀想象、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.
2．（2020·甘肅省會(huì)寧縣第二中學(xué)期中（文））已知，為兩條不同直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①若，，則； ②若，，則；
③若，，，則； ④若，，，則；
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)線面位置關(guān)系判斷.
【詳解】
①若，，則或，故錯(cuò)誤；
②若，，則或相交，故錯(cuò)誤；
③若， ，則，又，所以，故正確；
④若，，則或，又，所以 ，故正確；
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題主要考查線面位置關(guān)系，還考查了推理論證的能力，屬于中檔題.
3．（2020·渝中·重慶巴蜀中學(xué)高三月考（理））在正方體中，和的中點(diǎn)分別為M，N.如圖，若以A，M，N所確定的平面將正方體截為兩個(gè)部分，則所得截面的形狀為（ ）

A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)平面的性質(zhì)，延長(zhǎng)線段到正方體的表面，找到平面與正方體棱的交點(diǎn)，連接起來(lái)即可判斷.
【詳解】
如圖，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，
連接并延長(zhǎng)，與相交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，
連接，與相交于點(diǎn)，
連接，則五邊形即為截面.

故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查平面的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
4．（2020·威遠(yuǎn)中學(xué)校月考（理））如圖，已知正方體中，異面直線與所成的角的大小是　　

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
在正方體中，利用線面垂直的判定定理，證得平面，由此能求出結(jié)果．
【詳解】
如圖所示，在正方體中，連結(jié)，則，，
由線面垂直的判定定理得平面，所以,
所以異面直線與所成的角的大小是．
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了直線與平面垂直的判定與證明，以及異面直線所成角的求解，其中解答中牢記異面直線所成的求解方法和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，平時(shí)注意空間思維能力的培養(yǎng)，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2020·江蘇廣陵·揚(yáng)州中學(xué)開(kāi)學(xué)考試）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”（chu meng）是指底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體．如圖，五面體是一個(gè)芻甍，其中是正三角形，，則以下兩個(gè)結(jié)論：①；②，（ ）

A．①和②都不成立 B．①成立，但②不成立
C．①不成立，但②成立 D．①和②都成立
【答案】B
【解析】
【分析】
利用線面平行的性質(zhì)及勾股定理即可判斷.
【詳解】
解：∵，CD在平面CDEF內(nèi)，AB不在平面CDEF內(nèi)，
∴平面CDEF，
又EF在平面CDEF內(nèi)，
由AB在平面ABFE內(nèi)，且平面平面，
∴EF，故①對(duì)；
如圖，取CD中點(diǎn)G，連接BG，F(xiàn)G，由AB＝CD＝2EF，易知GF，且DE＝GF，
不妨設(shè)EF＝1，則，

假設(shè)BF⊥ED，則，即，即FG＝1，但FG的長(zhǎng)度不定，故假設(shè)不一定成立，即②不一定成立.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查線面平行的判定及性質(zhì)，考查垂直關(guān)系的判定，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.
6．（2020·全國(guó)開(kāi)學(xué)考試）已知平面，直線，，，滿足，，且，互為異面直線，則“且”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)線線、線面的位置關(guān)系，可得充要條件；
【詳解】
因?yàn)?，互為異面直線，且，，
則平面內(nèi)必存在兩條相交直線分別與，平行，
又因?yàn)榍?，所以?br /> 若，則且，
所以“且”是“”的充要條件.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用線線、線面位置關(guān)系判斷充要條件，考查邏輯推理能力.
7．（2020·廣州市第一一三中學(xué)期中）在三棱錐中，已知所有棱長(zhǎng)均為，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
取的中點(diǎn)，連接、，于是得到異面直線與所成的角為，然后計(jì)算出的三條邊長(zhǎng)，并利用余弦定理計(jì)算出，即可得出答案．
【詳解】
如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，

由于、分別為、的中點(diǎn)，則，且，
所以，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，
三棱錐是邊長(zhǎng)為的正四面體，則、均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
為的中點(diǎn)，則，且，同理可得，
在中，由余弦定理得，
因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查異面直線所成角的計(jì)算，利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下：
（1）一作：平移直線，找出異面直線所成的角；
（2）二證：對(duì)異面直線所成的角進(jìn)行說(shuō)明；
（3）三計(jì)算：選擇合適的三角形，并計(jì)算出三角形的邊長(zhǎng)，利用余弦定理計(jì)算所求的角．
8．（2020·廣州市第一一三中學(xué)期中）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且，（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】A
【解析】
試題分析：由面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一平面的一條垂線，則兩面垂直，可得，
可得
考點(diǎn)：空間線面平行垂直的判定與性質(zhì)

9．（2020·江蘇啟東中學(xué)開(kāi)學(xué)考試）在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C．平面 D．平面
【答案】D
【解析】
分析：對(duì)于選項(xiàng)A，由條件可得直線MN與平面相交，因?yàn)橹本€在平面內(nèi)，可得直線MN與直線不可能平行，判斷選項(xiàng)A不對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以要證，只需證．而，所以與不垂直，選項(xiàng)B不對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)C，可用反證法推出矛盾．假設(shè)平面，由直線與平面垂直的定義可得．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，由等腰三角形的三線合一可得 ．這與矛盾．故假設(shè)不成立．所以選項(xiàng)C不對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)D，可找與直線MN平行的一條直線，證其垂直于平面．故分別取的中點(diǎn)P、Q，連接PM、QN、PQ．可得四邊形為平行四邊形．進(jìn)而可得．正方體中易得，由直線與平面垂直的判定定理可得平面．進(jìn)而可得平面．
詳解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)平面，點(diǎn) 平面，所以直線MN是平面的交線，
又因?yàn)橹本€在平面內(nèi)，故直線MN與直線不可能平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)；
對(duì)于選項(xiàng)B，正方體中易知 ，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以直線 與直線不垂直．故選項(xiàng)B不對(duì)；
對(duì)于選項(xiàng)C ,假設(shè)平面，可得．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以 ．這與矛盾．故假設(shè)不成立．
所以選項(xiàng)C不對(duì)；
對(duì)于選項(xiàng)D,分別取的中點(diǎn)P、Q，連接PM、QN、PQ．
因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以且．同理且．
所以且，所以四邊形為平行四邊形．
所以．
在正方體中，
因?yàn)?，平面 ，平面，
所以平面．因?yàn)?，所以平面?br /> 故選項(xiàng)D正確．
故選D.
點(diǎn)睛：在立體圖形中判斷直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，應(yīng)熟練掌握直線與直線平行、垂直的判定定理、性質(zhì)定理，直線與平面平行、垂直的判定定理、性質(zhì)定理．注意直線與直線、直線與平面、平面與平面平行或垂直之間的互相推導(dǎo)．
要判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤，可用反證法得到矛盾．
10．（2019·黑龍江哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考（理））已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是線段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系.
【詳解】
設(shè)為正方形的中心，為中點(diǎn)，過(guò)作的平行線，交于，過(guò)作垂直于，連接、、，則垂直于底面，垂直于，
因此
從而
因?yàn)?，所以即，選D.

【點(diǎn)睛】
線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.
11．（2019·黑龍江哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考（理））在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正方體中，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】
在正方體中，，所以異面直線與所成角為，
設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，
則.故選C.

【點(diǎn)睛】
求異面直線所成角主要有以下兩種方法：
（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.

二、多選題
12．（2020·江蘇廣陵·揚(yáng)州中學(xué)開(kāi)學(xué)考試）下面四個(gè)正方體圖形中，、為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，、、分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
對(duì)每個(gè)圖形進(jìn)行分析，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理對(duì)A判斷．由線面平行 判定定理對(duì)D判斷，由線面相交的定義對(duì)B，C判斷．
【詳解】
（下面說(shuō)明只寫主要條件，其他略）
A如圖連接，可得，從而得平面，平面，于是有平面平面，∴平面，

B．如圖連接交于點(diǎn)，連接，易知在底面正方形中不是中點(diǎn)（實(shí)際上是四等分點(diǎn)中靠近的一個(gè)），而是中點(diǎn)，因此與不平行，在平面內(nèi)，與必相交，此交點(diǎn)也是直線與平面的公共點(diǎn)，直線與平面相交而不平行，

C.如圖，連接，正方體中有，因此在平面內(nèi)，直線與平面相交而不平行，

D.如圖，連接，可得，，即，直線與平面平行，

故選：AD
【點(diǎn)睛】
本題考查線面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)定理，掌握證明線面平行的方法是解題基礎(chǔ)．
13．（2020·南京大學(xué)附屬中學(xué)月考）在長(zhǎng)方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．A、M、N、B四點(diǎn)共面 B．BN∥平面ADM
C．直線與所成角的為 D．平面平面
【答案】CD
【解析】
【分析】
由空間中點(diǎn)與面的位置關(guān)系，直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案.
【詳解】
對(duì)于A，A、B、M在平面內(nèi)，N在平面外，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若平面ADM，
又平面ADM，則平面平面ADM，
而平面平面，矛盾，故B錯(cuò)誤．
對(duì)于C，如圖，

取CD中點(diǎn)E，連接BE，NE，可得，為直線BN與所成角，
由題意可得為等邊三角形，則，故C正確；
對(duì)于D，在長(zhǎng)方體中，平面，平面ADM，
∴平面平面，故D正確
故選：CD.
【點(diǎn)睛】
本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用，屬于中檔題.
14．（2020·山東開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．平面
B．四面體的體積是定值
C．異面直線與所成角的正切值為
D．二面角的余弦值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】
說(shuō)明四邊形是矩形，然后證明∥∥，推出平面，判斷A；設(shè)，然后求解四面體的體積可判斷B；說(shuō)明異面直線與所成角為，然后求解三角形，判斷C；利用空間向量求解二面角的余弦值
【詳解】
解：對(duì)于A，在直三棱柱中，四邊形是矩形，
因?yàn)?，所以∥∥?br /> 所以平面，所以A正確；
對(duì)于B，設(shè)，因?yàn)?，，?br /> 所以，
因?yàn)椤危?，所以?br /> 所以，所以，
四面體的體積為，所以四面體的體積不是定值，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椤?，所以異面直線與所成角為，在中，，所以，所以C正確；
對(duì)于D，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，令，則，所以，
同理可求得平面的一個(gè)法向量為，
所以二面角的余弦值為，所以D正確，
故選：ACD

【點(diǎn)睛】
此題考查立體幾何中的關(guān)每次和計(jì)算，二面角的平面角的求法，異面直線所成角的求法，屬于中檔題

第II卷（非選擇題）
請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明

三、解答題
15．（2020·福建高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在直四棱柱中，庫(kù)面四邊形的對(duì)角線，互相平分，為的中點(diǎn).


（1）求證：平面；
（2）若______，則平面平面.試在三個(gè)條件“①四邊形是平行四邊形；②四邊形是矩形；③四邊形是菱形”中選取一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線上，使得結(jié)論成立，并證明.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)，連接，由題意得，利用線面平行的判定定理證明即可；（2）先判斷三個(gè)條件，判斷選擇的條件是③；先利用菱形的特點(diǎn)得到，又幾何體為直四棱柱，得到平面，進(jìn)而得到，利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理證明即可.
【詳解】
（1）證明：如圖，設(shè)，

因?yàn)?，互相平分?br /> 所以為的中點(diǎn).
連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以.
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br /> 所以平面.
（2）解：選擇的條件是③.
證明如下：
因?yàn)樗倪呅问橇庑危?br /> 所以，
因?yàn)樗睦庵侵彼睦庵?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫鍭EC，
所以平面平面.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查線面平行的判定定理以及線面垂直，面面垂直的判定定理.屬于中檔題.
16．（2020·渝中·重慶巴蜀中學(xué)高三月考）如圖所示，在等腰梯形中，，，，，平面，.

（1）求證：平面；
（2）若，是否存在實(shí)數(shù)，使平面與平面所成銳二面角為？若存在，求出實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在實(shí)數(shù).
【解析】
【分析】
（1）如圖所示的等腰梯形中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)分別作、，垂足為，在中，利用余弦定理可得，再利用勾股定理可得，進(jìn)而利用線面垂足的定理即可證明.
（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量，可得，取平面的法向量為，利用，即可得出.
【詳解】
（1）證明：如圖所示的等腰梯形中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)分別作、，垂足為，

則為正方形，在中，可得，故，
在中，利用余弦定理可得，
∴，即，故，
又∵平面，而平面，即，
而，平面，平面，
∴平面，又，則，
故平面.
（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，由，設(shè)，故，，
設(shè)平面的法向量，
則，即，取，
解得，即，
取平面的一個(gè)法向量為，
由，即，
解得或（舍），
即存在實(shí)數(shù)，使平面與平面所成銳二面角為.
【點(diǎn)睛】
本題考查了空間位置關(guān)系、等腰梯形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
17．（2020·古丈縣第一中學(xué)期末）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面；
（3）當(dāng)，時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）要證明面面垂直，需證明線面垂直，即證明平面；
（2）要證明線面平行，需證明線線平行，即證明；
（3）根據(jù)（1）可知平面，根據(jù)二面角的定義可知為所求角，在中，求的值.
【詳解】
（1）在正方形中，．
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br /> 又，，平面，
所以平面.
因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)
所以，又所以
又平面，平面，
所以//平面.
（3）由（2）得，平面即為平面，
所以平面平面，
由（1）得平面，所以,
所以是所求二面角的平面角,
在中，，，∴，

平面與平面所成銳二面角的余弦值是.
【點(diǎn)睛】
本題考查面面垂直，線面平行，二面角，重點(diǎn)考查推理證明，計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.
18．（2020·威遠(yuǎn)中學(xué)校月考（理））在四面體中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，且，.

（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成的角.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可求解；
（2）由（1）知和，得到即為異面直線與所成的角，在中，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面；
（2）由（1）知，
因?yàn)辄c(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，可得，
所以即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）.
在中，，所以為等邊三角形，
所以，
即異面直線與所成的角為.

【點(diǎn)睛】
本題主要考查了線面平行的判定與證明，以及異面直線所成角的求解，其中解答中熟記線面平行的判定定理和異面直線所成角的概念，轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.
19．（2020·贛州市贛縣第三中學(xué)月考（理））如圖，在正三棱柱中，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）證明：平面；
（3）若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）通過(guò)構(gòu)造中位線的方法，證得與平面平面內(nèi)的一條直線平行，由此證得平面.
（2）通過(guò)證明、來(lái)證明平面.
（3）判斷出為直線與平面所成的角，解直角三角形求得.
【詳解】
（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接.
因?yàn)闉榫匦?，則為的中點(diǎn)；
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，
又因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面.

（2）在正三棱柱中，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以.
因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，
所以.
又因?yàn)?，平面?br /> 所以平面；
（3）由（2）知，平面，
所以 即為直線與平面所成的角，
設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為2，則，
所以在中，，，
所以.
即直線與平面所成的角的正弦值為.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查線面平行、線面垂直的證明，考查線面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.
20．（2020·江蘇廣陵·揚(yáng)州中學(xué)開(kāi)學(xué)考試）棱長(zhǎng)為的正方體中，P是 的中點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)

（1）求面與面所成的二面角的正切值．
（2）求點(diǎn)P到面的距離．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）連結(jié)BD，，取的中點(diǎn)E，連接CE，可證得，，由二面角的定義可得即為所求角，在中求解即可.
（2）連，面，點(diǎn)P到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離，由即可得到所求距離.
【詳解】
（1）連結(jié)BD，則M是BD的中點(diǎn)，連，取的中點(diǎn)E，連接CE，如圖．
正方體的棱長(zhǎng)為，，
，E是的中點(diǎn)，
∴，
∴就是面與面所成的二面角的平面角，
即面與面所成的二面角的平面角．
正方體中，面，
∴，在中，
，，，
∴面與面所成的二面角的大小的正切值為．
（2）連，則點(diǎn)P也是的中點(diǎn)，而面,
面，∴面
∴點(diǎn)P到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離，
設(shè)點(diǎn)A到面的距離為，由，，
，，
，解得，
則點(diǎn)P到面的距離為．

【點(diǎn)睛】
本題考查利用定義求二面角的平面角，考查利用等體積法求點(diǎn)到面的距離，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.
21．（2020·天津市濱海新區(qū)大港太平村中學(xué)期末）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，底面，點(diǎn)在棱上.

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若，是棱中點(diǎn)，求異面直線和所成角的余弦值；
（Ⅲ）若直線與平面所成角的正切值最大為2，求的長(zhǎng).
【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由菱形的性質(zhì)得.再由線面垂直的性質(zhì)得，由線面垂直的判定定理可證得平面，根據(jù)面面垂直的判定定理可得證.
（Ⅱ）連結(jié)、.由異面直線所成的角的定義可得異面直線和所成角為（或補(bǔ)角），由三角形的邊角關(guān)系和余弦定理可求得異面直線和所成角的余弦值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，平面于點(diǎn)，根據(jù)線面角和定義 可得為與平面所成的角.再由三角形的邊角關(guān)系可求得答案.
【詳解】
（Ⅰ）四邊形是菱形，∴.
底面，面，∴.
又，面，面，∴平面.又平面，
∴平面平面.
（Ⅱ）連結(jié)、.∵，∴異面直線和所成角為（或補(bǔ)角） ，
菱形的邊長(zhǎng)為2，，∴，
在中，，，，是棱中點(diǎn)，∴，
∵，，∴，∴，即面，面，.
∴，，，
在，，，，∴，
故異面直線和所成角的余弦值為；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，平面于點(diǎn)，∴為與平面所成的角.
在中，，，的最大值為2，
∴的最小值為，即點(diǎn)到直線的距離是，
∵，設(shè)，，即，解之：，
所以此時(shí).
【點(diǎn)睛】
本題考查空間中的面面垂直的證明，異面直線所成的角的定義和計(jì)算，線面角的定義和計(jì)算，屬于中檔題.
22．（2020·安徽宣城·高一期末（理））如圖，四棱錐中，底面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離；
（3）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)已知條件，可證四邊形為平行四邊形，即可得證結(jié)論；
（2）點(diǎn)到平面的距離，即為點(diǎn)到平面的距離，求出，的面積，等體積法，即可求出結(jié)論；
（3）由（2）的結(jié)論，得出直線與平面所成的角，解直角三角形，即可求解.
【詳解】
（1）證明：取中點(diǎn)，連接，
∵為的中點(diǎn)，∴，且，
又，且，
∴，且，
則，且，
∴四邊形為平行四邊形，∴.
又∵平面.平面，
∴平面.
（2）取的中點(diǎn)，連接，∵，
∴且，∴四邊形是矩形，
∴，又∵平面，∴，
∴平面且，
過(guò)點(diǎn)作平面于，
則即為點(diǎn)到平面的距離.
∵，∴，
，∴.
（3）連接由（2）知
即為直線與平面所成的角，
在中，，，∴，
又∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
所以直線與平面所成角的正弦值為.

【點(diǎn)睛】
本題考查線面平行的證明，考查點(diǎn)到面距離，以及直線與平面所成的角，解題的關(guān)鍵是等體積法的應(yīng)用，屬于中檔題.f
23．（2020·九龍坡·重慶市育才中學(xué)開(kāi)學(xué)考試）如圖1，在高為2的梯形中，，，，過(guò)、分別作，，垂足分別為、.已知，將梯形沿、同側(cè)折起，得空間幾何體，如圖2.

（1）若，證明：為直角三角形；
（2）若，，求平面與平面所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）由，可得平面，得出，結(jié)合即可得出平面，故而；
（2）求出的大小，以為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，計(jì)算兩法向量的夾角即可得出二面角的大?。?br /> 【詳解】
（1）證明：連接，
由已知可知四邊形是正方形，，
又，，
平面，又平面，
，
又，，
平面，又平面，
，即為直角三角形．
（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則四邊形是平行四邊形，
，，又，
，即，
過(guò)作，則平面，
以為原點(diǎn)，以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，1，，，，，
，1，，，，，
設(shè)平面的法向量為，，，則，
即，令得，，，
又平面，，0，是平面的一個(gè)法向量，
，
由圖形可知平面與平面所成角為銳二面角，
平面與平面所成角的余弦值為．

【點(diǎn)睛】
本題考查了線面垂直的判定，空間向量與二面角的計(jì)算，屬于中檔題．
24．（2020·廣州市第一一三中學(xué)期中）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面．

（1）證明：；
（2）若，，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)菱形性質(zhì)可知，根據(jù)線面垂直性質(zhì)可得，由線面垂直的判定定理可知平面；由線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論.
（2）作，由線面垂直的判定可證得平面，進(jìn)而得到；根據(jù)二面角平面角的定義可知即為所求二面角的平面角；在中，利用長(zhǎng)度關(guān)系求得結(jié)果.
【詳解】
（1）連接

四邊形為菱形 ，且
平面，平面
平面， 平面
平面
（2）作，垂足為，連接

四邊形為菱形， 為等邊三角形
又 ，
平面，平面
又，平面， 平面
平面
二面角的平面角為
，為中點(diǎn)

二面角的余弦值為
【點(diǎn)睛】
本題考查立體幾何中線線垂直關(guān)系的證明、二面角的求解問(wèn)題；立體幾何中證明線線垂直長(zhǎng)采用先證線面垂直，根據(jù)線面垂直性質(zhì)證得結(jié)論的方式；求解二面角的關(guān)鍵是能夠明確二面角平面角的定義，并通過(guò)垂直關(guān)系找到二面角的平面角.
25．（2019·黑龍江哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考（理））如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，.

（1）證明：平面平面；
（2），分別是，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若二面角的平面角的大小為，試確定點(diǎn)的位置.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且坐標(biāo)為
【解析】
【分析】
（1）先通過(guò)線面垂直的判定定理證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；
（2）分析位置關(guān)系并建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關(guān)系，即可計(jì)算出的坐標(biāo)從而位置可確定.
【詳解】
（1）證明：因?yàn)?，，?br /> 所以，即.
又因?yàn)?，，所以?br /> ，所以平面.
因?yàn)槠矫?，所以平面平?

（2）解：連接，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以.
由（1）知，平面平面，所以平面.
以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則平面的一個(gè)法向量是，，，.
設(shè)，，
，，
代入上式得，，，所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
由，得.
令，得.
因?yàn)槎娼堑钠矫娼堑拇笮椋?br /> 所以，即，解得.
所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且坐標(biāo)為.
【點(diǎn)睛】
本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求解二面角有關(guān)的問(wèn)題，難度一般.（1）證明面面垂直，可通過(guò)先證明線面垂直，再證明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夾角的余弦值，要注意結(jié)合圖形分析.

四、填空題
26．（2020·梅河口市第五中學(xué)其他（理））如圖，已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，D為的中點(diǎn)，則直線AD與平面所成角的正弦值為_(kāi)_________

【答案】.
【解析】
【分析】
先證出B1D⊥平面AC1，過(guò)A點(diǎn)作AG⊥CD，證AG⊥平面B1DC，可知∠ADG即為直線AD與平面B1DC所成角，求其正弦即可．
【詳解】
如圖，連接B1D，因?yàn)槿切螢檎切?，則， 又平面 ⊥平面AC1，交線為，B1D平面 ，則B1D⊥平面AC1，
過(guò)A點(diǎn)作AG⊥CD，
則由B1D⊥平面AC1，得AG⊥B1D，由線面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC，
于是∠ADG即為直線AD與平面B1DC所成角，
由已知，不妨令棱長(zhǎng)為2，則可得ADCD，
由等面積法算得AG
所以直線AD與面DCB1的正弦值為 ；
故答案為．
【點(diǎn)睛】
考查正棱柱的性質(zhì)以及線面角的求法．考查空間想象能力以及點(diǎn)線面的位置關(guān)系，線面角的一般求解方法：法一作出角直接求解，法二；利用等積轉(zhuǎn)化求解
27．（2020·甘肅省會(huì)寧縣第二中學(xué)期中（文））已知正方體的棱長(zhǎng)是3，點(diǎn)?分別是棱?的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先通過(guò)平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形是等邊三角形則為，從而求出異面直線與所成的角.
【詳解】
如圖，連接，，，則為直線與所成的角

棱長(zhǎng)為3，則，
∴三角形為等邊三角形則為
從而異面直線與所成的角是
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力?運(yùn)算能力和推理論證能力，解題本題的關(guān)鍵尋找異面直線所成角，易錯(cuò)在計(jì)算．
28．（2019·黑龍江哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考（理））如圖，四面體中，是的中點(diǎn)，和均為等邊三角形，，，點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____．

【答案】
【解析】
【分析】
先證平面，利用等體積能求出到平面的距離．從而能求出點(diǎn)到平面的距離．
【詳解】
連接，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，
．和為等邊三角形，
為的中點(diǎn)，，，．
在中，，
，即．，
平面．
設(shè)到平面的距離為，
則，，
由等體積可得，
解得點(diǎn)到平面的距離為．
點(diǎn)到平面的距離為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．


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