數(shù)學(xué)
2020．12

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．已知集合A＝，B＝，則(A)B＝
A． B． C． D．
2．已知復(fù)數(shù)z滿足(2＋i)z＝5﹣5i，則z＝
A．3﹣3i B．1﹣3i C．1＋3i D．3＋3i
3．已知a，b都是實(shí)數(shù)，則“”是“”的
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．函數(shù)的部分圖像大致為

5．點(diǎn)P為拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，直線x＝2p交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，若△PMN的面積為20，則p＝
A．1 B． C．2 D．
6．已知sin(﹣)＝，則sin(2＋)＝
A． B． C． D．
7．已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)（包含邊界），且∠BAD＝120°，則的取值范圍是
A．[﹣2，4] B．(﹣2，4) C．[﹣2，2] D．(﹣2，2)
8．已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，以A為球心，為半徑的球面與平面A1B1
C1D1的交線長(zhǎng)為
A． B． C． D．

二、?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，?共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）
9．已知向量＝(1，3)，＝(﹣2，1)，＝(3，﹣5)，則
A．(＋2)∥ B．(＋2)⊥
C． D．
10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足﹣3＜x＋2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，則
A．x的取值范圍為(﹣1，2) B．y的取值范圍為(﹣2，1)
C．x＋y的取值范圍為(﹣3，3) D．x﹣y的取值范圍為(﹣1，3)
11．已知函數(shù)(，)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0，)，且在[0，2]上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是
A．＝2 B．
C．在(，0)上單調(diào)遞增 D．在(0，2)上有3個(gè)極小值點(diǎn)
12．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)(a≠0)的圖象都只有一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)(，)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)圖象的對(duì)稱點(diǎn)為(﹣1，2)，且不等式≥對(duì)任意(1，)恒成立，則
A．a(chǎn)＝3 B．b＝1
C．m的值可能是﹣e D．m的值可能是
三、填空題（本大題共4小題，?每小題5分，共計(jì)20分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
13．在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的公差為 ．
14．將一個(gè)斜邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為 ．
15．已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，A(0，4)，當(dāng)△MAF的周長(zhǎng)最小時(shí)，△MAF的面積為 ．
16．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 ．
四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本小題滿分10分）
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知B＝．
（1）若a＝4，c＝3，求sinA的值；
（2）若△ABC的面積為，求△ABC周長(zhǎng)的最小值．







18．（本小題滿分12分）
在①(n≥2)且，，②，，③，， 且，，成等差數(shù)列這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．
問題：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為， ．若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分







19．（本小題滿分12分）
如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，BC⊥平面AA1C1C，D是AA1的中點(diǎn)，△ACD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形．
（1）證明：CD⊥B1D；
（2）若BC＝，求二面角B—C1D—B1的大小．





20．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)(A＞0，＞0，0＜＜)的部分圖象如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）設(shè)．若關(guān)于的不等式23≤0恒成立，求m的取值范圍．



21．（本小題滿分12分）
已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(，1)在橢圓C上，且當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，＝2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．







22．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)(x＞0)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a≤2時(shí)，若無最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．







江蘇省2021屆百校聯(lián)考高三年級(jí)第二次試卷
數(shù)學(xué)
2020．12
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．已知集合A＝，B＝，則(A)B＝
A． B． C． D．
答案：A
解析：A＝[﹣4，1]，B＝(﹣1，3)，(A)B＝(﹣1，1]，故選A．
2．已知復(fù)數(shù)z滿足(2＋i)z＝5﹣5i，則z＝
A．3﹣3i B．1﹣3i C．1＋3i D．3＋3i
答案：B
解析：，故選B．
3．已知a，b都是實(shí)數(shù)，則“”是“”的
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
答案：C
解析：因?yàn)椤啊保詀＞b＞0，而“”得到，故選C．
4．函數(shù)的部分圖像大致為

答案：B
解析：首先判斷出是偶函數(shù)，其次過點(diǎn)(1，0)和(﹣1，0)，故選B．
5．點(diǎn)P為拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，直線x＝2p交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，若△PMN的面積為20，則p＝
A．1 B． C．2 D．
答案：C
解析：求得準(zhǔn)線方程為x＝，MN＝，則，p＝2（負(fù)值已舍去），選C．
6．已知sin(﹣)＝，則sin(2＋)＝
A． B． C． D．
答案：D
解析：sin(2＋)＝，故選D．
7．已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)（包含邊界），且∠BAD＝120°，則的取值范圍是
A．[﹣2，4] B．(﹣2，4) C．[﹣2，2] D．(﹣2，2)
答案：A
解析：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求得＝4，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，＝﹣2，故選A．
8．已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，以A為球心，為半徑的球面與平面A1B1
C1D1的交線長(zhǎng)為
A． B． C． D．
答案：D
解析：由題意知AB1＝AD1＝，如圖，在平面A1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P，使A1P＝2，則AP＝，故以A為球心，為半徑的球面與平面A1B1C1D1的交線是以A1為圓心，以2為半徑的圓弧B1PD1，故該交線長(zhǎng)為．

二、?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，?共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）
9．已知向量＝(1，3)，＝(﹣2，1)，＝(3，﹣5)，則
A．(＋2)∥ B．(＋2)⊥
C． D．
答案：AD
解析：＋2＝(﹣3，5)，故A對(duì)B錯(cuò)；，故C錯(cuò)D對(duì)，綜上，選AD．
10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足﹣3＜x＋2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，則
A．x的取值范圍為(﹣1，2) B．y的取值范圍為(﹣2，1)
C．x＋y的取值范圍為(﹣3，3) D．x﹣y的取值范圍為(﹣1，3)
答案：ABD
解析：﹣3＜x＋2y＜2，﹣2＜4x﹣2y＜8，﹣5＜5x＜10，即﹣1＜x＜2，故A正確；
﹣4＜﹣2x﹣4y＜6，﹣1＜2x﹣y＜4，即﹣5＜﹣5y＜10，故﹣2＜﹣5y＜1，故B正確；
(﹣2，2)，故C錯(cuò)；
(﹣1，3)，故D對(duì)．
綜上選ABD．
11．已知函數(shù)(，)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0，)，且在[0，2]上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是
A．＝2 B．
C．在(，0)上單調(diào)遞增 D．在(0，2)上有3個(gè)極小值點(diǎn)
答案：AC
解析：因?yàn)椋?，所以，故B錯(cuò)；因?yàn)樵赱0，2]上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，故A對(duì)；易知，畫出草圖可知，在(，0)上單調(diào)遞增，故C正確；在(0，2)上有2個(gè)極小值點(diǎn)，故D錯(cuò)．綜上選AC．
12．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)(a≠0)的圖象都只有一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)(，)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)圖象的對(duì)稱點(diǎn)為(﹣1，2)，且不等式≥對(duì)任意(1，)恒成立，則
A．a(chǎn)＝3 B．b＝1
C．m的值可能是﹣e D．m的值可能是
答案：ABC
解析：由題意得，因?yàn)?，所以，所以，解得a＝3，b＝1，故，因?yàn)閤＞1，所以≥，等價(jià)于，當(dāng)x＞0時(shí)，，則（當(dāng)且僅當(dāng)x＝e時(shí)，等號(hào)成立），從而，故m≤﹣e，故C正確，D錯(cuò)誤．
綜上，選ABC．
三、填空題（本大題共4小題，?每小題5分，共計(jì)20分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
13．在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的公差為 ．
答案：﹣3
解析：設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，則．
14．將一個(gè)斜邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為 ．
答案：
解析：由題意可知所得幾何體是圓錐，其底面圓的半徑r＝，母線長(zhǎng)l＝4，則其表面積為．
15．已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上，A(0，4)，當(dāng)△MAF的周長(zhǎng)最小時(shí)，△MAF的面積為 ．
答案：12
解析：設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(4，0)，周長(zhǎng)L＝AF＋MA＋MF＝MA＋(2a＋MF1)＋＝MA＋MF1＋，因?yàn)镸A＋MF1≥AF1，∴M，A，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，MA＋MF1有最小值A(chǔ)F1＝，可得此時(shí)點(diǎn)M(3，1)，即當(dāng)M(3，1)時(shí)，△MAF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)S△MAF＝×8(4﹣1)＝12．
16．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 ．
答案：(1，5){0}
解析：由題意可知，顯然x＝﹣1不是方程的實(shí)數(shù)根，則
，故關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y＝a與y＝的圖像恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出
y＝的大致圖像，如圖所示，由圖像可得實(shí)數(shù)a的取值范圍(1，5){0}．

四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本小題滿分10分）
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知B＝．
（1）若a＝4，c＝3，求sinA的值；
（2）若△ABC的面積為，求△ABC周長(zhǎng)的最小值．
解：（1）由余弦定理可得，
則，
由正弦定理可得，則，
（2）因?yàn)椤鰽BC的面積為，所以，則，
由余弦定理可得，
則（當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立），即
因?yàn)?，所以?br /> 所以（當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立），
故，即△ABC周長(zhǎng)的最小值為12．

18．（本小題滿分12分）
在①(n≥2)且，，②，，③，， 且，，成等差數(shù)列這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．
問題：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為， ．若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分
解：若選①，
因?yàn)?，所以，即?shù)列是等差數(shù)列，
因?yàn)?，，所以?br /> 解得，
故，
因?yàn)椋裕?br /> 則
，
若選②，
因?yàn)?，所以，?br /> 所以，解得，
則，
因?yàn)闈M足上式，所以，
以下步驟同①，
若選③，
因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，
所以，即，
因?yàn)?，，所以，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
故，
以下步驟同①．

19．（本小題滿分12分）
如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，BC⊥平面AA1C1C，D是AA1的中點(diǎn)，△ACD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形．
（1）證明：CD⊥B1D；
（2）若BC＝，求二面角B—C1D—B1的大小．

解：（1）證明：因?yàn)椤鰽CD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，所以∠ADC＝60°，∠DA1C1＝120°
因?yàn)镈是AA1的中點(diǎn)，所以AD＝A1D＝A1C1＝1，即△A1C1D是等腰三角形，
則∠A1DC1＝30°，故∠CDC1＝90°，即CD⊥C1D，
因?yàn)锽C⊥平面AA1C1C，BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1C1C，
因?yàn)镃D平面AA1C1C，所以B1C1⊥CD，
因?yàn)锽1C1C1D＝C1，B1C1平面B1C1D，C1D平面B1C1D，所以CD⊥平面B1C1D，
因?yàn)锽1D平面B1C1D，所以CD⊥B1D；
（2）連接CA1，則AC⊥CA1，以C為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz，
則
故
設(shè)平面BDC1的法向量為，
則令，得，
故
所以二面角B—C1D—B1的大小為30°．

20．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)(A＞0，＞0，0＜＜)的部分圖象如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）設(shè)．若關(guān)于的不等式23≤0恒成立，求m的取值范圍．

解：（1）由圖可知A＝2，，
則，從而，故，
因?yàn)榈膱D像過點(diǎn)，所以，所以，
因?yàn)椋裕?br /> 故；
（2）由（1）可得
，
設(shè)，因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)?，即在[﹣3，5]上恒成立，
則，即，
解得，
故m的取值范圍為．

21．（本小題滿分12分）
已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(，1)在橢圓C上，且當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，＝2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
解：（1）由題意可得
解得，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
（2）如圖，由（1）可知
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，則
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則直線l的方程為，

聯(lián)立整理得，
則，，從而，
故，
由題意可得
則
因?yàn)?，所以?br /> 綜上，存在實(shí)數(shù)，使得恒成立．

22．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)(x＞0)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a≤2時(shí)，若無最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：（1）(x＞0)，
時(shí)，時(shí)，時(shí)，
在(0，1)遞減，在遞增；
時(shí)，時(shí)，時(shí)，
在遞增，遞減，遞增；
時(shí)，，在遞增；
時(shí)，時(shí)，時(shí)，
在(0，1)遞增，在遞減，在遞增；
（2）時(shí)，由（1）知：，與題意不符，舍去；
時(shí)，，由（1）知：
要使無最小值，則：；
時(shí)，由（1）知：無最小值，符合題意；
④時(shí)，，由（1）知：
要使無最小值，則：
令
，令
在遞增，
故在(1，2)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為
時(shí)，，時(shí)，，即
故在遞減，遞增，
因此，時(shí)，恒成立，則；
綜上，．

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