高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)第一章　空間向量與立體幾何1.2 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.4 二面角優(yōu)秀課時(shí)練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題

1．（2020浙江高二期中）在側(cè)棱垂直底面的四棱柱中，P是棱上的動(dòng)點(diǎn).記直線與平面所成的角為，與直線所成的角為，二面角為，則，，的大小關(guān)系是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】如圖所示：過作交于，易知與直線所成的角，

；垂直底面，故與平面所成的角為，；

，，故；根據(jù)圖像知：二面角為，故.故選：.

2.．（2020·山西師大附中高二期中（理））如圖，在中，，分別為，邊上的中點(diǎn)，且，.現(xiàn)將沿折起，使得到達(dá)的位置，且二面角為，則（）

A．B．3C．D．

【答案】A

【解析】分別為中點(diǎn) ，

又平面，平面

二面角的平面角為

平面，又平面，故選：

3.（2020河北正定高中高二月考（理））已知二面角為為垂足，,則異面直線與所成角的余弦值為（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如圖所示，過點(diǎn)作，使，垂足為，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，在中，設(shè)，則，在中，則，在中，則，所以異面直線與所成的角，即是,所以，故選B．

4.（2020浙江麗水中學(xué)高二月考）如圖，已知，是的中點(diǎn)，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】設(shè)，設(shè)，則由題意，在空間圖形中，設(shè)，

在中，，在空間圖形中，過作，過作，垂足分別為，，過作，連結(jié)，∴，

則就是二面角的平面角，∴，在中，，，同理，，，故，顯然面，故，在中，，在中，

，

∵，，∴（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

∵，，而在上為遞減函數(shù)，∴，故選B.

5.（多選題）（2020·全國(guó)高二課時(shí)練）將直角三角形沿斜邊上的高折成的二面角，已知直角邊，那么下列說法正確的是（）．

A.平面平面 B.四面體的體積是

C.二面角的正切值是 D.與平面所成角的正弦值是

【答案】CD

【解析】畫出圖像如下圖所示，由圖可知A的判斷顯然錯(cuò)誤.由于，故是二面角的平面角且平面，故.過作交的延長(zhǎng)線于，由于，故是三棱錐的高.在原圖中，，,,,，所以，故B錯(cuò)誤.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.,，設(shè)平面的法向量為，則，令，則,即.

平面的法向量是.設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，故，則其正切值為.故C判斷正確.平面的法向量為，，設(shè)直線和平面所成的角為，則，故D判斷正確.綜上所述，正確的有CD.

6．（多選題）（2020福建三明一中高二期末）1．（2019·湖南高三開學(xué)考試（理））已知是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板（與）組成的三角形，如左下圖所示.其中，.現(xiàn)將沿斜邊進(jìn)行翻折成（不在平面上）.若分別為和的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列命題不正確的是（）

A．在線段上存在一定點(diǎn)，使得的長(zhǎng)度是定值

B．點(diǎn)在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)

C．存在某個(gè)位置，使得直線與所成角為

D．對(duì)于任意位置，二面角始終大于二面角

【答案】ABC

【解析】不妨設(shè)，取中點(diǎn)，易知落在線段上，且,

所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離始終為，即點(diǎn)在以點(diǎn)為球心，半徑為的球面上運(yùn)動(dòng)，

因此A、B選項(xiàng)不正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，作可以看成以為軸線，以為平面角的圓錐的母線，易知與落在同一個(gè)軸截面上時(shí)，取得最大值，則的最大值為，此時(shí)落在平面上，所以，即與所成的角始終小于，所以C選項(xiàng)不正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，易知二面角為直二面角時(shí)，二面角始終大于二面角，當(dāng)二面角為銳二面角時(shí)，如圖所示作平面與點(diǎn)，然后作分別交于，則二面角的平面角為，二面角的平面角為，且，又因?yàn)?，所以，所以二面角始終大于二面角，故選ABC.

二、填空題

7.（2020·江蘇東海高二期中）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖，在鱉臑中，平面，，且，則二面角的大小是 .

【答案】

【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，，，?br/>

顯然面的一個(gè)法向量可以為，設(shè)面的法向量為

則，即，令則，，所以

設(shè)二面角為，則，所以

8.．（2020山西臨汾高二月考（理））在正三角形中，過其中心作邊的平行線，分別交，與，，將沿折起到的位置，使點(diǎn)在平面上的射影恰是線段的中點(diǎn),則二面角的平面角的大小是 .

【答案】

【解析】連接A1G，MG，∵G是正三角形ABC的中心，B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1G，GM⊥B1C1，

∴∠A1GM為二面角A1﹣B1C1﹣M的平面角，∵G是正三角形ABC的中心，∴A1G=2GM，

又A1M⊥平面BB1C1C，∴cs∠A1GM==，∴∠A1GM=．

9．（2020山東菏澤三中高二月考）如圖，已知直四棱柱的底面為邊長(zhǎng)為1的正方形，，為棱上一動(dòng)點(diǎn)，若二面角的平面角，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍為．

【答案】

【解析】為棱上一動(dòng)點(diǎn)根據(jù)題意設(shè)，底面為邊長(zhǎng)為1的正方形，.如圖，連接，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，

則，，故為二面角的平面角，

故，.連接，，在中，易知，，，

故，故，又，，故線段的長(zhǎng)度的取值范圍為.

10．（2020·浙江省蘭溪市二中高二月考）如圖，已知平面，，、是直線上的兩點(diǎn)，、是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，，，．是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線，與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是 .

【答案】

【解析】，，，，同理

為直線與平面所成的角，為直線與平面所成的角

，又

，,在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,則，設(shè),，整理可得：,在內(nèi)的軌跡為為圓心，以為半徑的上半圓

平面平面，，,為二面角的平面角，

當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，取得最小值,此時(shí),.

三、解答題

11．（2018·全國(guó)高考真題（理））如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．

【解析】（1）由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.

因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以 DM⊥CM.

又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.

而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz.

當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).

由題設(shè)得，

設(shè)是平面MAB的法向量,則

即

可取.

是平面MCD的法向量,因此

，

，

所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是

12．（2015·湖北高考真題（理））《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．

如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn) ，作交于點(diǎn)，連接

（Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；

（Ⅱ）若面與面所成二面角的大小為，求的值．

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】解法1:

（Ⅰ）因?yàn)榈酌?，所以，

由底面為長(zhǎng)方形，有，而，

所以．而，所以．

又因?yàn)?，點(diǎn) 是的中點(diǎn)，所以．

而，所以平面．而，所以．

又，，所以平面．

由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，

即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為．

（Ⅱ）如圖1，在面內(nèi)，延長(zhǎng) 與交于點(diǎn) ，則是平面與平面

的交線．由（Ⅰ）知，，所以．

又因?yàn)榈酌?，所以．而，所以．

故是面與面所成二面角的平面角，

設(shè)，，有，在Rt△PDB中, 由, 得,

則 , 解得．

所以故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，．

（解法2）

（Ⅰ）如圖2，以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，，則，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，于是，即．

又已知，而，所以．

因, , 則, 所以．

由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，

即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為．

（Ⅱ）由，所以是平面的一個(gè)法向量；

由（Ⅰ）知，，所以是平面的一個(gè)法向量．

若面與面所成二面角的大小為，

則，

解得．所以

故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，．

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