達標檢測卷


隨機變量及其分布（B）


注意事項：


1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。


2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。


3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。


4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。


一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．


1．從混有張假鈔票的張百元鈔票中任意抽出張，將其中張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔，則第張也是假鈔的概率為（ ）


A．B．C．D．


2．某學校位同學組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負責，每次獻愛心活動均需該組織位同學參加．假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立，隨機地發(fā)給位同學，且所發(fā)信息都能收到．則甲同學收到李老師或張老師所發(fā)活動通知的信息的概率為（ ）


A．B．C．D．


3．從裝有除顏色外完全相同的個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取次，設摸得白球數(shù)為，已知，則（ ）


A．B．C．D．


4．已知隨機變量滿足，，，，


若，則（ ）


A．，


B．，


C．，


D．，


5．國際象棋比賽中規(guī)定，勝方得分，負方得分，和棋得分．年浙江省青少年國際象棋公開賽中，某選手每場比賽得分的分布列如下：





且，則該選手進行一場比賽得分的期望一定不可能的是（ ）


A．B．C．D．


6．有件產(chǎn)品，其中件是次品，從中任取件，若表示取得次品的件數(shù)，


則（ ）


A．B．C．D．


7．設隨機變量，滿足：，，若，


則（ ）


A．B．C．D．


8．位于坐標原點的一個質點按下述規(guī)則移動：質點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是，則質點移動六次后位于點的概率是（ ）


A．B．


C．D．





二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．


9．給出下列命題，其中正確的命題有（ ）


A．若，則是純虛數(shù)


B．隨機變量，若，則


C．公共汽車上有位乘客，沿途個車站，乘客下車的可能方式有種


D．回歸方程為中，變量與具有正的線性相關關系


10．設離散型隨機變量的分布列為





若離散型隨機變量滿足，則下列結果正確的有（ ）


A．B．


C．D．


11．甲箱中有個紅球，個白球和個黑球，乙箱中有個紅球，個白球和個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以，，表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結論正確的是（ ）


A．B．


C．事件與事件相互獨立D．、、兩兩互斥


12．下列說法正確的是（ ）


A．在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合效果越好


B．回歸直線至少經(jīng)過點，，，中的一個


C．若，，則


D．設隨機變量，若，則





三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．


13．從，，，，中任取個不同的數(shù)，事件“取到的個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到的個數(shù)均為偶數(shù)”，則______．


14．已知隨機變量和，其中，且，若的分布列如下表，則的值為 ．





15．現(xiàn)有件產(chǎn)品，其中件一等品，件二等品，從中隨機選出件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為隨機變量，則的數(shù)學期望___________．


16．甲盒里裝有個白球和個紅球，乙盒里裝有個白球和個紅球，從甲、乙兩個盒中各隨機取個球放入原來為空的丙盒中，則從丙盒中取個球是白球的概率是______，丙盒中含有紅球個數(shù)的期望是_________．





四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．


17．（10分）根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量（單位：）對工期的影響如下表：





歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于、、的概率分別為、、，求：


（1）在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過天的概率；


（2）工期延誤天數(shù)的均值與方差．





















































18．（12分）某一段海底光纜出現(xiàn)故障，需派人潛到海底進行維修，現(xiàn)在一共有甲、乙、丙三個人可以潛水維修，由于潛水時間有限，每次只能派出一個人，且每個人只派一次，如果前一個人在一定時間內能修好則維修結束，不能修好則換下一個人．已知甲、乙、丙在一定時間內能修好光纜的概率分別為，且各人能否修好相互獨立．


（1）若按照丙、乙、甲的順序派出維修，設所需派出人員的數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學期望；


（2）假設三人被派出的不同順序是等可能出現(xiàn)的，現(xiàn)已知丙在乙的下一個被派出，求光纜被丙修好的概率．






























































19．（12分）三年前，中國有三分之二的城市面臨“垃圾圍城”的窘境．我國的垃圾處理多采用填埋的方式，占用上萬畝土地，并且嚴重污染環(huán)境，垃圾分類把不易降解的物質分出來，減輕了土地的嚴重侵蝕，減少了土地流失．上海作為我國首個進行垃圾分類的城市，從年月開始實施至今，為了更好的回收和利用，每個小區(qū)都有規(guī)定時間投放垃圾，生活垃圾中有可以回收利用，分出可回收垃圾既環(huán)保，又節(jié)約資源．例如：回收利用1噸廢紙可再造出噸好紙．現(xiàn)調查了上海市個小區(qū)年月的生活垃圾投放情況，其中在規(guī)定時間內投放垃圾的百分比和可回收物中廢紙投放量如下表所示：





（1）從這個小區(qū)中任選個小區(qū)，求該小區(qū)年月在規(guī)定時間內投放垃圾的百分比不低于，且廢紙投放量大于噸的概率；


（2）從這個小區(qū)中任選個小區(qū)，記為年月投放的廢紙可再造好紙大于噸的小區(qū)個數(shù)，求的分布列及期望；


（3）若將頻率視為概率，在上海市任選個小區(qū)，恰有個小區(qū)年月在規(guī)定時間內投放垃圾的百分比不低于，且廢紙投放量大于噸的概率．










































































20．（12分）“一帶一路”為世界經(jīng)濟增長開辟了新空間，為國際貿易投資搭建了新平臺，為完善全球經(jīng)濟治理拓展了新實踐．某企業(yè)為抓住機遇，計劃在某地建立獼猴桃飲品基地，進行飲品，，的開發(fā)．





（1）在對三種飲品市場投放的前期調研中，對名試飲人員進行抽樣調查，得到對三種飲品選擇情況的條形圖．若飲品的百件利潤為元，飲品的百件利潤為元，飲品的百件利潤為元，請估計三種飲品的平均百件利潤；


（2）為進一步提高企業(yè)利潤，企業(yè)決定對飲品進行加工工藝的改進和飲品的研發(fā)．已知工藝改進成功的概率為，開發(fā)新飲品成功的概率為，且工藝改進與飲品研發(fā)相互獨立；


①求工藝改進和新品研發(fā)恰有一項成功的概率；


②若工藝改進成功則可為企業(yè)獲利萬元，不成功則虧損萬元，若飲品研發(fā)成功則獲利萬元，不成功則虧損萬元，求該企業(yè)獲利的數(shù)學期望．





















































21．（12分）工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人執(zhí)行任務，且每個人只派一次．每人工作時間均不超過分鐘，如果分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人；如果分鐘內已完成任務則不再派人．現(xiàn)在一共只有甲乙丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別為，，．假定各人能否完成任務相互獨立．


（1）計劃依次派甲乙丙執(zhí)行任務，


①求能完成任務的概率；


②求派出人員數(shù)X的分布列和數(shù)學期望E(X)．


（2）欲使完成任務的概率盡可能大，且所取需派出人員數(shù)X的數(shù)學期望盡可能小，你認為應該按什么次序派出甲乙丙？（直接寫出答案即可）






























































22．（12分）《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：從年秋季高中入學的新生開始，不分文理科；年開始，高考總成績由語數(shù)外門統(tǒng)考科目和物理、化學等六門選考科目構成．將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、．選考科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到、、、、、、、八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．某校高一年級共人，為給高一學生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布．


（1）求物理原始成績在區(qū)間的人數(shù)；


（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記表示這3人中等級成績在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．


（附：若隨機變量，則，，）

















2020-2021學年選擇性必修第三冊第七單元


達標檢測卷


隨機變量及其分布（B）答 案


一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．


1．【答案】B


【解析】設“抽到的兩張至少有一張是假鈔”為事件，“抽到的兩張都是假鈔”為事件，


，，．


2．【答案】C


【解析】設甲同學收到李老師的信息為事件，收到張老師的信息為事件，


、相互獨立，


，


則甲同學收到李老師或張老師所發(fā)活動通知的信息的概率為，故選C．


3．【答案】B


【解析】由題意知，，∴，解得，


∴，∴，


故選B．


4．【答案】C


【解析】依題意可知：








由于，不妨設．


故，，；，，，


故選C．


5．【答案】A


【解析】由隨機變量的分布列可知，隨機變量的數(shù)學期望為，


易知，，


∴，


即，當且僅當時，等號成立，


因此，該選手進行一場比賽得分的期望一定不可能的是，故選A．


6．【答案】B


【解析】根據(jù)題意，，


故選B．


7．【答案】A


【解析】由題意可得，


解得，


則，，本題選擇A選項．


8．【答案】C


【解析】根據(jù)題意，易得位于坐標原點的質點移動六次后位于點，在移動過程中向上移動次向右移動次，


則其概率為，故選C．





二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．


9．【答案】BD


【解析】對于A，當時，是實數(shù)，故A錯；


對于B，∵，∴，可得，


又∵，∴，故B正確；


對于C，公共汽車上有位乘客，沿途個車站，乘客下車的可能方式有種，故C錯誤；


對于D，回歸方程為，由，可得變量與具有正的線性相關關系，故D正確，


綜上所述正確的是BD，故選BD．


10．【答案】AC


【解析】由離散型隨機變量的分布列的性質得：


，


則，





，


即，


因為離散型隨機變量滿足，


∴，


故結果正確的有AC，故選AC．


11．【答案】BD


【解析】因為每次取一球，所以，，是兩兩互斥的事件，故D正確；


因為，，，


所以，故B正確；


同理，，


所以，


故AC錯誤，


故選BD．


12．【答案】ACD


【解析】對于A，在殘差圖中，殘差點比較均勻的分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合效果越好，選項正確；


對于B，線性回歸直線不一定經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)中的一個點，它是最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的變化趨勢的直線，選項錯誤；


對于C，，選項正確；


對于D，隨機變量，若，則，選項正確，


綜上可得，正確的選項為ACD，故選ACD．





三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．


13．【答案】


【解析】，，


由條件概率公式得，


故答案為．


14．【答案】


【解析】，，，


所以，且概率和，


解得．


15．【答案】


【解析】由題意可得：隨機變量服從超幾何分布：


，，，，


據(jù)此計算可得的數(shù)學期望．


16．【答案】，


【解析】由題意丙盒中白球的個數(shù)可能是，，，


因此所求概率為，


設丙盒中紅球個數(shù)為，則可能是，，，


，，，


即的分布列為





所以．


故答案為；．





四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．


17．【答案】（1）；（2）均值為，方差為．


【解析】（1）由題意可得，


且工期延誤不超過天的概率為


，


因此，在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過天的概率為．


（2）由題意可知，，


，


．


所以，隨機變量的分布列如下表所示：





∴，


．


所以，工期延誤天數(shù)的均值為，方差為．


18．【答案】（1）分布列見解析，期望為；（2）．


【解析】（1）的可能取值為，，．


；；，


所以的分布列為





．


（2）由題意知，三人的順序只可能有兩種：“甲、乙、丙”或“乙、丙、甲”，且概率都為．


若為“甲、乙、丙”，則光纜被丙修好的概率為；


若為“乙、丙、甲”，則光纜被丙修好的概率為，


所以光纜被丙修好的概率為．


19．【答案】（1）；（2）分布列見解析，；（3）．


【解析】（1）記“該小區(qū)月份在規(guī)定時間內投放垃圾的百分比不低于，


且廢紙投放量大于噸”為事件，只有、兩個小區(qū)符合要求，


所以．


（2）因為回收利用噸廢紙可再造出噸好紙，


所以月份投放的廢紙可再造好紙大于4噸的小區(qū)有、兩個小區(qū)，


的所有可能取值為，，．


，，．


所以的分布列為：





．


（3）設月份在規(guī)定時間內投放垃圾的百分比不低于，


且廢紙投放量大于噸的小區(qū)個數(shù)為，則，


所以．


20．【答案】（1）元；（2）①；②．


【解析】（1）根據(jù)樣本的條形圖可得顧客選擇飲品的頻率為；


選擇飲品的頻率為；選擇飲品的頻率為，


則可以得到總體的百件利潤平均值為元．


（2）①設飲品工藝改進成功為事件，新品研發(fā)成功為事件，


依題意可知事件與事件相互獨立，


事件為工藝改進和新品研發(fā)恰有一項成功，


則．


②由題意知企業(yè)獲利的取值為，10，120，230，


則，，


，．


故的分布列如下：





所以．


21．【答案】（1）①；②分布列見解析，；（2）依次派出丙甲乙．


【解析】（1）①設“計劃依次派出甲乙丙，能完成任務”為事件．


因為甲乙丙各自能完成任務的概率分別為，，，


各人能否完成任務相互獨立．


所以


或，


②依題意，的所有可能取值為，，．


，，．


所以的分布列為





故的期望．


（2）依次派出丙甲乙．


22．【答案】（1）人；（2）分布列見解析，．


【解析】（1）因為物理原始成績，


所以





，


所以物理原始成績在的人數(shù)為（人）．


（2）由題意得，隨機抽取人，其成績在區(qū)間內的概率為，


所以隨機抽取三人，則的所有可能取值為，，，，且，


所以，，


，．


所以的分布列為





所以數(shù)學期望．





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