2020版新設(shè)計一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)（文）江蘇專版講義：第二章第六節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．有理數(shù)指數(shù)冪
(1)冪的有關(guān)概念
①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：
a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：
a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
圖象

定義域
R
值域
(0，＋∞)
性質(zhì)
過定點(diǎn)(0,1)
當(dāng)x＞0時，y＞1；
x＜0時，0＜y＜1
當(dāng)x＞0時，0＜y＜1；
x＜0時，y＞1
在區(qū)間(－∞，＋∞)上是增函數(shù)
在區(qū)間(－∞，＋∞)上是減函數(shù)

[小題體驗]
1．函數(shù)f(x)＝2ax＋1－1(a＞0，且a≠1)恒過定點(diǎn)________．
答案：(－1,1)
2．已知0.2m＜0.2n，則m______n(填“＞”或“＜”)．
答案：＞
3．計算：(a2·)÷(·)＝________.
答案：a

1．在進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示，并且結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．
2．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a＞1或0＜a＜1.
[小題糾偏]
1．化簡(a＞0，b＞0)的結(jié)果為________．
答案：
2．若函數(shù)y＝(a－1)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案：(1,2)

　
[題組練透]
化簡與求值：
(1)0＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)a·b－2·÷；
(3).
解：(1)原式＝1＋×－
＝1＋×－
＝1＋－
＝.
(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)
＝－ab－3÷(ab)
＝－a·b
＝－·＝－.
(3)原式＝
＝a·b
＝.
[謹(jǐn)記通法]
指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則
(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運(yùn)算．
(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．
(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．
(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答．
　
[典例引領(lǐng)]
1．(2019·蘇州調(diào)研)若a＞1，b＜－1，則函數(shù)f(x)＝ax＋b的圖象經(jīng)過第________象限．
解析：∵a＞1，
∴y＝ax的圖象過第一、第二象限，且是單調(diào)增函數(shù)，經(jīng)過(0,1)，
f(x)＝ax＋b的圖象可看成把y＝ax的圖象向下平移－b(－b＞1)個單位得到的，
故函數(shù)f(x)＝ax＋b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限．
答案：一、三、四
2．已知f(x)＝|2x－1|.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)比較f(x＋1)與f(x)的大?。?br /> 解：(1)由f(x)＝|2x－1|＝可作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．

(2)在同一坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x)、f(x＋1)的圖象，如圖所示．
由圖象知，當(dāng)2－1＝1－2，即x0＝log2時，兩圖象相交，
由圖象可知，當(dāng)x＜log2時，f(x)＞f(x＋1)；
當(dāng)x＝log2時，f(x)＝f(x＋1)；
當(dāng)x＞log2時，f(x)＜f(x＋1)．
[由題悟法]
指數(shù)函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用
(1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，.
(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象．
(3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解．
[即時應(yīng)用]
1．若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________．
解析：作出曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，
由圖象可得：如果|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是b∈[－1,1]．

答案：[－1,1]
2．已知函數(shù)y＝|x＋1|.
(1)作出該函數(shù)的圖象；
(2)由圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解：(1)y＝|x＋1|＝
其圖象由兩部分組成：
一部分是：y＝x(x≥0)y＝x＋1(x≥－1)；
另一部分是：y＝3x(x＜0)y＝3x＋1(x＜－1)，函數(shù)圖象如圖所示．

(2)由圖象知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1]，單調(diào)遞減區(qū)間是(－1，＋∞)．
　
[鎖定考向]
高考常以填空題的形式考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，常見的命題角度有：
(1)比較指數(shù)式的大?。?br /> (2)簡單的指數(shù)不等式；
(3)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)．　　　　
[題點(diǎn)全練]
角度一：比較指數(shù)式的大小
1．設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是________(用“＞”表示)．
解析：因為函數(shù)y＝0.6x是減函數(shù)，0＜0.6＜1.5，所以1＞0.60.6＞0.61.5，
即b＜a＜1.因為函數(shù)y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，
0．6＞0，
所以1.50.6＞1.50＝1，
即c＞1.綜上，c＞a＞b.
答案：c＞a＞b
角度二：簡單的指數(shù)不等式
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＜1，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：當(dāng)a＜0時，不等式f(a)＜1可化為a－7＜1，
即a＜8，即a＜－3，
因為0＜＜1，所以a＞－3，此時－3＜a＜0；
當(dāng)a≥0時，不等式f(a)＜1可化為＜1，
所以0≤a＜1.故a的取值范圍是(－3,1)．
答案：(－3,1)
角度三：指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)
3．(1)若函數(shù)f(x)＝2|x－a|(a∈R)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的最小值等于________．
(2)如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為14，則a的值為________．
解析：(1)函數(shù)f(x)＝2|x－a|(a∈R)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，由f(1＋x)＝f(1－x)得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故a＝1，則f(x)＝2|x－1|＝由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，故m≥1，所以實數(shù)m的最小值等于1.
(2)令ax＝t，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
當(dāng)a＞1時，因為x∈[－1,1]，所以t∈.
又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在上單調(diào)遞增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(負(fù)值舍去)．
當(dāng)0＜a＜1時，因為x∈[－1,1]，所以t∈.
又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在上單調(diào)遞增，
所以ymax＝2－2＝14，解得a＝(負(fù)值舍去)．
綜上，a＝3或a＝.
答案：(1)1　(2)3或
4．(2019·啟東中學(xué)高三檢測)已知函數(shù)f(x)＝9x－2a·3x＋3.
(1)若a＝1，x∈[0,1]，求f(x)的值域；
(2)當(dāng)x∈[－1,1]時，求f(x)的最小值h(a)；
(3)是否存在實數(shù)m，n，同時滿足下列條件：①n＞m＞3；②當(dāng)h(a)的定義域為[m，n]時，其值域為[m2，n2]．若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．
解：(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝9x－2·3x＋3，
則f(x)＝(3x－1)2＋2.
因為x∈[0,1]，所以3x∈[1,3]，f(x)∈[2,6]．
(2)令3x＝t，因為x∈[－1,1]，故t∈，函數(shù)f(x)可化為g(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.
當(dāng)a＜時，h(a)＝g＝－；
當(dāng)≤a≤3時，h(a)＝g(a)＝3－a2；
當(dāng)a＞3時，h(a)＝g(3)＝12－6a.
綜上，h(a)＝
(3)因為n＞m＞3，h(a)＝12－6a為減函數(shù)，
所以h(a)在[m，n]上的值域為[h(n)，h(m)]，
又h(a)在[m，n]上的值域為[m2，n2]，
所以即
兩式相減，得6(m－n)＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)，
所以m＋n＝6.
而由n＞m＞3可得m＋n＞6，矛盾．
所以不存在滿足條件的實數(shù)m，n.
[通法在握]
應(yīng)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的常見3大題型及求解策略
題型
求解策略
比較冪值的大小
(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小
簡單指數(shù)不等式
先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解
指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)
與探究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)的方法一致
[提醒]　在探究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時，當(dāng)?shù)讛?shù)與“1”的大小關(guān)系不明確時，要分類討論．
[演練沖關(guān)]
已知函數(shù)f(x)＝b·ax(其中a，b為常數(shù)且a＞0，a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,6)，B(3,24)．
(1)試確定f(x)；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)因為f(x)＝b·ax的圖象過點(diǎn)A(1,6)，B(3,24)，
所以
②÷①得a2＝4，又a＞0且a≠1，所以a＝2，b＝3，
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立可轉(zhuǎn)化為m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝x＋x，
則g(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，
所以m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，
故所求實數(shù)m的取值范圍是.

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快
1．(2019·連云港調(diào)研)已知a＝3π，b＝eπ，c＝e3，則a，b，c的大小關(guān)系為________．
解析：由y＝ex是增函數(shù)，得b＝eπ＞c＝e3，由y＝xπ是增函數(shù)，得a＝3π＞b＝eπ，故c＜b＜a.
答案：c＜b＜a
2．已知函數(shù)y＝ax－1＋3(a＞0且a≠1)圖象經(jīng)過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
解析：當(dāng)x＝1時，y＝a0＋3＝4，
∴函數(shù)y＝ax－1＋3(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)(1,4)．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4)．
答案：(1,4)
3．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝2x＋1與g(x)＝x－1的圖象關(guān)于________對稱．
解析：因為g(x)＝21－x＝f(－x)，所以f(x)與g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．
答案：y軸
4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,1)，則f(x)的值域為________．
解析：由f(x)過定點(diǎn)(2,1)可知b＝2，
因為f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函數(shù)，
所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.
故f(x)的值域為[1,9]．
答案：[1,9]
5．不等式2＞x＋4的解集為________．
解析：不等式2－x2＋2x＞x＋4可化為x2－2x＞x＋4，等價于x2－2x＜x＋4，即x2－3x－4＜0，
解得－1＜x＜4.
答案：{x|－1＜x＜4}
6．(2019·徐州調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝ax－1(a＞1)在區(qū)間[2,3]上的最大值比最小值大，則a＝________.
解析：∵函數(shù)f(x)＝ax－1(a＞1)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù)，
∴f(x)max＝f(3)＝a2，f(x)min＝f(2)＝a.
由題意可得a2－a＝，解得a＝.
答案：
二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)
1．若函數(shù)f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域為[1，＋∞)，則f(－4)與f(1)的大小關(guān)系是________．
解析：由題意知a＞1，f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由y＝at(a＞1)的單調(diào)性知a3＞a2，
所以f(－4)＞f(1)．
答案：f(－4)＞f(1)
2．(2018·啟東中學(xué)檢測)滿足x－3＞16的x的取值范圍是________．
解析：∵x－3＞16，∴x－3＞－2，
∵函數(shù)y＝x在定義域上是減函數(shù)，
∴x－3＜－2，故x＜1.
答案：(－∞，1)
3．已知實數(shù)a，b滿足等式2 017a＝2 018b，下列五個關(guān)系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的關(guān)系式有________個．
解析：設(shè)2 017a＝2 018b＝t，如圖所示，由函數(shù)圖象，可得若t＞1，則有a＞b＞0；若t＝1，則有a＝b＝0；若0＜t＜1，則有a＜b＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．
答案：2
4．若函數(shù)f(x)＝是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：依題意，a應(yīng)滿足解得＜a≤.
答案：
5．(2019·蘇州中學(xué)檢測)函數(shù)f(x)＝x2＋1的值域為________．
解析：令u＝x2＋1，可得f(u)＝u是減函數(shù)，
而u＝x2＋1的值域為[1，＋∞)，
∴函數(shù)f(x)＝x2＋1的值域為.
答案：
6．(2019·無錫調(diào)研)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋6的單調(diào)遞增區(qū)間是________．
解析：設(shè)u(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，對稱軸為x＝1，
則u(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
又y＝x在R上單調(diào)遞減，
所以f(x)＝ x2－2x＋6在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．
答案：(－∞，1)
7．已知函數(shù)f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，則a的取值范圍是________．
解析：因為f(x)＝a－x＝x，且f(－2)＞f(－3)，
所以函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增，
所以＞1，
解得0＜a＜1.
答案：(0,1)
8．當(dāng)x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析：原不等式變形為m2－m＜x，
因為函數(shù)y＝x在(－∞，－1]上是減函數(shù)，
所以x≥－1＝2，
當(dāng)x∈(－∞，－1]時，m2－m＜x恒成立等價于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.
答案：(－1,2)
9．化簡下列各式：
(1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；
(2) ÷ .
解：(1)原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝a÷a＝a＝a.
10．(2018·蘇州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝3x＋λ·3－x(λ∈R)．
(1)若f(x)為奇函數(shù)，求λ的值和此時不等式f(x)＞1的解集；
(2)若不等式f(x)≤6對x∈[0,2]恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．
解：(1)函數(shù)f(x)＝3x＋λ·3－x的定義域為R.
因為f(x)為奇函數(shù)，
所以f(－x)＋f(x)＝0對?x∈R恒成立，
即3－x＋λ·3x＋3x＋λ·3－x＝(λ＋1)(3x＋3－x)＝0對?x∈R恒成立，
所以λ＝－1.
由f(x)＝3x－3－x＞1，得(3x)2－3x－1＞0，
解得3x＞或3x＜(舍去)，
所以不等式f(x)＞1的解集為.
(2)由f(x)≤6，得3x＋λ·3－x≤6，即3x＋≤6.
令t＝3x∈[1,9]，則問題等價于t＋≤6對t∈[1,9]恒成立，
即λ≤－t2＋6t對t∈[1,9]恒成立，
令g(t)＝－t2＋6t，t∈[1,9]，
因為g(t)在[1,3]上單調(diào)遞增，在[3,9]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)t＝9時，g(t)有最小值g(9)＝－27，
所以λ≤－27，即實數(shù)λ的取值范圍為(－∞，－27]．
三上臺階，自主選做志在沖刺名校
1．當(dāng)x∈[1,2]時，函數(shù)y＝x2與y＝ax(a＞0)的圖象有交點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
解析：當(dāng)a＞1時，如圖①所示，使得兩個函數(shù)圖象有交點(diǎn)，需滿足·22≥a2，即1＜a≤；
當(dāng)0＜a＜1時，如圖②所示，需滿足·12≤a1，即≤a＜1.
綜上可知，a∈.
　
答案：
2．(2018·南京調(diào)研)已知二次函數(shù)f(x)＝mx2－2x－3，關(guān)于實數(shù)x的不等式f(x)≤0的解集為[－1，n]．
(1)當(dāng)a≥0時，解關(guān)于x的不等式ax2＋n＋1＞(m＋1)x＋2ax；
(2)是否存在實數(shù)a∈(0,1)，使得關(guān)于x的函數(shù)y＝f(ax)－3ax＋1在x∈[1,2]上的最小值為－？若存在，求實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．
解：(1)由f(x)＝mx2－2x－3≤0的解集為[－1，n]知，關(guān)于x的方程mx2－2x－3＝0的兩根為－1和n，且m＞0，
則所以
所以原不等式可化為(x－2)(ax－2)＞0.
①當(dāng)a＝0時，原不等式化為(x－2)×(－2)＞0，解得x＜2；
②當(dāng)0＜a＜1時，原不等式化為(x－2)·＞0，且2＜，解得x＞或x＜2；
③當(dāng)a＝1時，原不等式化為(x－2)2＞0，解得x∈R且x≠2；
④當(dāng)a＞1時，原不等式化為(x－2)·＞0，且2＞，解得x＜或x＞2.
綜上所述，當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為{x|x＜2}；
當(dāng)0＜a≤1時，原不等式的解集為；
當(dāng)a＞1時，原不等式的解集為.
(2)假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)a，
由(1)知f(x)＝x2－2x－3，
y＝f(ax)－3ax＋1＝a2x－(3a＋2)ax－3.
令ax＝t，a2≤t≤a，
則y＝t2－(3a＋2)t－3，
此函數(shù)圖象的對稱軸為t＝，
因為a∈(0,1)，所以a2＜a＜1,1＜＜，
所以函數(shù)y＝t2－(3a＋2)t－3在[a2，a]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)t＝a時，y取得最小值，最小值為y＝－2a2－2a－3＝－，
解得a＝－(舍去)或a＝.
故存在滿足條件的a，a的值為.