專題　功能關(guān)系　能量守恒定律
　功能關(guān)系的理解和應(yīng)用
1.對(duì)功能關(guān)系的理解
(1)做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化的過程，不同形式的能量發(fā)生相互轉(zhuǎn)化是通過做功來實(shí)現(xiàn)的。
(2)功是能量轉(zhuǎn)化的量度，功和能的關(guān)系，一是體現(xiàn)在不同的力做功，對(duì)應(yīng)不同形式的能轉(zhuǎn)化，具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，二是做功的多少與能量轉(zhuǎn)化的多少在數(shù)值上相等。
2.幾種常見的功能關(guān)系及其表達(dá)式
各種力做功
對(duì)應(yīng)能的變化
定量關(guān)系
合力做功
動(dòng)能變化
合力對(duì)物體做功等于物體動(dòng)能的變化量W合＝Ek2－Ek1
重力做功
重力勢能變化　　
重力做正功，重力勢能減少，重力做負(fù)功，重力勢能增加，且WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
彈簧彈力做功　　
彈性勢能變化　　
彈力做正功，彈性勢能減少，彈力做負(fù)功，彈性勢能增加，且W彈＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、彈簧彈力做功
系統(tǒng)機(jī)械能不變化
系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即ΔE＝0
非重力和彈力做功
機(jī)械能變化
除重力和彈力之外的其他力做正功，物體的機(jī)械能增加，做負(fù)功，機(jī)械能減少，且W其他＝ΔE
【例1】 (2017·全國Ⅲ卷，16)如圖1，一質(zhì)量為m、長度為l的均勻柔軟細(xì)繩PQ豎直懸掛。用外力將繩的下端Q緩慢地豎直向上拉起至M點(diǎn)，M點(diǎn)與繩的上端P相距l(xiāng)。重力加速度大小為g。在此過程中，外力做的功為(　　)

圖1
A.mgl B.mgl
C.mgl D.mgl
解析　由題意可知，PM段細(xì)繩的機(jī)械能不變，MQ段細(xì)繩的重心升高了，則重力勢能增加ΔEp＝mg·＝mgl，由功能關(guān)系可知，在此過程中，外力做的功為W＝mgl ，故選項(xiàng)A正確，B、C、 D錯(cuò)誤。
答案　A
【例2】 (多選)(2019·全國Ⅱ卷，18)從地面豎直向上拋出一物體，其機(jī)械能E總等于動(dòng)能Ek與重力勢能Ep之和。取地面為重力勢能零點(diǎn)，該物體的E總和Ep隨它離開地面的高度h的變化如圖2所示。重力加速度取10 m/s2。由圖中數(shù)據(jù)可得(　　)

圖2
A.物體的質(zhì)量為2 kg
B.h＝0時(shí)，物體的速率為20 m/s
C.h＝2 m時(shí)，物體的動(dòng)能Ek＝40 J
D.從地面至h＝4 m，物體的動(dòng)能減少100 J
解析　由于Ep＝mgh，所以Ep與h成正比，斜率是k＝mg，由圖象得k＝20 N，因此m＝2 kg，A正確；當(dāng)h＝0時(shí)，Ep＝0，E總＝Ek＝mv，因此v0＝10 m/s，B錯(cuò)誤；由圖象知h＝2 m時(shí)，E總＝90 J，Ep＝40 J，由E總＝Ek＋Ep得Ek＝50 J，C錯(cuò)誤；h＝4 m時(shí)，E總＝Ep＝80 J，即此時(shí)Ek＝0，即從地面上升至h＝4 m高度時(shí)，物體的動(dòng)能減少100 J，D正確。
答案　AD

1.如圖3所示，某滑翔愛好者利用無動(dòng)力滑翔傘在高山頂助跑起飛，在空中完成長距離滑翔后安全到達(dá)山腳下。他在空中滑翔的過程中(　　)

圖3
A.只有重力做功
B.重力勢能的減小量大于重力做的功
C.重力勢能的減小量等于動(dòng)能的增加量
D.動(dòng)能的增加量等于合力做的功
解析　由功能關(guān)系知，重力做功對(duì)應(yīng)重力勢能的變化，合外力做功對(duì)應(yīng)物體動(dòng)能的變化，選項(xiàng)D正確。
答案　D
2.(2019·廣東省惠州市第三次調(diào)研)質(zhì)量為2 kg的物體以10 m/s的初速度，從起點(diǎn)A出發(fā)豎直向上拋出，在它上升到某一點(diǎn)的過程中，物體的動(dòng)能損失了50 J，機(jī)械能損失了10 J，設(shè)物體在上升、下降過程空氣阻力大小恒定，則該物體再落回到A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為(g＝10 m/s2)(　　)
A.40 J B.60 J C.80 J D.100 J
解析　物體拋出時(shí)的總動(dòng)能為100 J，物體的動(dòng)能損失了50 J時(shí)，機(jī)械能損失了10 J，則動(dòng)能損失100 J時(shí)，機(jī)械能損失了20 J，此時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)，返回時(shí)，機(jī)械能還會(huì)損失20 J，故從A點(diǎn)拋出到落回到A點(diǎn)，共損失機(jī)械能40 J，所以該物體再落回到A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為60 J，A、C、D錯(cuò)誤，B正確。
答案　B
　摩擦力做功與能量的轉(zhuǎn)化
1.兩種摩擦力的做功情況比較
比較
類別
靜摩擦力
滑動(dòng)摩擦力
不同點(diǎn)
能量的轉(zhuǎn)化方面
只有能量的轉(zhuǎn)移，而沒有能量的轉(zhuǎn)化
既有能量的轉(zhuǎn)移，又有能量的轉(zhuǎn)化
一對(duì)摩擦力的總功方面
一對(duì)靜摩擦力所做功的代數(shù)和等于零
一對(duì)滑動(dòng)摩擦力所做功的代數(shù)和不為零，總功W＝－fs相對(duì)，即相對(duì)滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的熱量
相同點(diǎn)
正功、負(fù)功、不做功方面
兩種摩擦力對(duì)物體可以做正功、負(fù)功，還可以不做功
2.相對(duì)滑動(dòng)物體能量問題的解題流程

【例3】 (多選)(2019·江蘇卷，8)如圖4所示，輕質(zhì)彈簧的左端固定，并處于自然狀態(tài)。小物塊的質(zhì)量為m，從A點(diǎn)向左沿水平地面運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧后被彈回，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)恰好靜止。物塊向左運(yùn)動(dòng)的最大距離為s，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，彈簧未超出彈性限度。在上述過程中(　　)

圖4
A.彈簧的最大彈力為μmg
B.物塊克服摩擦力做的功為2μmgs
C.彈簧的最大彈性勢能為μmgs
D.物塊在A點(diǎn)的初速度為
解析　物塊向左運(yùn)動(dòng)壓縮彈簧，彈簧最短時(shí)，物塊具有向右的加速度，彈力大于摩擦力，即F>μmg，A錯(cuò)誤；根據(jù)功的公式，物塊克服摩擦力做的功W＝μmgs＋μmgs＝2μmgs，B正確；根據(jù)能量守恒，彈簧彈開物塊的過程中，彈簧的彈性勢能通過摩擦力做功轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，故Epm＝μmgs，C正確；根據(jù)能量守恒，在整個(gè)過程中，物體的初動(dòng)能通過摩擦力做功轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，即mv2＝2μmgs，所以v＝2，D錯(cuò)誤。
答案　BC

1.(多選)如圖5所示，質(zhì)量為M、長度為L的小車靜止在光滑水平面上，質(zhì)量為m的小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))放在小車的最左端?，F(xiàn)用一水平恒力F作用在小物塊上，使小物塊從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。小物塊和小車之間的摩擦力為f，小物塊滑到小車的最右端時(shí)，小車運(yùn)動(dòng)的距離為s。此過程中，以下結(jié)論正確的是(　　)

圖5
A.小物塊到達(dá)小車最右端時(shí)具有的動(dòng)能為(F－f)(L＋s)
B.小物塊到達(dá)小車最右端時(shí)，小車具有的動(dòng)能為f s
C.小物塊克服摩擦力所做的功為f(L＋s)
D.小物塊和小車增加的機(jī)械能為Fs
解析　由動(dòng)能定理可得，小物塊到達(dá)小車最右端時(shí)的動(dòng)能Ek物＝W合＝(F－f)(L＋s)，A正確；小物塊到達(dá)小車最右端時(shí)，小車的動(dòng)能Ek車＝fs，B正確；小物塊克服摩擦力所做的功Wf＝f(L＋s)，C正確；小物塊和小車增加的機(jī)械能為F(L＋s)－f L，D錯(cuò)誤。
答案　ABC
2.高速公路部分路段旁建有如圖6所示的避險(xiǎn)車道，車輛可駛?cè)氡茈U(xiǎn)。若質(zhì)量為m的貨車剎車后以初速度v0經(jīng)A點(diǎn)沖上避險(xiǎn)車道，前進(jìn)距離l時(shí)到B點(diǎn)減速為0，貨車所受阻力恒定，A、B兩點(diǎn)高度差為h，C為A、B中點(diǎn)，已知重力加速度為g，下列關(guān)于該貨車從A運(yùn)動(dòng)到B的過程說法正確的是(　　)

圖6
A.克服阻力做的功為mv
B.該過程產(chǎn)生的熱量為mv－mgh
C.在AC段克服阻力做的功小于在CB段克服阻力做的功
D.在AC段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于在CB段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間
解析　設(shè)貨車所受阻力為f，根據(jù)動(dòng)能定理有－mgh－fl＝0－mv，克服阻力做的功為Wf＝fl＝mv－mgh，故A錯(cuò)誤；克服阻力做的功等于系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能，則該過程產(chǎn)生的熱量為mv－mgh，故B正確；阻力做的功與路程成正比，在AC段克服阻力做的功等于在CB段克服阻力做的功，故C錯(cuò)誤；從A到B做勻減速運(yùn)動(dòng)，AC段的平均速度大于BC段的平均速度，故在AC段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于在CB段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，故D錯(cuò)誤。
答案　B
　能量守恒定律的應(yīng)用
1.對(duì)能量守恒定律的理解
(1)轉(zhuǎn)化：某種形式的能量減少，一定存在其他形式的能量增加，且減少量和增加量一定相等。
(2)轉(zhuǎn)移：某個(gè)物體的能量減少，一定存在其他物體的能量增加，且減少量和增加量一定相等。
2.涉及彈簧的能量問題應(yīng)注意
兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體與彈簧組成的系統(tǒng)相互作用的過程，具有以下特點(diǎn)：
(1)能量變化上，如果只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈簧彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。
(2)如果系統(tǒng)每個(gè)物體除彈簧彈力外所受合外力為零，則當(dāng)彈簧伸長或壓縮到最大程度時(shí)兩物體速度相同。
【例4】 (2019·保定一模)如圖7所示，固定斜面AB和CB與水平面均由一小段光滑圓弧連接，傾角分別為α、β，OB＝h。細(xì)線一端固定在豎直擋板上，另一端系一質(zhì)量為m的小物塊，在小物塊和擋板之間壓縮一輕質(zhì)彈簧(小物塊與彈簧不連接)，燒斷細(xì)線，小物塊被彈出，滑上斜面AB后，恰好能運(yùn)動(dòng)到斜面的最高點(diǎn)，已知AD＝l，小物塊與水平面、斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度為g，則(　　)

圖7
A.彈簧對(duì)小物塊做功為μmgl
B.斜面摩擦力對(duì)小物塊做功為
C.細(xì)線燒斷前，彈簧具有的彈性勢能為mgh＋μmg(＋l)
D.撤去斜面AB，小物塊還從D點(diǎn)彈出，將沿斜面CB上滑并從B點(diǎn)飛出去
解析　燒斷細(xì)線后，彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化成小物塊的重力勢能與摩擦生成的熱量之和，即Ep＝mgh＋μmgl＋μmgcos α·＝mgh＋μmg(＋l)，彈簧對(duì)小物塊做的功等于彈性勢能減少量，也為mgh＋μmg·(＋l)，故A錯(cuò)誤，C正確；小物塊從A到B過程中，斜面摩擦力對(duì)小物塊做負(fù)功，且為－μmgcos α·＝
－μmg·，故B錯(cuò)誤；物塊克服摩擦力做的功Wf＝μmg(＋l)＝μmg·OD，可見Wf與斜面傾角無關(guān)，所以撤去斜面AB，小物塊從C點(diǎn)沖上斜面，仍恰能到達(dá)B點(diǎn)，D錯(cuò)誤。
答案　C

1.質(zhì)量為m的物體以初速度v0沿水平面向左開始運(yùn)動(dòng)，起始點(diǎn)A與一輕彈簧O端相距s，如圖8所示。已知物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體與彈簧相碰后，彈簧的最大壓縮量為x，重力加速度為g，則從開始碰撞到彈簧被壓縮至最短，物體克服彈簧彈力所做的功為(　　)

圖8
A.mv－μmg(s＋x)
B.mv－μmgx
C.μmgs
D.μmg(s＋x)
解析　根據(jù)功的定義式可知物體克服摩擦力做功為Wf＝μmg(s＋x)，由能量守恒定律可得mv＝W彈＋Wf，W彈＝mv－μmg(s＋x)，故選項(xiàng)A正確。
答案　A
2.如圖9所示，在距水平地面高h(yuǎn)1＝1.2 m的光滑水平臺(tái)面上，一個(gè)質(zhì)量m＝1 kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖定。現(xiàn)解除鎖定，小物塊與彈簧分離后以一定的水平速度v1向右從A點(diǎn)滑離平臺(tái)，并恰好從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道BC。已知B點(diǎn)距水平地面的高度h2＝0.6 m，圓弧軌道BC的圓心O與水平臺(tái)面等高，C點(diǎn)的切線水平，并與長L＝2.8 m的水平粗糙直軌道CD平滑連接，小物塊恰能到達(dá)D處。重力加速度g＝10 m/s2，空氣阻力忽略不計(jì)。求：

圖9
(1)小物塊由A到B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
(2)解除鎖定前彈簧所儲(chǔ)存的彈性勢能Ep；
(3)小物塊與軌道CD間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ。
解析　(1)小物塊由A到B的過程中做平拋運(yùn)動(dòng)，
有h1－h(huán)2＝gt2，代入數(shù)據(jù)可得t＝ s。
(2)由圖中幾何關(guān)系可知＝cos∠BOC，解得∠BOC＝60°，則有tan 60°＝，解得v1＝2 m/s，由能量的轉(zhuǎn)化與守恒定律可知，Ep＝mv，解得Ep＝2 J。
(3)由功能關(guān)系可知：
Ep＋mgh1＝μmgL
代入數(shù)據(jù)可得μ＝0.5。
答案　(1) s　(2)2 J　(3)0.5
課時(shí)作業(yè)
(時(shí)間：40分鐘)
基礎(chǔ)鞏固練
1.韓曉鵬是我國首位在冬奧會(huì)雪上項(xiàng)目奪冠的運(yùn)動(dòng)員。他在一次自由式滑雪空中技巧比賽中沿“助滑區(qū)”保持同一姿態(tài)下滑了一段距離，重力對(duì)他做功1 900 J，他克服阻力做功100 J。韓曉鵬在此過程中(　　)
A.動(dòng)能增加了1 900 J
B.動(dòng)能增加了2 000 J
C.重力勢能減小了1 900 J
D.重力勢能減小了2 000 J
解析　由題可得：重力做功WG＝1 900 J，則重力勢能減少1 900 J ，故選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤；由動(dòng)能定理得，WG－Wf＝ΔEk，克服阻力做功Wf＝100 J，則動(dòng)能增加1 800 J，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤。
答案　C
2.如圖1所示，光滑水平面AB與豎直面上的半圓形光滑固定軌道在B點(diǎn)銜接，BC為直徑，一可看做質(zhì)點(diǎn)的物塊在A處壓縮一輕質(zhì)彈簧(物塊與彈簧不連接)，釋放物塊，物塊被彈簧彈出后，經(jīng)過半圓形軌道B點(diǎn)之后恰好能通過半圓軌道的最高點(diǎn)C?，F(xiàn)在換用一個(gè)質(zhì)量較小的另一物塊，被同樣壓縮的彈簧由靜止彈出，不計(jì)空氣阻力。則更換后 (　　)

圖1
A.物塊不能到達(dá)C點(diǎn)
B.物塊經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)動(dòng)能不變
C.物塊經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能增大
D.物塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力減小
解析　物塊從A到C過程，由能量守恒有Ep＝mg·2R＋mv，可知質(zhì)量減小，物塊經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)動(dòng)能增大，vC增大，物塊也能到達(dá)C點(diǎn)，故A、B錯(cuò)誤；由能量守恒定律可知物塊經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能不變均為Ep，故C錯(cuò)誤；物塊從A到B過程，由能量守恒有Ep＝mv，在B點(diǎn)有FN－mg＝m，解得FN＝mg＋，減小，故D正確。
答案　D
3.(多選)(2019·福建省三明一中模擬)滑沙是人們喜愛的游樂活動(dòng)，如圖2是滑沙場地的一段斜面，其傾角為30°，設(shè)參加活動(dòng)的人和滑車總質(zhì)量為m，人和滑車從距底端高為h處的頂端A沿滑道由靜止開始勻加速下滑，加速度為0.4g，人和滑車可視為質(zhì)點(diǎn)，則從頂端向下滑到底端B的過程中，下列說法正確的是(　　)

圖2
A.人和滑車減少的重力勢能全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能
B.人和滑車獲得的動(dòng)能為0.8mgh
C.整個(gè)下滑過程中人和滑車減少的機(jī)械能為0.2mgh
D.人和滑車克服摩擦力做功為0.6mgh
解析　沿斜面的方向有ma＝mgsin 30°－f，所以f＝0.1mg，人和滑車減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和內(nèi)能，故A錯(cuò)誤；人和滑車下滑的過程中重力和摩擦力做功，獲得的動(dòng)能為Ek＝(mgsin 30°－f)＝0.8mgh，故B正確；整個(gè)下滑過程中人和滑車減少的機(jī)械能為ΔE＝mgh－Ek＝mgh－0.8mgh＝0.2mgh，故C正確；整個(gè)下滑過程中克服摩擦力做功等于人和滑車減少的機(jī)械能，所以人和滑車克服摩擦力做功為0.2mgh，故D錯(cuò)誤。
答案　BC
4.如圖3所示為機(jī)場用于檢查物品的裝置，主要由水平傳送帶和X光透視系統(tǒng)兩部分組成。若乘客把物品輕放在傳送帶上之后，物品總會(huì)先、后經(jīng)歷兩個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)，傳送過程傳送帶速度不變。用v表示傳送帶速率，用μ表示物品與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)，則(　　)

圖3
A.前階段，物品可能向傳送方向的相反方向運(yùn)動(dòng)
B.后階段，物品受到摩擦力的方向跟傳送方向相同
C.v相同時(shí)，μ不同的等質(zhì)量物品與傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量相同
D.μ相同時(shí)，v增大為原來的2倍，前階段物品的位移也增大為原來的2倍
解析　前階段，物品的速度小于傳送帶的速度，相對(duì)傳送帶向后運(yùn)動(dòng)，受到與傳送方向相同的滑動(dòng)摩擦力作用，在這個(gè)滑動(dòng)摩擦力作用下向傳送方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物品的速度與傳送帶的速度相同時(shí)，兩者無相對(duì)運(yùn)動(dòng)或者相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢，摩擦力為零，A、B錯(cuò)誤；過程中物體的加速度為a＝μg，加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝＝，所以摩擦產(chǎn)生的熱量為Q＝μmg(vt－)＝μmgvt＝
μmgv·＝mv2，故v相同時(shí)，μ不同的等質(zhì)量物品與傳送帶摩擦產(chǎn)生的熱量相同，C正確；物品加速位移x＝＝，當(dāng)μ相同時(shí)，v增大為原來的2倍，前階段物品的位移增大為原來的4倍，D錯(cuò)誤。
答案　C
5.如圖4所示，在地面上豎直固定了刻度尺和輕質(zhì)彈簧，彈簧處于原長時(shí)上端與刻度尺上的A點(diǎn)等高，質(zhì)量m＝0.5 kg的籃球靜止在彈簧正上方，底端距A點(diǎn)的高度h1＝1.10 m，籃球靜止釋放測得第一次撞擊彈簧時(shí)，彈簧的最大形變量x1＝0.15 m，第一次反彈至最高點(diǎn)，籃球底端距A點(diǎn)的高度h2＝0.873 m，籃球多次反彈后靜止在彈簧的上端，此時(shí)彈簧的形變量x2＝0.01 m，彈性勢能為Ep＝0.025 J。若籃球運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的空氣阻力大小恒定，忽略籃球與彈簧碰撞時(shí)的能量損失和籃球的形變，彈簧形變?cè)趶椥韵薅确秶鷥?nèi)(重力加速度g取10 m/s2)。求：

圖4
(1)彈簧的勁度系數(shù)；
(2)籃球在運(yùn)動(dòng)過程中受到的空氣阻力；
(3)籃球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中通過的路程；
(4)籃球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中速度最大的位置。
解析　(1)籃球靜止在彈簧上時(shí)，
有mg－kx2＝0，解得k＝500 N/m。
(2)籃球從開始運(yùn)動(dòng)到第一次上升到最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
mg(h1－h(huán)2)－f(h1＋h2＋2x1)＝0
代入數(shù)值解得f＝0.5 N。
(3)設(shè)籃球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中總路程s，由能量守恒定律得
mg(h1＋x2)＝fs＋Ep
代入數(shù)值解得s＝11.05 m。
(4)球在首次下落過程中，合力為零處速度最大
速度最大時(shí)彈簧形變量為x3
mg－f－kx3＝0
在A點(diǎn)下方，離A點(diǎn)x3＝0.009 m。
答案　(1)500 N/m　(2)0.5 N　(3)11.05 m
(4)第一次下落至A點(diǎn)下方0.009 m處速度最大
6.(2019·樂山模擬)如圖5甲所示，在傾角為37°足夠長的粗糙斜面底端，一質(zhì)量m＝1 kg的滑塊壓縮著一輕彈簧且鎖定，兩者不拴接，滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)。t＝0時(shí)解除鎖定，計(jì)算機(jī)通過傳感器描繪出滑塊的v－t圖象如圖乙所示，其中Oab段為曲線，bc段為直線，在t1＝0.1 s時(shí)滑塊已上滑x＝0.2 m的距離(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：

圖5
(1)滑塊離開彈簧后在圖中bc段對(duì)應(yīng)的加速度大小a及動(dòng)摩擦因數(shù)μ的大?。?br /> (2)t2＝0.3 s和t3＝0.4 s時(shí)滑塊的速度v1、v2的大小；
(3)彈簧鎖定時(shí)具有的彈性勢能Ep。
解析　(1)由題圖乙知滑塊在bc段做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為
a＝||＝10 m/s2
根據(jù)牛頓第二定律得mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma
解得μ＝0.5。
(2)根據(jù)速度—時(shí)間公式得t2＝0.3 s時(shí)的速度大小
v1＝vc－aΔt，解得v1＝0
在t2之后滑塊開始下滑，下滑時(shí)由牛頓第二定律得
mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma′
解得a′＝2 m/s2
從t2到t3做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，t3時(shí)刻的速度為
v2＝a′Δt＝0.2 m/s。
(3)從0到t1時(shí)間內(nèi)，由能量守恒定律得
Ep＝mgxsin 37°＋μmgxcos 37°＋mv
解得Ep＝4 J。
答案　(1)10 m/s2　0.5　(2)0　0.2 m/s　(3)4 J
綜合提能練
7.(2019·四川成都模擬)如圖6甲所示，傾角θ＝30°的足夠長固定光滑斜面上，用平行于斜面的輕彈簧拉著質(zhì)量m＝1 kg的物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)。已知物體在t＝
1 s到t＝3 s這段時(shí)間的v－t圖象如圖乙所示，彈簧的勁度系數(shù)k＝200 N/m，重力加速度g取10 m/s2。則在該段時(shí)間內(nèi)(　　)

圖6
A.物體的加速度大小為2 m/s2
B.彈簧的伸長量為3 cm
C.彈簧的彈力做功為30 J
D.物體的重力勢能增加36 J
解析　根據(jù)速度圖象的斜率表示加速度可知，物體的加速度大小為a＝＝
1 m/s2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)斜面上的物體受力分析，受到豎直向下的重力mg、斜面的支持力和輕彈簧的彈力F，由牛頓第二定律，F(xiàn)－mgsin 30°＝ma，解得F＝6 N。由胡克定律F＝kx可得彈簧的伸長量x＝3 cm，選項(xiàng)B正確；在t＝1 s到t＝3 s這段時(shí)間內(nèi)，物體動(dòng)能增大ΔEk＝mv－mv＝6 J，根據(jù)速度—時(shí)間圖象面積等于位移，可知物體向上運(yùn)動(dòng)位移x′＝6 m，物體重力勢能增加ΔEp＝mgx′sin 30°＝30 J；根據(jù)功能關(guān)系可知，彈簧彈力做功W＝ΔEk＋ΔEp＝36 J，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。
答案　B
8.(2018·全國Ⅰ卷，18)如圖7，abc是豎直面內(nèi)的光滑固定軌道，ab水平，長度為2R；bc是半徑為R的四分之一圓弧，與ab相切于b點(diǎn)。一質(zhì)量為m的小球，始終受到與重力大小相等的水平外力的作用，自a點(diǎn)處從靜止開始向右運(yùn)動(dòng)。重力加速度大小為g。小球從a點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到其軌跡最高點(diǎn)，機(jī)械能的增量為(　　)

圖7
A.2mgR B.4mgR
C.5mgR D.6mgR
解析　設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的速度大小為vc，則對(duì)小球由a到c的過程， 由動(dòng)能定理有F·3R－mgR＝mv，又F＝mg，解得vc＝2。小球離開c點(diǎn)后，在水平方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向在重力作用下做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可知，小球離開c點(diǎn)后水平方向和豎直方向的加速度大小均為g，則由豎直方向的運(yùn)動(dòng)可知，小球從離開c點(diǎn)到其軌跡最高點(diǎn)所需的時(shí)間為t＝＝2，在水平方向的位移大小為x＝gt2＝2R。由以上分析可知，小球從a點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到其軌跡最高點(diǎn)的過程中，水平方向的位移大小為5R，則小球機(jī)械能的增加量為ΔE＝F·5R＝5mgR，C正確，A、B、D錯(cuò)誤。
答案　C
9.(2019·哈爾濱市模擬)如圖8所示，水平面右端放一質(zhì)量m＝0.1 kg的小物塊，給小物塊一v0＝4 m/s的初速度使其水平向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)位移d＝1 m后將彈簧壓至最短(在彈簧的彈性限度內(nèi))，反彈回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)物塊的速度大小v1＝2 m/s，若水平面右端與一長L＝3 m的水平傳送帶平滑連接，傳送帶以v2＝10 m/s的速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，傳送帶右端又與一豎直平面內(nèi)的光滑圓形軌道的底端平滑連接，圓軌道半徑R＝0.8 m，當(dāng)小物塊進(jìn)入圓軌道時(shí)會(huì)觸發(fā)閉合裝置將圓軌道封閉，忽略空氣阻力。(g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，sin 37°＝0.6)，求：

圖8
(1)小物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1；
(2)彈簧具有的最大彈性勢能Ep；
(3)要使小物塊進(jìn)入豎直圓軌道后不脫離圓軌道，傳送帶與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2應(yīng)滿足的條件。
解析　(1)小物塊在水平面上向左運(yùn)動(dòng)再返回的過程中，根據(jù)能量守恒定律可得
mv＝mv＋μ1mg·2d
代入數(shù)據(jù)解得μ1＝0.3。
(2)小物塊從出發(fā)到運(yùn)動(dòng)到將彈簧壓縮至最短時(shí)，彈簧具有最大的彈性勢能，此過程中由能量守恒定律可得
Ep＋μ1mgd＝mv
代入數(shù)據(jù)解得Ep＝0.5 J。
(3)該問題分兩種情況討論：①設(shè)物塊在圓軌道最低點(diǎn)時(shí)速度為v3，恰好到達(dá)圓心右側(cè)等高點(diǎn)時(shí)速度為0
根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得mgR＝mv，
解得v3＝4 m/s＜v2＝10 m/s
說明物塊在傳送帶上一直做勻加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可得μ2mgL＝mv－mv，
解得μ2＝0.2，即要使物塊不脫離圓軌道，進(jìn)入軌道時(shí)物塊速度應(yīng)為v≤v3，故μ2≤0.2。
②設(shè)物塊在圓軌道最低點(diǎn)速度為v4時(shí)，恰好能到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)，在圓軌道最高點(diǎn)有mg＝m
物塊從圓軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律可得
2mgR＋mv＝mv
代入數(shù)據(jù)解得v4＝2 m/s＜v2＝10 m/s，說明物塊在傳送帶上一直做勻加速運(yùn)動(dòng)
由動(dòng)能定理可得μ2mgL＝mv－mv，
解得μ2＝0.6，
即要使物塊不脫離圓軌道，進(jìn)入軌道時(shí)物塊速度應(yīng)為
v＞v4，故μ2≥0.6
綜上所述傳送帶與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2應(yīng)滿足的條件是μ2≤0.2或μ2≥0.6。
答案　(1)0.3　(2)0.5 J　(3)μ2≤0.2或μ2≥0.6

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