[最新考綱]　通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法．


1．基本不等式
定理1：設a，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．
定理2：如果a，b為正數(shù)，則≥，當且僅當a＝b時，等號成立．
定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則≥，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．
定理4：(一般形式的算術—幾何平均不等式)如果a1，a2，…，an為n個正數(shù)，則≥，當且僅當a1＝a2＝…＝an時，等號成立．
2．柯西不等式
(1)柯西不等式的代數(shù)形式：設a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(當且僅當ad＝bc時，等號成立)．
(2)柯西不等式的向量形式：設α，β是兩個向量，則|α||β|≥|α·β|，當且僅當α或β是零向量，或存在實數(shù)k，使α＝kβ(α，β為非零向量)時，等號成立．
(3)柯西不等式的三角不等式：設x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，
則＋≥.
(4)柯西不等式的一般形式：設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當且僅當bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一個數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時，等號成立．
3．不等式的證明方法
(1)比較法
①作差法(a，b∈R)：a－b>0?a>b；a－b0)：>1?a>b；0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，
從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.]
3．已知a，b，c是正實數(shù)，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最小值為________．
9　[∵a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝3＋＋(＋)＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋6＝9，當且僅當a＝b＝c時等號成立．]
4．設a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則的最小值為________．
　[根據(jù)柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，即m2＋n2≥5，所以的最小值為.]

考點1　用綜合法與分析法證明不等式
　用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法．綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關系，可以開闊解題思路，開闊視野．
　1.已知x，y均為正數(shù)，且x>y，求證：2x＋≥2y＋3；
[證明]　因為x>0，y>0，x－y>0，
2x＋－2y＝2(x－y)＋
＝(x－y)＋(x－y)＋
≥3＝3(當且僅當x－y＝1時，等號成立)，所以2x＋≥2y＋3.
2．設a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求證：a＋b＋c≥.
[證明]　因為a，b，c>0，所以要證a＋b＋c≥，
只需證明(a＋b＋c)2≥3.
即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需證明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，
即證a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而ab＋bc＋ca≤＋＋
＝a2＋b2＋c2(當且僅當a＝b＝c時等號成立)成立，
所以原不等式成立．
3．(2019·全國卷Ⅰ)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1.證明：
(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
[解]　(1)因為a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.
所以＋＋≤a2＋b2＋c2.
(2)因為a，b，c為正數(shù)且abc＝1，故有
(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3
＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)
≥3×(2)×(2)×(2)
＝24.
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
　(1)利用綜合法證明不等式時，常用的不等式有：①a2≥0；②|a|≥0；③a2＋b2≥2ab，它的變形形式又有(a＋b)2≥4ab，≥()2等；④≥(a>0，b>0)，它的變形形式又有a＋≥2(a>0)，＋≥2(ab>0)，＋≤－2(ab0，b>0，a3＋b3＝2.證明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
[證明]　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋(a＋b)＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
考點2　放縮法證明不等式
　(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的證明技巧，常見的放縮方法有：
①變換分式的分子和分母，如，，上面不等式中k∈N＋，k>1；
②利用函數(shù)的單調(diào)性；
③利用結(jié)論，如“若0

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