[最新考綱]　1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)概率.4.了解幾何概型的意義．


1．基本事件的特點(diǎn)
(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型的特點(diǎn)

3．古典概型的概率計(jì)算公式：
P(A)＝.
4．幾何概型的定義
如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型．
5．幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)

6．幾何概型的概率公式
P(A)＝.

一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率．(　　)
(2)從區(qū)間[1，10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是.(　　)
(3)概率為0的事件一定是不可能事件．(　　)
(4) 從市場(chǎng)上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5 g的袋裝食鹽中任取一袋測(cè)其重量，屬于古典概型．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
二、教材改編
1．一枚硬幣連擲2次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
D　[一枚硬幣連擲2次可能出現(xiàn)(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四種情況，只有一次出現(xiàn)正面的情況有兩種，故P＝＝.]
2．某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車時(shí)間不超過2分鐘的概率是(　　)
A. B. C. D.
C　[試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為5，所求事件的區(qū)域長(zhǎng)度為2，故所求概率為P＝.]
3．袋中裝有6個(gè)白球，5個(gè)黃球，4個(gè)紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為(　　)
A. B. C. D.
A　[從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P＝＝.]
4．同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為________．
　[擲兩個(gè)骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)共6×6＝36(種)可能的結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果共有6種，所以點(diǎn)數(shù)不相同的概率P＝1－＝.]


考點(diǎn)1　簡(jiǎn)單的古典概型
　計(jì)算古典概型事件的概率可分3步
(1)計(jì)算基本事件總個(gè)數(shù)n；
(2)計(jì)算事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m；
(3)代入公式求出概率P.
提醒：解題時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇列舉法、列表法或樹形圖法．
　(1)甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個(gè)，被乙、丙、丁三人搶完．若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“手氣最佳”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
(2)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　)
A. B. C. D.
(3)(2019·全國(guó)卷Ⅰ)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“－－”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是(　　)
A. B. C. D.
(1)D　(2)D　(3)A　[(1)用(x，y，z)表示乙、丙、丁搶到的紅包分別為x元、y元、z元．
乙、丙、丁三人搶完6元錢的所有不同的可能結(jié)果有10種，分別為(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2)．
乙獲得“手氣最佳”的所有不同的可能結(jié)果有4種，分別為(4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2)．
根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，得乙獲得“手氣最佳”的概率P＝＝.
(2)從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：

基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，
∴所求概率P＝＝.故選D.
(3)由6個(gè)爻組成的重卦種數(shù)為26＝64，在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰有3個(gè)陽爻的種數(shù)為C＝＝20.根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得，所求概率P＝＝.故選A.]
　古典概型中基本事件個(gè)數(shù)的探求方法
(1)枚舉法：適合于給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問題．
(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題，注意在確定基本事件時(shí)(x，y)可看成是有序的，如(1，2)與(2，1)不同，有時(shí)也可看成是無序的，如(1，2)與(2，1)相同．
(3)排列組合法：在求一些較復(fù)雜的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列或組合的知識(shí)．
[教師備選例題]
1．設(shè)平面向量a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，記“a⊥(a－b)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為(　　)
A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.
A　[有序數(shù)對(duì)(m，n)的所有可能結(jié)果為：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16個(gè)．由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1，2，3，4}，故事件A包含的基本事件為(2，1)和(3，4)，共2個(gè)，所以所求的概率P(A)＝＝.]
2．用1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，若用a1，a2，a3，a4，a5分別表示五位數(shù)的萬位、千位、百位、十位、個(gè)位，則出現(xiàn)a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位數(shù)的概率為________．
　[1，2，3，4，5可組成A＝120個(gè)不同的五位數(shù)，其中滿足題目條件的五位數(shù)中，最大的5必須排在中間，左、右各兩個(gè)數(shù)字只要選出，則排列位置就隨之而定，滿足條件的五位數(shù)有CC＝6個(gè)，故出現(xiàn)a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位數(shù)的概率為＝.]
　1.(2019·武漢模擬)將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球，那么甲盒中恰好有3個(gè)小球的概率為(　　)
A. B. C. D.
C　[將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球有C種放法，甲盒中恰好有3個(gè)小球有C種放法，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率為＝.故選C.]
2．已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，則函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是(　　)
A. B. C. D.
A　[∵a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，
∴基本事件總數(shù)n＝3×4＝12.
函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，
①當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2bx，符合條件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；
②當(dāng)a≠0時(shí)，需要滿足≤1，符合條件的有(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)，共4種．
∴函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是P＝.]
考點(diǎn)2　古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合
　求解古典概型的交匯問題，關(guān)鍵是把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，然后利用古典概型的有關(guān)知識(shí)解決，其解題流程為：

　(2019·天津高考)2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況．
(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪．
員工
項(xiàng)目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
繼續(xù)教育
×
×
○
×
○
○
大病醫(yī)療
×
×
×
○
×
×
住房貸款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
贍養(yǎng)老人
○
○
×
×
×
○
(ⅰ)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；
(ⅱ)設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率．
[解]　(1)由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，
由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人．
(2)(ⅰ)從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種．
(ⅱ)由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為
{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種．
所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝.
　有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)的結(jié)合題，無論是直接描述還是利用概率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵．
[教師備選例題]
某縣共有90個(gè)農(nóng)村淘寶服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，隨機(jī)抽取6個(gè)網(wǎng)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)其元旦期間的網(wǎng)購金額(單位：萬元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)．

(1)根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；
(2)若網(wǎng)購金額(單位：萬元)不小于18的服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)定義為優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，其余為非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，根據(jù)莖葉圖推斷這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(3)從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中再任取2個(gè)作網(wǎng)購商品的調(diào)查，求恰有1個(gè)網(wǎng)點(diǎn)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的概率．
[解]　(1)由題意知，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)
x＝＝12.
(2)樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè)，概率為＝，由此估計(jì)這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有90×＝30(個(gè))．
(3)樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè)，分別記為a1，a2，非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有4個(gè)，分別記為b1，b2，b3，b4，從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中再任取2個(gè)的可能情況有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15種，
記“恰有1個(gè)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)”為事件M，則事件M包含的可能情況有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8種，
故所求概率P(M)＝.
　移動(dòng)公司擬在國(guó)慶期間推出4G套餐，對(duì)國(guó)慶節(jié)當(dāng)日辦理套餐的客戶進(jìn)行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐3的客戶可獲得優(yōu)惠300元．國(guó)慶節(jié)當(dāng)天參與活動(dòng)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率．
(1)求從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元的概率；
(2)若采用分層抽樣的方式從參加活動(dòng)的客戶中選出6人，再從該6人中隨機(jī)選出2人，求這2人獲得相等優(yōu)惠金額的概率．

[解]　(1)設(shè)事件A為“從中任選1 人獲得優(yōu)惠金額不低于300元”，則P(A)＝＝.
(2)設(shè)事件B為“從這6人中選出2人，他們獲得相等優(yōu)惠金額”，由題意按分層抽樣方式選出的6人中，獲得優(yōu)惠200元的有1人，獲得優(yōu)惠500元的有3人，獲得優(yōu)惠300元的有2人，分別記為a1，b1，b2，b3，c1，c2，從中選出2人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15個(gè)．
其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4個(gè)．則P(B)＝.
故這2人獲得相等優(yōu)惠金額的概率為.
考點(diǎn)3　幾何概型
　與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型
　求與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度(角度)，然后求解．要特別注意“長(zhǎng)度型”與“角度型”的不同，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長(zhǎng)度或角度)．
　在等腰Rt△ABC中，直角頂點(diǎn)為C.
(1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求|AM|

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