考點1　直線與橢圓的位置關(guān)系
　研究直線與橢圓位置關(guān)系的方法
直線與橢圓位置關(guān)系的判定方法，直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y(或x)后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程時，設(shè)其判別式為Δ，
①Δ＞0?直線與橢圓相交．
②Δ＝0?直線與橢圓相切．
③Δ＜0?直線與橢圓相離．
　1.若直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1總有公共點，則m的取值范圍是(　　)
A．m＞1　　 B．m＞0
C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5
D　[∵直線y＝kx＋1恒過定點(0，1)，
∴要使直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1總有公共點，
只需＋≤1，即m≥1，又m≠5，故m的取值范圍為m≥1且m≠5，故選D.]
2．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當m取何值時，直線l與橢圓C：
(1)有兩個不重合的公共點；
(2)有且只有一個公共點；
(3)沒有公共點．
[解]　將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組
將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)當Δ＞0，即－3＜m＜3時，方程③有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解．這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點．
(2)當Δ＝0，即m＝±3時，方程③有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解．這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點．
(3)當Δ＜0，即m＜－3或m＞3時，方程③沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解．這時直線l與橢圓C沒有公共點．
　(1)研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù)； (2)對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點．
考點2　弦長及中點弦問題
　中點弦問題
　處理中點弦問題常用的求解方法

　(1)過橢圓＋＝1內(nèi)一點P(3，1)，且被點P平分的弦所在直線的方程是(　　)
A．4x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0
(2)[一題多解](2019·惠州模擬)若橢圓的中心在原點，一個焦點為(0，2)，直線y＝3x＋7與橢圓相交所得弦的中點的縱坐標為1，則這個橢圓的方程為________．
(1)B　(2)＋＝1　[(1)設(shè)所求直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，
由題意得
①－②得＋＝0，
又P(3，1)是AB的中點．
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴kAB＝＝－.
故直線AB的方程為y－1＝－(x－3)，
即3x＋4y－13＝0，故選B.
(2)法一：(直接法)∵橢圓的中心在原點，一個焦點為(0，2)，∴設(shè)橢圓方程為＋＝1(b>0)，由 消去x，
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
設(shè)直線y＝3x＋7與橢圓相交所得弦的端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由題意知＝1，
∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8.
∴所求橢圓方程為＋＝1.
法二：(點差法)∵橢圓的中心在原點，一個焦點為(0，2)，∴設(shè)橢圓的方程為＋＝1(b>0)．
設(shè)直線y＝3x＋7與橢圓相交所得弦的端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
①－②得
＋＝0，
即·＝－，
又∵弦AB的中點的縱坐標為1，故橫坐標為－2，
k＝＝3，代入上式得3×＝－，解得b2＝8，故所求的橢圓方程為＋＝1.]
　“點差法”的優(yōu)點是設(shè)出弦的兩端點坐標后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率．
提醒：與橢圓中點弦有關(guān)的問題應用橢圓中點弦的斜率公式kAB·kOM＝－，即kAB＝－比較方便快捷，其中點M的坐標為(x0，y0)．
[教師備選例題]
已知橢圓＋y2＝1.
(1)若過A(2，1)的直線l與橢圓相交，求l被截得的弦的中點軌跡方程；
(2)求過點P且被P點平分的弦所在直線的方程．
[解]　(1)設(shè)弦的端點為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中點為M(x，y)，則x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于點P，Q在橢圓上，則有：

①－②得＝－＝－，
所以－＝，
化簡得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在橢圓＋y2＝1內(nèi)部的部分)．
(2)由(1)可得弦所在直線的斜率為k＝－＝－，
因此所求直線方程是y－＝－，
化簡得2x＋4y－3＝0.
　1.(2019·江西五市聯(lián)考)已知直線y＝1－x與雙曲線ax2＋by2＝1(a>0，b0得－0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2

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