[最新考綱]　1.了解函數(shù)在某點取得的極值的必要條件和充分條件.2.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)．


1．函數(shù)的極值
函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．
函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．
極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．
2．函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．

1．若函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值點只有一個，則相應(yīng)極值點為函數(shù)的最值點．
2．若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]的最值點不是端點，則最值點亦為極值點．

一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)的極大值不一定比極小值大． (　　)
(2)對可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是x0點為極值點的充要條件．
(　　)
(3)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值． (　　)
(4)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、教材改編
1.函數(shù)f(x)的定義域為R，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)(　　)

A．無極大值點、有四個極小值點
B．有三個極大值點、一個極小值點
C．有兩個極大值點、兩個極小值點
D．有四個極大值點、無極小值點
C　[設(shè)f′(x)的圖象與x軸的4個交點從左至右依次為x1，x2，x3，x4.
當x＜x1時，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)，
當x1＜x＜x2時，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)，則x＝x1為極大值點，同理，x＝x3為極大值點，x＝x2，x＝x4為極小值點，故選C.]
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝＋ln x，則(　　)
A．x＝為f(x)的極大值點
B．x＝為f(x)的極小值點
C．x＝2為f(x)的極大值點
D．x＝2為f(x)的極小值點
D　[f′(x)＝－＋＝(x＞0)，
當0＜x＜2時，f′(x)＜0，當x＞2時，f′(x)＞0，
所以x＝2為f(x)的極小值點．]
3．函數(shù)y＝xex的最小值是 ．
－　[因為y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.當x＞－1時，y′＞0；當x＜－1時，y′＜0，所以當x＝－1時函數(shù)取得最小值，且ymin＝－.]
4．函數(shù)f(x)＝x－aln x(a＞0)的極小值為 ．
a－aln a　[因為f(x)＝x－aln x(a＞0)，所以f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－(a＞0)，
由f′(x)＝0，解得x＝a.
當x∈(0，a)時，f′(x)＜0；
當x∈(a，＋∞)時，f′(x)＞0，
所以函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a．]

考點1　利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題
　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程

　根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值的情況
　設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是(　　)

A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)
B．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)
C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)
D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)
D　[由題圖可知，當x＜－2時，f′(x)＞0；當－2＜x＜1時，f′(x)＜0；當1＜x＜2時，f′(x)＜0；當x＞2時，f′(x)＞0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值．]
　可導(dǎo)函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)一定為零，是否為極值點以及是極大值點還是極小值點要看在極值點左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號．
　求已知函數(shù)的極值
　已知函數(shù)f(x)＝(x－2)(ex－ax)，當a＞0時，討論f(x)的極值情況．
[解]　∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)
＝(x－1)(ex－2a)，
∵a＞0，
由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln 2a.
①當a＝時，f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0，
∴f(x)在R上單調(diào)遞增，故f(x)無極值．
②當0＜a＜時，ln 2a＜1，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，ln 2a)
ln 2a
(ln 2a,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
故f(x)有極大值f(ln 2a)＝－a(ln 2a－2)2，極小值f(1)＝a－e.
③當a＞時，ln 2a＞1，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，1)
1
(1，ln 2a)
ln 2a
(ln 2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
故f(x)有極大值f(1)＝a－e，
極小值f(ln 2a)＝－a(ln 2a－2)2.
綜上，當0＜a＜時，f(x)有極大值－a(ln 2a－2)2，極小值a－e；
當a＝時，f(x)無極值；
當a＞時，f(x)有極大值a－e，極小值－a(ln 2a－2)2.
　求函數(shù)極值的一般步驟：①先求函數(shù)f(x)的定義域，再求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)；②求f′(x)＝0的根；③判斷在f′(x)＝0的根的左、右兩側(cè)f′(x)的符號，確定極值點；④求出具體極值．
　已知函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍
　(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時有極值0，則a－b＝ .
(2)若函數(shù)f(x)＝－x2＋x＋1在區(qū)間上有極值點，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
(1)－7　(2)　[(1)由題意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，則
解得或
經(jīng)檢驗當a＝1，b＝3時，函數(shù)f(x)在x＝－1處無法取得極值，
而a＝2，b＝9滿足題意，
故a－b＝－7.
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間上有極值點等價于f′(x)＝0有2個不相等的實根且在內(nèi)有根，由f′(x)＝0有2個不相等的實根，得a＜－2或a＞2.
由f′(x)＝0在內(nèi)有根，得a＝x＋在內(nèi)有解，又x＋∈2，，所以2≤a＜，
綜上，a的取值范圍是.]
　已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個要領(lǐng)
(1)列式：根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．
(2)驗證：因為某點處的導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性．
[教師備選例題]
若函數(shù)f(x)＝ex－aln x＋2ax－1在(0，＋∞)上恰有兩個極值點，則a的取值范圍為(　　)
A．(－e2，－e)　 B.
C. D．(－∞，－e)
D　[∵f′(x)＝ex－＋2a，(x＞0)
∴由f′(x)＝0得a＝.
令g(x)＝(x＞0)．
由題意可知g(x)＝a在(0，＋∞)上恰有兩個零點．
又g′(x)＝－(x＞0)，
由g′(x)＞0得0＜x＜1，且x≠.
由g′(x)＜0得x＞1.
∴函數(shù)g(x)在，上遞增，在(1，＋∞)上遞減．
又g(0)＝0，g(1)＝－e，
結(jié)合圖形(圖略)可知a∈(－∞，－e)，故選D.]
　1.若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點，則f(x)的極小值為(　　)
A．－1　　　　　　　　 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
A　[因為f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因為x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)＞0，解得x＜－2或x＞1，令f′(x)＜0，解得－2＜x＜1，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當x＝1時，f(x)取得極小值，且f(x)極小值＝f(1)＝－1.]
2．已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極小值，則實數(shù)c的值為(　　)
A．6 B．2
C．2或6 D．0
B　[由f′(2)＝0可得c＝2或6.當c＝2時，結(jié)合圖象(圖略)可知函數(shù)先增后減再增，在x＝2處取得極小值；當c＝6時，結(jié)合圖象(圖略)可知，函數(shù)在x＝2處取得極大值．故選B.]
3．(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測)若函數(shù)f(x)＝(x2＋ax＋3)ex在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－2)
C．(－∞，－3] D．(－∞，－3)
C　[f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋3)ex＝[x2＋(a＋2)x＋a＋3]ex，令g(x)＝x2＋(a＋2)x＋a＋3.由題意知，g(x)在(0，＋∞)內(nèi)先減后增或先增后減，結(jié)合函數(shù)g(x)的圖象特征知，或解得a≤－3.故選C.]
考點2　用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
　求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步驟
(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值．
(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)．
(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值．
　(2019·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由．
[解]　(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a＞0，則當x∈(－∞，0)∪時，f′(x)＞0；當x∈時，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，0)，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增．
若a＜0，則當x∈∪(0，＋∞)時，f′(x)＞0；當x∈時，f′(x)＜0.故f(x)在，(0，＋∞)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
(2)滿足題設(shè)條件的a，b存在．
(ⅰ)當a≤0時，由(1)知，f(x)在[0,1]單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為f(0)＝b，最大值為f(1)＝2－a＋b.此時a，b滿足題設(shè)條件當且僅當b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.
(ⅱ)當a≥3時，由(1)知，f(x)在[0,1]單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0,1]的最大值為f(0)＝b，最小值為f(1)＝2－a＋b.此時a，b滿足題設(shè)條件當且僅當2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.
(ⅲ)當0＜a＜3時，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值為f＝－＋b，最大值為b或2－a＋b.
若－＋b＝－1，b＝1，則a＝3，與0＜a＜3矛盾．
若－＋b＝－1,2－a＋b＝1，則a＝3或a＝－3或a＝0，與0＜a＜3矛盾．
綜上，當且僅當a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1時，f(x)在[0,1]的最小值為－1，最大值為1.
　(1)討論函數(shù)的單調(diào)性時，一要注意函數(shù)的定義域；二要注意分類的標準，做到不重不漏．
(2)對于探索性問題，求出參數(shù)值后要注意檢驗．
[教師備選例題]
已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當a＞0時，求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值．
[解]　(1)f′(x)＝－a(x＞0)，
①當a≤0時，f′(x)＝－a＞0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．
②當a＞0時，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
當0＜x＜時，f′(x)＝＞0；
當x＞時，f′(x)＝＜0，
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上可知，當a≤0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；
當a＞0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)①當0＜≤1，即a≥1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
②當≥2，即0＜a≤時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.
③當1＜＜2，即＜a＜1時，函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．
又f(2)－f(1)＝ln 2－a，
所以當＜a＜ln 2時，最小值是f(1)＝－a；
當ln 2≤a＜1時，最小值為f(2)＝ln 2－2a.
綜上可知，
當0＜a＜ln 2時，函數(shù)f(x)的最小值是f(1)＝－a；
當a≥ln 2時，函數(shù)f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
　(2019·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝＋kln x，k＜，求函數(shù)f(x)在上的最大值和最小值．
[解]　f′(x)＝＋＝.
①若k＝0，則f′(x)＝－在上恒有f′(x)＜0，
所以f(x)在上單調(diào)遞減．
②若k≠0，則f′(x)＝＝.
(ⅰ)若k＜0，則在上恒有＜0.
所以f(x)在上單調(diào)遞減，
(ⅱ)若k＞0，由k＜，
得＞e，則x－＜0在，e上恒成立，
所以＜0，
所以f(x)在上單調(diào)遞減．
綜上，當k＜時，f(x)在上單調(diào)遞減，
所以f(x)min＝f(e)＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1.
考點3　利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題
　利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟
(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)．
(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值．
(4)回歸實際問題，結(jié)合實際問題作答．
　某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
[解]　(1)因為當x＝5時，y＝11，
所以＋10＝11，解得a＝2.
(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為
y＝＋10(x－6)2.
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.
則f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
極大值42
↘
由上表可得，當x＝4時，函數(shù)f(x)取得極大值，也是最大值．
所以，當x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值且最大值等于42.
即當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
　(1)利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題的關(guān)鍵：理清數(shù)量關(guān)系、選取合適的自變量建立函數(shù)模型．
(2)注意：函數(shù)的定義域由實際問題確定，最后要把求解的數(shù)量結(jié)果“翻譯”為實際問題的答案．
　某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)．
(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域．
(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．
[解]　(1)因為蓄水池側(cè)面的總成本為100×2πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元．又根據(jù)題意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，從而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．由h＞0，且r＞0可得0＜r＜5，故函數(shù)V(r)的定義域為(0,5)．
(2)因為V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因為r2＝－5不在定義域內(nèi)，舍去)．
當r∈(0,5)時，V′(r)＞0，
故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；
當r∈(5,5)時，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)．
由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時h＝8，即當r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大．


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