2020版新一線高考理科數(shù)學(xué)（北師大版）一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案：第5章第3節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

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第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
[考綱傳真]　1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．

1．等比數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式為＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．
(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，＝，G2＝ab，G＝±，那么G叫作a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝aB．
2．等比數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1＝amqn－m.
(2)前n項(xiàng)和公式：
Sn＝

1．在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝a.
2．若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比數(shù)列．
3．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn，其中當(dāng)公比為－1時(shí)，n為偶數(shù)時(shí)除外．
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列． (　　)
(2)G為a，b的等比中項(xiàng)?G2＝a B． (　　)
(3)若{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(　　)
(4)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q＝(　　)
A．－　　　　B．－2　　　　C．2　　　　D．
D　[由通項(xiàng)公式及已知得a1q＝2①，a1q4＝②，
由②÷①得q3＝，
解得q＝.故選D．]
3．已知數(shù)列{an}滿足an＝an＋1，若a3＋a4＝2，則a4＋a5＝(　　)
A. B．1 C．4 D．8
C　[∵an＝an＋1，∴＝2.
∴a4＋a5＝2(a3＋a4)＝2×2＝4.故選C.]
4．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝(　　)
A. B．－ C. D．－
C　[∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，∴a3＝9a1，即公比q2＝9，又a5＝a1q4，∴a1＝＝＝.故選C.]
5．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝__________.
6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
又∵Sn＝126，∴＝126，
解得n＝6.]

等比數(shù)列的基本運(yùn)算

1．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，則公比q＝(　　)
A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6
B　[因?yàn)?S3＝a4－2,3S2＝a3－2，所以兩式相減，得3(S3－S2)＝(a4－2)－(a3－2)，即3a3＝a4－a3，得a4＝4a3，所以q＝＝4.]
2．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝，S3＝，則a2＝________.
－3或　[法一：∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
∴當(dāng)q＝1時(shí)，a1＝a2＝a3＝，顯然S3＝3a3＝.
當(dāng)q≠1時(shí)，由題意可知

解得q＝－或q＝1(舍去)．
∴a2＝＝×(－2)＝－3.
綜上可知a2＝－3或.
法二：由a3＝得a1＋a2＝3.
∴＋＝3，
即2q2－q－1＝0，
∴q＝－或q＝1.
∴a2＝＝－3或.]
3．(2019·濟(jì)寧模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且a1＋a3＝，a2＋a4＝，則＝________.
2n－1　[設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則
(a1＋a3)q＝(a2＋a4)，即q＝＝，
由a1＋a3＝a1(1＋q2)＝可知a1＝2.
∴an＝2·n－1＝.
Sn＝＝4.
∴＝＝2n－1.]
[規(guī)律方法]　1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)便可迎刃而解．
2．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝.
等比數(shù)列的判定與證明


【例1】　(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；
(3)求{an}的通項(xiàng)公式．
[解]　(1)由條件可得an＋1＝an.
將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
將n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
[規(guī)律方法]　(1)證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．
(2)利用遞推關(guān)系時(shí)要注意對(duì)n＝1時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證．
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，
(1)求證：{bn}是等比數(shù)列．
(2)求{an}的通項(xiàng)公式．
[解]　(1)因?yàn)閍n＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以＝
＝＝＝2.
因?yàn)镾2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
所以－＝，
故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
所以＝＋(n－1)·＝，
所以an＝(3n－1)·2n－2.
等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

【例2】　(1)等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，則a9＋a11＋a13＋a15的值為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
(2)(2019·?？谡{(diào)研)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若am·am＋2＝2am＋1(m∈N*)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，且T2m＋1＝128，則m的值為(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
(3)等比數(shù)列{an}滿足an＞0，且a2a8＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________.
(1)C　(2)A　(3)9　[(1)因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以a5＋a7是a1＋a3與a9＋a11的等比中項(xiàng)，
所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，
故a9＋a11＝＝＝2；
同理，a9＋a11是a5＋a7與a13＋a15的等比中項(xiàng)，
所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，
故a13＋a15＝＝＝1.
所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.
(2)因?yàn)閍m·am＋2＝2am＋1，所以a＝2am＋1，即am＋1＝2，即{an}為常數(shù)列．又T2m＋1＝(am＋1)2m＋1，由22m＋1＝128，
得m＝3，故選A.
(3)由題意可得a2a8＝a＝4，a5＞0，所以a5＝2，則原式＝log2(a1a2……a9)＝9log2a5＝9.]
[規(guī)律方法]　(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．
(2)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形；二是等比中項(xiàng)的變形；三是前n項(xiàng)和公式的變形．根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口．
(1)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝－1，前n項(xiàng)和為Sn，若＝，則公比q＝________.
(2)(2019·石家莊模擬)在等比數(shù)列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，則＋＋＋＝________.
(1)－　(2)－　[(1)由＝，a1＝－1知公比q≠1，＝－.
由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5＝－，所以q＝－.
(2)因?yàn)椋?，＋＝?br /> 由等比數(shù)列的性質(zhì)知a7a10＝a8a9，
所以＋＋＋＝
＝÷＝－.]

1．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(　　)
A．1盞　　　　　　 B．3盞
C．5盞 D．9盞
B　[設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.
故選B．]
2．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝(　　)
A．21 B．42
C．63 D．84
B　[∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.
∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．
∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故選B．]
3．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，則a4＝________.
－8　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，
∴a1(1＋q)＝－1，①
a1(1－q2)＝－3.②
②÷①，得1－q＝3，∴q＝－2.
∴a1＝1，
∴a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.]
4．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為_(kāi)_______．
64　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.
故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n·
＝23n－＋＝2－＋n.
記t＝－＋＝－(n2－7n)，
結(jié)合n∈N*可知n＝3或4時(shí)，t有最大值6.
又y＝2t為增函數(shù)，從而a1a2…an的最大值為26＝64.]
5．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m.
[解]　(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒(méi)有正整數(shù)解．
若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
綜上，m＝6.