2020版高考數(shù)學(xué)（理）新增分大一輪人教通用版講義：第八章　立體幾何與空間向量8.7

?§8.7　立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直
最新考綱
考情考向分析
1.理解直線的方向向量及平面的法向量.
2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.
3.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.
利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系是近幾年高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，涉及直線的方向向量，平面的法向量及空間直線、平面之間位置關(guān)系的向量表示等內(nèi)容.以解答題為主，主要考查空間直角坐標(biāo)系的建立及空間向量坐標(biāo)的運(yùn)算能力及應(yīng)用能力，有時(shí)也以探索論證題的形式出現(xiàn).



1.用向量表示直線或點(diǎn)在直線上的位置
(1)給定一個(gè)定點(diǎn)A和一個(gè)向量a，再任給一個(gè)實(shí)數(shù)t，以A為起點(diǎn)作向量＝ta，則此向量方程叫做直線l以t為參數(shù)的參數(shù)方程.向量a稱為該直線的方向向量.
(2)對空間任一確定的點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)t，滿足等式＝(1－t)＋t，叫做空間直線的向量參數(shù)方程.
2.用向量證明空間中的平行關(guān)系
(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.
(2)設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.
(4)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1 ∥u2.
3.用向量證明空間中的垂直關(guān)系
(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.
(2)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.
(3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.
概念方法微思考
1.直線的方向向量如何確定？
提示　l是空間一直線，A，B是l上任意兩點(diǎn)，則及與平行的非零向量均為直線l的方向向量.
2.如何確定平面的法向量？
提示　設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為

題組一　思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)直線的方向向量是唯一確定的.(　×　)
(2)平面的單位法向量是唯一確定的.(　×　)
(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.(　√　)
(4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.(　√　)
(5)若a∥b，則a所在直線與b所在直線平行.(　×　)
(6)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行.(　×　)
題組二　教材改編
2.設(shè)u，v分別是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，當(dāng)v＝(3，－2,2)時(shí)，α與β的位置關(guān)系為__________；當(dāng)v＝(4，－4，－10)時(shí)，α與β的位置關(guān)系為________.
答案　α⊥β　α∥β
解析　當(dāng)v＝(3，－2,2)時(shí)，
u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0?α⊥β.
當(dāng)v＝(4，－4，－10)時(shí)，v＝－2u?α∥β.
3.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是________.

答案　垂直
解析　以A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

設(shè)正方體的棱長為1，
則A(0,0,0)，M，
O，N，
·＝·＝0，
∴ON與AM垂直.
題組三　易錯(cuò)自糾
4.直線l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，則有(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l與α斜交 D.l?α或l∥α
答案　B
解析　由a＝－n知，n∥a，則有l(wèi)⊥α，故選B.
5.已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2,3,5)，n2＝(－3，1，－4)，則(　　)
A.α∥β B.α⊥β
C.α，β相交但不垂直 D.以上均不對
答案　C
解析　∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β既不平行，也不垂直.
6.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是(　　)
A.(－1,1,1) B.(1，－1,1)
C. D.
答案　C
解析　設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，
則化簡得∴x＝y(tǒng)＝z.故選C.

題型一　利用空間向量證明平行問題
例1　如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn).求證：PB∥平面EFG.

證明　∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，

∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，
D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，
F(0,1,1)，G(1，2,0).
∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，
設(shè)＝s＋t，
即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
∴解得s＝t＝2，∴＝2＋2，
又∵與不共線，∴，與共面.
∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG.
引申探究
若本例中條件不變，證明平面EFG∥平面PBC.
證明　∵＝(0,1,0)，＝(0,2,0)，
∴＝2，∴BC∥EF.
又∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴EF∥平面PBC，
同理可證GF∥PC，從而得出GF∥平面PBC.
又EF∩GF＝F，EF，GF?平面EFG，
∴平面EFG∥平面PBC.
思維升華　利用空間向量證明平行的方法
線線平行
證明兩直線的方向向量共線
線面
平行
①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；
②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行
面面
平行
①證明兩平面的法向量為共線向量；
②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題

跟蹤訓(xùn)練1　如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA＝AC＝4，AB＝2.

求證：MN∥平面BDE.
證明　如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0，0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，

M(0,0,1)，N(1,2,0).
＝(0,2,0)，＝(2,0，－2).
設(shè)n＝(x，y，z)為平面BDE的一個(gè)法向量，
則即不妨設(shè)z＝1，
可得n＝(1,0,1).又＝(1,2，－1)，可得·n＝0.
因?yàn)镸N?平面BDE，所以MN∥平面BDE.

題型二　利用空間向量證明垂直問題

命題點(diǎn)1　證明線面垂直
例2　如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.

證明　方法一　設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使m＝λ＋μ.
令＝a，＝b，＝c，顯然它們不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它們?yōu)榭臻g的一個(gè)基底，
則＝a＋c，＝a＋b，＝a－c，
m＝λ＋μ＝a＋μb＋λc，
·m＝(a－c)·
＝4－2μ－4λ＝0.故⊥m，結(jié)論得證.
方法二　取BC的中點(diǎn)O，連接AO.
因?yàn)椤鰽BC為正三角形，
所以AO⊥BC.
因?yàn)樵谡庵鵄BC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，
所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OO1，OA所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，
A(0,0，)，B1(1,2,0).
設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0).
因?yàn)閚⊥，n⊥，
故即
令x＝1，則y＝2，z＝－，
故n＝(1,2，－)為平面A1BD的一個(gè)法向量，
而＝(1,2，－)，所以＝n，所以∥n，
故AB1⊥平面A1BD.
命題點(diǎn)2　證明面面垂直
例3　如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB.

求證：平面BCE⊥平面CDE.
證明　設(shè)AD＝DE＝2AB＝2a，
以A為原點(diǎn)，分別以AC，AB所在直線為x軸，z軸，以過點(diǎn)A垂直于AC的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，

則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，
E(a，a,2a).
所以＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a).
設(shè)平面BCE的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
由n1·＝0，n1·＝0可得

即
令z1＝2，可得n1＝(1，－，2).
設(shè)平面CDE的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，
由n2·＝0，n2·＝0可得

即
令y2＝1，可得n2＝(，1,0).
因?yàn)閚1·n2＝1×＋1×(－)＋2×0＝0.
所以n1⊥n2，
所以平面BCE⊥平面CDE.
思維升華　利用空間向量證明垂直的方法
線線
垂直
證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零
線面
垂直
證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示
面面
垂直
證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?br />
跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明：

(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
證明　(1)取BC的中點(diǎn)O，連接PO，
∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC為等邊三角形，
平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO?平面PBC，
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

不妨設(shè)CD＝1，則AB＝BC＝2，PO＝，
∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)，
∴＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－).
∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，
∴⊥，
∴PA⊥BD.
(2)取PA的中點(diǎn)M，連接DM，則M.
∵＝，＝(1,0，－)，
∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PB.
∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PA.
又∵PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，
∴DM⊥平面PAB.
∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
題型三　利用空間向量解決探索性問題
例4　(2019·錦州模擬)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn).

(1)求證：EF⊥CD；
(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.
(1)證明　如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AD＝a，則D(0,0,0)，
A(a,0,0)，B(a，a,0)，
C(0，a,0)，E，
P(0,0，a)，F(xiàn).
＝，＝(0，a,0).
∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.
(2)解　設(shè)G(x,0，z)，則＝，
若使GF⊥平面PCB，則需·＝0，且·＝0，
由·＝·(a,0,0)
＝a＝0，得x＝；
由·＝·(0，－a，a)
＝＋a＝0，得z＝0.
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為，即G為AD的中點(diǎn).
思維升華　對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；另一種是利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo)，即找到“存在點(diǎn)”，若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”.
跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E為PD上一點(diǎn)，PE＝2ED.

(1)求證：PA⊥平面ABCD；
(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，請說明理由.
(1)證明　∵PA＝AD＝1，PD＝，
∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD.
又PA⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD.
(2)解　以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，E，＝(1,1,0)，＝.
設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，
則　即
令y＝1，則n＝(－1,1，－2).
假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)F，且＝λ(0≤λ≤1)，
使得BF∥平面AEC，則·n＝0.
又∵＝＋＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)
＝(－λ，1－λ，λ)，
∴·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝，
∴存在點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC，且F為PC的中點(diǎn).


1.若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,1,1)，則(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l?α或l∥α D.l與α斜交
答案　C
解析　∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,1,1)，
∴a·n＝0，即a⊥n，
∴l(xiāng)∥α或l?α.
2.若a＝(2,3，m)，b＝(2n,6,8)，且a，b為共線向量，則m＋n的值為(　　)
A.7 B. C.6 D.8
答案　C
解析　由a，b為共線向量，知n≠0且＝＝，
解得m＝4，n＝2，則m＋n＝6.故選C.
3.已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)M(1，－1,2)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(6，－3,6)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是(　　)
A.P(2,3,3) B.P(－2,0,1)
C.P(－4,4,0) D.P(3，－3,4)
答案　A
解析　逐一驗(yàn)證法，對于選項(xiàng)A，＝(1,4,1)，
∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，∴點(diǎn)P在平面α內(nèi)，同理可驗(yàn)證其他三個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi).
4.如圖，F(xiàn)是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn)，E是BB1上一點(diǎn)，若D1F⊥DE，則有(　　)

A.B1E＝EB
B.B1E＝2EB
C.B1E＝EB
D.E與B重合
答案　A
解析　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方體的棱長為2，則D(0,0,0)，F(xiàn)(0,1,0)，D1(0,0,2)，設(shè)E(2,2，z)，則＝(0,1，－2)，＝(2,2，z)，∵·＝0×2＋1×2－2z＝0，
∴z＝1，∴B1E＝EB.
5.設(shè)u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量.若α⊥β，則t等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案　C
解析　∵α⊥β，∴u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.
6.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x＋y＝________.
答案　
解析　由條件得
解得x＝，y＝－，z＝4，∴x＋y＝－＝.
7.(2018·呼和浩特質(zhì)檢)已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個(gè)法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個(gè)平面α與β的位置關(guān)系是___________________.
答案　α∥β
解析　設(shè)平面α的法向量為m＝(x，y，z)，
由m·＝0，得x·0＋y－z＝0，即y＝z，
由m·＝0，得x－z＝0，即x＝z，取x＝1，
∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.
8.已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1).對于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正確的是________.(填序號)
答案　①②③
解析　∵·＝0，·＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，則①②正確；
又AB∩AD＝A，
∴AP⊥平面ABCD，
∴是平面ABCD的法向量，則③正確；
∵＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，
∴與不平行，故④錯(cuò)誤.
9.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的點(diǎn)，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和為________.

答案　1
解析　以D1為原點(diǎn)，D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)CE＝x，DF＝y(tǒng)，
則易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(xiàn)(0,0,1－y)，B(1,1,1)，
∴＝(x－1,0,1)，＝(1,1，y)，∵B1E⊥平面ABF，
∴·＝(1,1，y)·(x－1，0,1)＝0，即x＋y＝1.
10.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.證明：平面PQC⊥平面DCQ.

證明　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長度，DA，DP，DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.

由題意得Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，
則＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0).
∴·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
又DQ∩DC＝D，DQ，DC?平面DCQ，
∴PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，
∴平面PQC⊥平面DCQ.
11.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

(1)證明：AC⊥BC1；
(2)證明：AC1∥平面CDB1.
證明　因?yàn)橹比庵鵄BC－A1B1C1的底面邊長分別為AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以△ABC為直角三角形，AC⊥BC.
所以AC，BC，C1C兩兩垂直.

如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，
A(3,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,4)，A1(3,0,4)，B1(0,4,4)，D.
(1)因?yàn)椋?－3,0,0)，＝(0，－4,4)，
所以·＝0，所以AC⊥BC1.
(2)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連接DE，則E(0,2,2)，＝，＝(－3,0,4)，
所以＝，DE∥AC1.
因?yàn)镈E?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
所以AC1∥平面CDB1.
12.如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C和側(cè)面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M為AA1的中點(diǎn)，N為BC1的中點(diǎn).求證：

(1)MN∥平面A1B1C1；
(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.
證明　由題意，知AA1，AB，AC兩兩垂直，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AA1，AB，AC所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方形AA1C1C的邊長為2，
則A(0,0,0)，A1(2,0,0)，B(0,2,0)，B1(2,2,0)，
C(0,0,2)，C1(2,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1).
(1)由題意知AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1，
又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1?平面A1B1C1，
所以AA1⊥平面A1B1C1.
因?yàn)椋?2,0,0)，＝(0,1,1)，
所以·＝0，即⊥.
又MN?平面A1B1C1，
故MN∥平面A1B1C1.
(2)設(shè)平面MBC1與平面BB1C1C的法向量分別為n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
因?yàn)椋?－1,2,0)，＝(1,0,2)，
所以即
令x1＝2，則平面MBC1的一個(gè)法向量為n1＝(2,1，－1).
同理可得平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n2＝(0,1,1).
因?yàn)閚1·n2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以n1⊥n2，所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.

13.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)

A.(1,1,1) B.
C. D.
答案　C
解析　設(shè)AC與BD相交于O點(diǎn)，連接OE，∵AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，

平面ACEF∩平面BDE＝OE，
∴AM∥EO，
又O是正方形ABCD對角線的交點(diǎn)，∴M為線段EF的中點(diǎn).
在空間直角坐標(biāo)系中，E(0,0,1)，F(xiàn)(，，1).
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，知點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
14.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是(　　)

A.相交 B.平行
C.垂直 D.MN在平面BB1C1C內(nèi)
答案　B
解析　以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由于A1M＝AN＝，
則M，N，
＝.
又C1D1⊥平面BB1C1C，
所以＝(0，a,0)為平面BB1C1C的一個(gè)法向量.
因?yàn)椤ぃ?，
所以⊥，又MN?平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.

15.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若AM⊥MP，則點(diǎn)P形成的軌跡長度為________.

答案　
解析　以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OS所在直線分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A(0，－1,0)，B(0,1,0)，
S，M，
設(shè)P(x，y,0)，
∴＝，＝，
由·＝y(tǒng)－＝0，得y＝，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為y＝.根據(jù)圓的弦長公式，可得點(diǎn)P形成的軌跡長度為2 ＝.
16.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點(diǎn).

(1)求證：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由.
(1)證明　以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB＝a.

則A(0,0,0)，D(0,1,0)，
D1(0,1,1)，E，
B1(a,0,1)，
故＝(0,1,1)，＝.
則·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以⊥，
所以B1E⊥AD1.
(2)解　存在滿足要求的點(diǎn)P，
假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE，此時(shí)＝(0，－1，z0)，
再設(shè)平面B1AE的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z).
＝(a,0,1)，＝.
因?yàn)閚⊥平面B1AE，
所以n⊥，n⊥，得
取x＝1，則y＝－，z＝－a，
則平面B1AE的一個(gè)法向量n＝.
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，即－az0＝0，
解得z0＝.
所以棱AA1上存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，此時(shí)AP＝.