第二節(jié)　空間幾何體的表面積與體積
2019考綱考題考情



1．幾何體的表面積
(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各個面的面積的和。
(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)。
(3)若圓柱、圓錐的底面半徑為r，母線長l，則其表面積為S柱＝2πr2＋2πrl，S錐＝πr2＋πrl。
(4)若圓臺的上下底面半徑為r1，r2，母線長為l，則圓臺的表面積為S＝π(r＋r)＋π(r1＋r2)l。
(5)球的表面積為4πR2(球半徑是R)。
2．幾何體的體積
(1)V柱體＝Sh。
(2)V錐體＝Sh。
(3)V臺體＝(S′＋＋S)h，V圓臺＝π(r＋r1r2＋r)h，V球＝πR3(球半徑是R)。

1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論
(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差。
(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等。
2．幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論
(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，
①若球為正方體的外接球，則2R＝a；
②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；
③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a。
(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝。
(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1。

一、走進教材
1．(必修2P27練習T1改編)已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D. cm
解析　由題意，得2πl(wèi)×＝2πr，l＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm)。
答案　B
2．(必修2P28A組T3改編)如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________。

解析　設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出棱錐的體積為V1＝××a×b×c＝abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47。
答案　1∶47

二、走近高考
3．(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為。SA與圓錐底面所成角為45°。若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為________。
解析　如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′?！鱏AB的面積為·SA·SB·sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5，所以SA2＝80，SA＝4。因為SA與圓錐底面所成角為45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4×＝2。所以圓錐的側(cè)面積為π×AS′×AS＝π×2×4＝40π。

答案　40π
4．(2017·全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為(　　)

A．10　　　　B．12
C．14　　　　D．16
解析　

該幾何體為一個三棱柱和一個三棱錐的組合體，其直觀圖如圖所示，各個面中有兩個全等的梯形，其面積之和為2××2＝12。
答案　B
三、走出誤區(qū)
微提醒：①由三視圖不能還原幾何體求錯體積；②不會分類討論致誤；③長度單位與體積單位換算出錯。
5．已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為________m3。

解析　根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長為2 m，高為1 m的平行四邊形，四棱錐的高為3 m。故該四棱錐的體積V＝×2×1×3＝2(m3)。
答案　2
6．圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為(　　)
A．6π(4π＋3)
B．8π(3π＋1)
C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
解析　分兩種情況：①以長為6π的邊為高時，4π為圓柱底面周長，則2πr＝4π，r＝2，所以S底＝4π，S側(cè)＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S側(cè)＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以長為4π的邊為高時，6π為圓柱底面周長，則2πr＝6π，r＝3。所以S底＝9π，S表＝2S底＋S側(cè)＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)。故選C。
答案　C
7．《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1丈3尺3寸，容納米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛為容積單位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，則圓柱底面圓周長約為(　　)
A．1丈3尺 B．5丈4尺
C．9丈2尺 D．48丈6尺
解析　設(shè)圓柱底面半徑為r尺，高為h尺，依題意，圓柱體積為V＝πr2h＝2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圓柱底面圓周長為2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圓柱底面圓周長約為5丈4尺，故選B。
答案　B

考點一 規(guī)則幾何體的表面積與體積
【例1】　(1)(2018·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　)

A．2 B．4
C．6 D．8
(2)(2019·南寧、柳州聯(lián)考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖和側(cè)視圖，且該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　　)


A　　　　 B　　　 　C　　　 　D
解析　(1)由三視圖可知， 該幾何體是一個底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V＝×(1＋2)×2×2＝6。故選C。

(2)若俯視圖為選項C中的圖形，則該幾何體為正方體截去一部分后的四棱錐P－ABCD，如圖所示，該四棱錐的體積V＝×(2×2)×2＝，符合題意。若俯視圖為其他選項中的圖形，則根據(jù)三視圖易判斷對應的幾何體不存在。故選C。
答案　(1)C　(2)C

規(guī)則體的體積和表面積直接按柱體、錐體、臺體和球體的體積和表面積公式進行計算即可。
【變式訓練】　已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　)

A． B．
C．13 D．
解析　由三視圖可知幾何體為三棱臺，作出直觀圖如圖所示。則CC′⊥平面ABC，上、下底均為等腰直角三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，所以AB＝，A′B′＝2。所以棱臺的上底面面積為×1×1＝，下底面面積為×2×2＝2，梯形ACC′A′的面積為×(1＋2)×2＝3，梯形BCC′B′的面積為×(1＋2)×2＝3，過A作AD⊥A′C′于點D，過D作DE⊥A′B′于點E，則A′B′⊥平面ADE從而AE⊥A′B′，則AD＝CC′＝2，DE為△A′B′C′斜邊高的，所以DE＝，所以AE＝＝，所以梯形ABB′A′的面積為×(＋2)×＝，所以幾何體的表面積S＝＋2＋3＋3＋＝13。故選C。

答案　C
考點二 組合體的體積和表面積
【例2】　(2019·福建三明模擬)我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》記載的芻甍是底面為矩形，頂部只有一條棱的幾何體。如圖為某個芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則它的體積為(　　)

A． B．160
C． D．64
解析　由三視圖可知，該芻甍是一個如圖所示的幾何體。

(一割為三)如圖，分別取QN，PM上的兩個四等分點B，E，C，F(xiàn)，連接AB，BC，AC，DE，DF，EF。

則△ABC與△DEF所在的平面將該幾何體分成一個直三棱柱ABC－DEF和兩個全等的四棱錐A－BCPQ，四棱錐D－FENM。其中直三棱柱ABC－DEF中的△ABC與△DEF是等腰三角形，BC＝4，點A到BC的距離d＝4，設(shè)△ABC與△DEF的面積為S1，則S1＝×4×4＝8。易知BE＝4，故直三棱柱ABC－DEF的體積V1＝S1×BE＝8×4＝32。四棱錐的底面是矩形，QB＝2，PQ＝4，故四棱錐的底面積S2＝2×4＝8。由三視圖可得四棱錐的高h＝4，所以四棱錐的體積V2＝S2h＝×8×4＝。所以該幾何體的體積V＝V1＋2V2＝32＋2×＝。故選A。

解析：(一割為二)如圖，分別取PM，QN的中點為G，H，連接DG，GH，DH，則△DGH所在平面將幾何體分為一個三棱柱AQP－DHG與一個四棱錐D－GHNM。

其中四棱錐D－GHNM的底面是邊長為4的正方形，由三視圖可得點D到平面GHNM的距離h＝4，故四棱錐D－GHNM的體積V1＝×42×4＝；三棱柱AQP－DHG的側(cè)面QPGH是邊長為4的正方形，側(cè)棱AD到側(cè)面QPGH的距離d＝4，故其體積V2＝×42×4＝32。所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝＋32＝。故選A。

答案　A


該題由三視圖給出的幾何體是一個組合體，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征將其分割成三個(或兩個)規(guī)則幾何體，然后分別求出三個(或兩個)幾何體的體積。這種分割求解的方法實質(zhì)也是轉(zhuǎn)化與化歸思想的體現(xiàn)。該題中的解法一要注意分割出直三棱柱ABC－DEF之后對剩余兩個幾何體的識別——四棱錐A－BCPQ，四棱錐D－FENM。
【變式訓練】　某幾何體的三視圖如圖所示，三個視圖中的曲線都是圓弧，則該幾何體的表面積為(　　)

A．＋ B．＋π2
C．＋ D．＋π2
解析　

由幾何體的三視圖得其直觀圖，如圖所示。該幾何體由半個圓柱與球構(gòu)成，且球的半徑與圓柱底面半徑等長。由三視圖中的數(shù)據(jù)可得，圓柱的底面半徑R1為1，母線l的長為π，球的半徑R2為1。所以該幾何體的表面由圓柱側(cè)面的一半、軸截面、左側(cè)底面半圓、右側(cè)底面半圓的一半，球表面的，以及球的過球心的兩個截面構(gòu)成。圓柱側(cè)面的一半，其面積S1＝×2πR1l＝πR1l＝π×1×π＝π2；圓柱的軸截面為矩形，其面積S2＝2R1l＝2×1×π＝2π；半圓柱左側(cè)底面，其面積S3＝×πR＝×π×12＝；半圓柱右側(cè)底面(裸露部分)，其面積S4＝×πR＝×π×12＝；球的表面，其面積S5＝×4πR＝×π×12＝；球的過球心的兩個截面，其面積之和S6＝×πR＝×π×12＝。所以該幾何體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S4＋S5＋S6＝π2＋2π＋＋＋＋＝＋π2。故選B。
答案　B
考點三 體積中的最值問題
【例3】　(2019·長春質(zhì)量監(jiān)測)已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的扇形，則該圓錐體積的最大值為________。
解析　由題意得圓錐的母線長為3，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則h＝，所以圓錐的體積V＝πr2h＝πr2＝π(0

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