一、知識(shí)梳理
1．基本事件的特點(diǎn)
(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
(1)特點(diǎn)
①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，即有限性；
②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，即等可能性．
(2)概率公式
P(A)＝.
二、教材衍化
1．從字母a，b，c，d中任意取出兩個(gè)不同字母的試驗(yàn)中，有 個(gè)基本事件．
答案：6
2．盒中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)球，其中紅色球3個(gè)，黃色球2個(gè)．若從中隨機(jī)取出2個(gè)球，則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率為 ．
解析：設(shè)3個(gè)紅色球?yàn)锳1，A2，A3，2個(gè)黃色球?yàn)锽1，B2，從5個(gè)球中，隨機(jī)取出2個(gè)球的基本事件有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10種．其中2個(gè)球的顏色不同的有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6種，所以所求概率為＝.
答案：

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．(　　)
(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)事件是等可能事件．(　　)
(3)某袋中裝有大小均勻的三個(gè)紅球、兩個(gè)黑球、一個(gè)白球，那么每種顏色的球被摸到的可能性相同．(　　)
(4)“從長(zhǎng)為1的線段AB上任取一點(diǎn)C，求滿足AC≤的概率是多少”是古典概型．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易錯(cuò)糾偏
(1)列舉基本事件不準(zhǔn)確導(dǎo)致基本事件的個(gè)數(shù)錯(cuò)誤；
(2)對(duì)事件A的限制條件理解不正確致誤．
1．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為(　　)
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
解析：選D.將2名男同學(xué)分別記為x，y，3名女同學(xué)分別記為a，b，c.設(shè)“選中的2人都是女同學(xué)”為事件A，則從5名同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)的所有可能情況有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10種，其中事件A包含的可能情況有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3種，故P(A)＝＝0.3.故選D.
2．從1，2，3，4，5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率是 ．
解析：總的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10個(gè)．兩個(gè)不同的數(shù)之和為偶數(shù)包含的基本事件有(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4個(gè)，所以所求概率P＝＝.
答案：


　　　　　簡(jiǎn)單的古典概型(師生共研)
(2019·高考天津卷)2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況．
(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪．
　　 員工
項(xiàng)目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
繼續(xù)教育
×
×
○
×
○
○
大病醫(yī)療
×
×
×
○
×
×
住房貸款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
贍養(yǎng)老人
○
○
×
×
×
○
①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；
②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率．
【解】　(1)由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人．
(2)①?gòu)囊阎?人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種．
②由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種．
所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝.

(1)古典概型中基本事件的探求方法

(2)利用公式法求解古典概型問(wèn)題的步驟
　

1．(2020·南昌市第一次模擬測(cè)試)2021年廣東新高考將實(shí)行3＋1＋2模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都準(zhǔn)備選歷史與政治，假若他們都對(duì)后面三科沒(méi)有偏好，則他們選課相同的概率為(　　)
A. B.
C. D．
解析：選B.記地理、化學(xué)、生物分別為D，H，S，則小明與小芳的選課方案可能是(D，D)，(D，H)，(D，S)，(H，D)，(H，H)，(H，S)，(S，D)，(S，H)，(S，S)，共9種，小明與小芳選課方案相同的可能是(D，D)，(H，H)，(S，S)，共有3種情況，所以他們選課相同的概率為＝，故選B.
2．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是(　　)
A. B.
C. D．
解析：選D.將兩位男同學(xué)分別記為A1，A2，兩位女同學(xué)分別記為B1，B2，則四位同學(xué)排成一列，情況有
A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，
A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，
B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，
A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，
B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，
B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，
共有24種，其中2名女同學(xué)相鄰的有12種，所以所求概率P＝，故選D.
3．(2020·重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)2018年8月在重慶成功舉辦了首屆“智博會(huì)”．某科技開(kāi)發(fā)公司甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為108 ，72，72，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個(gè)部門(mén)中抽取7人到智博會(huì)參觀．
(1)求從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)分別抽取的人數(shù)；
(2)從這7人中隨機(jī)抽取2人向全體員工作匯報(bào)，求這2人來(lái)自不同部門(mén)的概率．
解：(1)抽取比例為7：(108 ＋72 ＋72) ＝1∶36.
所以應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)分別抽取3人，2人，2人．
(2)7人分別記為A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2，
從中隨機(jī)抽取2人的所有可能情況有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2A3，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，A3B1，A3B2，A3C1，A3C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共21種．
其中，2人來(lái)自不同部門(mén)的可能情況有：A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，A3B1，A3B2，A3C1，A3C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，共16種．
故所求事件的概率為.

　　　　　　古典概型中的交匯問(wèn)題(多維探究)
角度一　古典概型與平面向量的交匯
從集合{2，3，4，5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{1，3，5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為(　　)
A. B.
C. D．
【解析】　由題意可知m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12種情況．
因?yàn)閙⊥n，即m·n＝0，
所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，
滿足條件的有(3，3)，(5，5)共2種，
故所求的概率為.
【答案】　A
角度二　古典概型與函數(shù)(方程)的交匯
(2020·益陽(yáng)、湘潭調(diào)研試卷)已知a∈{－2，0，1，2，3}，b∈{3，5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是(　　)
A. B.
C. D．
【解析】　函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)，則a2－2＜0，又a∈{－2，0，1，2，3}，故只有a＝0，a＝1滿足題意，又b∈{3，5}，所以函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是＝.故選C.
【答案】　C
角度三　古典概型與解析幾何的交匯
將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，將第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為m，第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為n，曲線C：＋＝1.則曲線C的焦點(diǎn)在x軸上且離心率e≤的概率等于(　　)
A. B.
C. D．
【解析】　因?yàn)殡x心率e≤，所以 ≤，解得≥.由列舉法得，當(dāng)m＝6時(shí)，n＝5，4，3；當(dāng)m＝5時(shí)，n＝4，3；當(dāng)m＝4時(shí)，n＝3，2；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝2；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝1，共9種情況，故其概率為＝.故選D.
【答案】　D

解決古典概型中交匯問(wèn)題的方法
解決與古典概型交匯的問(wèn)題時(shí)，把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算．

1．(2020·陜西韓城模擬)將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a和b，則方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解的概率是(　　)
A. B.
C. D．
解析：選C.投擲骰子兩次，所得的點(diǎn)數(shù)a和b滿足的關(guān)系為所以a和b的組合有36種，若方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解，則Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4a.
當(dāng)b＝1時(shí)，沒(méi)有a符合條件；當(dāng)b＝2時(shí)，a可取1；當(dāng)b＝3時(shí)，a可取1，2；當(dāng)b＝4時(shí)，a可取1，2，3，4；當(dāng)b＝5時(shí)，a可取1，2，3，4，5，6；當(dāng)b＝6時(shí)，a可取1，2，3，4，5，6.
滿足條件的組合有19種，則方程ax2＋bx＋1＝0有實(shí)數(shù)解的概率為P＝，故選C.
2．設(shè)a∈{2，4}，b∈{1，3}，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1.
(1)求f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是減函數(shù)的概率；
(2)從f(x)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，求它們?cè)?1，f(1))處的切線互相平行的概率．
解：(1)由題意－≥－1，即b≤a.
而(a，b)共有(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，4種，滿足b≤a的有3種，故概率為.
(2)由(1)可知，函數(shù)f(x)共有4種情況，從中隨機(jī)抽取兩個(gè)，有6種抽法．
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1，f(1))處的切線的斜率為f′(1)＝a＋b，
所以這兩個(gè)函數(shù)中的a與b之和應(yīng)該相等，而只有(2，3)，(4，1)這1組滿足，故概率為.

核心素養(yǎng)系列20　數(shù)學(xué)建模——求古典概型的概率
(2018·高考天津卷)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)．
(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？
(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．
①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；
②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率．
【解】　(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．
(2)①?gòu)某槿〉?名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．
②由①，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來(lái)自甲年級(jí)的是A，B，C，來(lái)自乙年級(jí)的是D，E，來(lái)自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．
所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝.

本題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基本知識(shí)．考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力．培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力．
　(2020·河南焦作模擬)某部門(mén)為了解該企業(yè)在生產(chǎn)過(guò)程中的用水量情況，對(duì)日用水量做了記錄，得到了大量該企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取12天的日用水量的數(shù)據(jù)作為樣本，得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：
日用水量(單位：噸)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
頻數(shù)
3
6
m
頻率
n
0.5
p
(1)求m、n、p的值；
(2)已知樣本中日用水量在[80，90)內(nèi)的這6個(gè)數(shù)據(jù)分別為83，85，86，87，88，89.從這6個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求抽取的2個(gè)數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)大于86的概率．
解：(1)因?yàn)?＋6＋m＝12，所以m＝3，所以n＝＝，p＝＝＝.所以m＝3，n＝p＝.
(2)從這6個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)據(jù)的情況有{83，85}，{83，86}，{83，87}，{83，88}，{83，89}，{85，86}，{85，87}，{85，88}，{85，89}，{86，87}，{86，88}，{86，89}，{87，88}，{87，89}，{88，89}，共15種．
其中2個(gè)數(shù)據(jù)都小于或等于86的情況有{83，85}，{83，86}，{85，86}，共3種．
故抽取的2個(gè)數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)大于86的概率P＝1－＝.

[基礎(chǔ)題組練]
1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選B.設(shè)3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)的兔子為A，B，C，另2只兔子為a，b，從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則基本事件共有10種，分別為(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，其中“恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)”的取法有6種，分別為(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率為＝，選B.
2．(2020·濟(jì)南市模擬考試)2019年1月1日，濟(jì)南軌道交通1號(hào)線試運(yùn)行，濟(jì)南軌道交通集團(tuán)面向廣大市民開(kāi)展“參觀體驗(yàn)，征求意見(jiàn)”活動(dòng)．市民可以通過(guò)濟(jì)南地鐵APP搶票，小陳搶到了三張?bào)w驗(yàn)票，準(zhǔn)備從四位朋友小王、小張、小劉、小李中隨機(jī)選擇兩位與自己一起去參加體驗(yàn)活動(dòng)，則小王被選中的概率為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選B.從四人中隨機(jī)選兩人的所有情況有(小王、小張)，(小王、小劉)，(小王、小李)，(小張、小劉)，(小張、小李)，(小劉、小李)，共6種，其中小王被選中的情況有(小王、小張)，(小王、小劉)，(小王、小李)，共3種，故小王被選中的概率P＝，故選B.
3．在集合A＝{2，3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝{1，2，3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選B.點(diǎn)P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6種情況，只有(2，1)，(2，2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為＝.
4．(2020·陜西渭南)在邊長(zhǎng)為1的正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)中，任取兩個(gè)頂點(diǎn)，則兩頂點(diǎn)間距離大于1的概率為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選C.如圖，正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為1，任取兩個(gè)頂點(diǎn)，有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE.共10種可能，其中兩頂點(diǎn)間距離為1的情況有AB，BC，CD，DE，EA，余下的情況兩頂點(diǎn)間距離均大于1，各有5種可能，所以任取兩頂點(diǎn)，兩頂點(diǎn)間距離大于1的概率P＝＝，故選C.

5．(2019·高考江蘇卷)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是 ．
解析：記3名男同學(xué)為A，B，C，2名女同學(xué)為a，b，則從中任選2名同學(xué)的情況有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10種，其中至少有1名女同學(xué)的情況有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7種，故所求概率為.
答案：
6．設(shè)a∈{1，2，3}，b∈，則函數(shù)y＝log是減函數(shù)的概率為 ．
解析：因?yàn)閒(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，又函數(shù)y＝log是減函數(shù)，所以＞1，因?yàn)閍∈{1，2，3}，b∈，則＝，，，，2，3，4，6，共8個(gè)值，其中滿足＞1的有，2，3，4，6，共5個(gè)值，所以函數(shù)y＝log是減函數(shù)的概率為.
答案：
7．(2020·長(zhǎng)春市質(zhì)量檢測(cè)(一))長(zhǎng)春市的“名師云課”活動(dòng)自開(kāi)展以來(lái)獲得廣大家長(zhǎng)和學(xué)子的高度贊譽(yù)，在第二季“名師云課”中，數(shù)學(xué)學(xué)科共計(jì)推出36節(jié)云課，為了更好地將課程內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生，現(xiàn)對(duì)某一時(shí)段云課的點(diǎn)擊量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)如下：
點(diǎn)擊量
[0，1 000]
(1 000，3 000]
(3 000，＋∞)
節(jié)數(shù)
6
18
12
(1)現(xiàn)從36節(jié)云課中采用分層抽樣的方式選出6節(jié)，求選出的點(diǎn)擊量超過(guò)3 000的節(jié)數(shù)；
(2)為了更好地搭建云課平臺(tái)，現(xiàn)將云課進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量在區(qū)間[0，1 000]內(nèi)，則需要花費(fèi)40分鐘進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量在區(qū)間(1 000，3 000]內(nèi)，則需要花費(fèi)20分鐘進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量超過(guò)3 000，則不需要剪輯，現(xiàn)從(1)中選出的6節(jié)課中任意選出2節(jié)課進(jìn)行剪輯，求剪輯時(shí)間為40分鐘的概率．
解：(1)根據(jù)分層抽樣，從36節(jié)云課中選出6節(jié)課，其中點(diǎn)擊量超過(guò)3 000的節(jié)數(shù)為×12＝2.
(2)在(1)中選出的6節(jié)課中，點(diǎn)擊量在區(qū)間[0，1 000]內(nèi)的有1節(jié)，點(diǎn)擊量在區(qū)間(1 000，3 000]內(nèi)的有3節(jié)，
設(shè)點(diǎn)擊量在區(qū)間[0，1 000]內(nèi)的1節(jié)課為A1，點(diǎn)擊量在區(qū)間(1 000，3 000]內(nèi)的3節(jié)課分別為B1，B2，B3，點(diǎn)擊量超過(guò)3 000的2節(jié)課分別為C1，C2.
從中選出2節(jié)課的方式有A1B1，A1B2，A1B3，A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B1C1，B1C2，B2B3，B2C1，B2C2，B3C1，B3C2，C1C2，共15種，其中剪輯時(shí)間為40分鐘的情況有A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B2B3，共5種，則剪輯時(shí)間為40分鐘的概率P＝＝.
8．在一個(gè)不透明的箱子里裝有5個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5.甲先從箱子中摸出一個(gè)小球，記下球上所標(biāo)數(shù)字后，再將該小球放回箱子中搖勻后，乙從該箱子中摸出一個(gè)小球．
(1)若甲、乙兩人誰(shuí)摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰(shuí)就獲勝(若數(shù)字相同則為平局)，求甲獲勝的概率；
(2)若規(guī)定：兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6，則甲獲勝，否則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？
解：用(x，y)(x表示甲摸到的數(shù)字，y表示乙摸到的數(shù)字)表示甲、乙各摸一球構(gòu)成的基本事件，則基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25個(gè)．
(1)設(shè)甲獲勝的事件為A，則事件A包含的基本事件有：(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共10個(gè)．故所求概率P(A)＝＝.
(2)設(shè)甲獲勝的事件為B，乙獲勝的事件為C.事件B所包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10個(gè)．
則P(B)＝＝，所以P(C)＝1－P(B)＝.
因?yàn)镻(B)≠P(C)，所以這樣規(guī)定不公平．
[綜合題組練]
1．一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字依次為x，y，z，當(dāng)且僅當(dāng)y>x ，y>z時(shí)，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243)，現(xiàn)從集合{1，2，3，4)中取出三個(gè)不相同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為(　　)
A. B.
C. D．
解析：選B.從集合{1，2，3，4}中取出三個(gè)不相同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)共有24個(gè)結(jié)果：123，124, 132, 134, 142, 143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，其中是“凸數(shù)”的是132，142，143，231，241，243，341，342，共8個(gè)結(jié)果，所以這個(gè)三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為＝，故選B.
2．(2020·河南省六校聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為正十邊形A1A2A3，…，A10的中心，A1在x軸正半軸上，任取不同的兩點(diǎn)Ai，Aj(其中1≤i，j≤10，且i∈N，j∈N)，點(diǎn)P滿足2＋＋＝0，則點(diǎn)P落在第二象限的概率是(　　)

A. B.
C. D．
解析：選B.在正十邊形，A1，A2，A3，…，A10的十個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)，不同的取法有45(種)，滿足2＋＋＝0，且點(diǎn)P落在第二象限的不同取法有(A1，A7)，(A1，A8)，(A1，A9)，(A1，A10)，(A2，A8)，(A2，A9)，(A8，A10)，(A9，A10)，共8種，所以點(diǎn)P落在第二象限的概率為，故選B.
3．(2020·昆明市質(zhì)量檢測(cè))某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的理念，鼓勵(lì)農(nóng)戶利用荒坡種植果樹(shù)．某農(nóng)戶考察三種不同的果樹(shù)苗A，B，C，經(jīng)引種試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，引種樹(shù)苗A的自然成活率為0.8，引種樹(shù)苗B，C的自然成活率均為0.9.
(1)若引種樹(shù)苗A，B，C各10棵．
①估計(jì)自然成活的總棵數(shù)；
②利用①中估計(jì)的結(jié)論，從沒(méi)有自然成活的樹(shù)苗中隨機(jī)抽取2棵，求抽到的2棵都是樹(shù)苗A的概率．
(2)該農(nóng)戶決定引種B種樹(shù)苗，引種后沒(méi)有自然成活的樹(shù)苗中有75%的樹(shù)苗可經(jīng)過(guò)人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹(shù)苗不能成活，若每棵樹(shù)苗最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬(wàn)元，問(wèn)至少引種B種樹(shù)苗多少棵？
解：(1)①依題意，10×0.8＋10×0.9＋10×0.9＝26，所以自然成活的總棵數(shù)約為26.
②沒(méi)有自然成活的樹(shù)苗共4棵，其中2棵A種樹(shù)苗，1棵B種樹(shù)苗，1棵C種樹(shù)苗，分別設(shè)為a1，a2，b，c，從中隨機(jī)抽取2棵，可能的情況有(a1，a2)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(b，c)，抽到的2棵都是樹(shù)苗A的概率為.
(2)設(shè)該農(nóng)戶引種B種樹(shù)苗n棵，最終成活的棵數(shù)為0.9n＋(1－0.9)n××0.8＝0.96n，未能成活的棵數(shù)為n－0.96n＝0.04n，由題意知0.96n×300－0.04n×50≥200 000，則n>699.
所以該農(nóng)戶至少引種700棵B種樹(shù)苗，可獲利不低于20萬(wàn)元．
4．(2020·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量(單位：輛)如表：

A類轎車
B類轎車
C類轎車
舒適型
100
150
z
標(biāo)準(zhǔn)型
300
450
600
按類用分層抽樣的方法從這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．
(1)求z的值；
(2)用分層抽樣的方法從C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；
(3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把這8輛轎車的得分看成一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)xi(1≤i≤8，i∈N)，設(shè)樣本平均數(shù)為，求|xi－|≤0.5的概率．
解：(1)設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得＝，所以n＝2 000，則z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600 ＝400.
(2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意得＝，得a＝2，
所以抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車．
用A1，A2分別表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3分別表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，
用E表示事件“在該樣本中任取2輛，至少有1輛舒適型轎車”．從該樣本中任取2輛包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1 ，B2)，(B1，B3)，(B2 ，B3)，共10個(gè)，
其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個(gè)．
故P(E)＝，即所求的概率為.
(3)樣本平均數(shù)＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個(gè)數(shù)xi(1≤i≤8，i∈N)，|xi－|≤0.5”，則從樣本中任取一個(gè)數(shù)有8個(gè)基本事件，事件D包括的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6個(gè)．
所以P(D)＝＝，即所求的概率為.


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