2021版新高考數(shù)學(xué)一輪教師用書：第10章第3節(jié)　隨機(jī)事件的概率

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第三節(jié)　隨機(jī)事件的概率
[考點(diǎn)要求]　1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式．

(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第190頁(yè))

1．事件的相關(guān)概念

2．頻率與概率的關(guān)系
在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率fn(A)＝會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，則把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率．
3．事件的關(guān)系與運(yùn)算
名稱
定義
符號(hào)表示
包含關(guān)系
如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等事件
若B?A，且A?B，則稱事件A與事件B相等
A＝B
并(和)事件
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(積)事件
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥
A∩B＝?
對(duì)立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件
A∩B＝?且A∪B＝U(U為全集)
4.概率的基本性質(zhì)
(1)任何事件A的概率都在[0，1]內(nèi)，即0≤P(A)≤1，不可能事件的概率為0，必然事件Ω的概率為1.
(2)如果事件A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(3)事件A與它的對(duì)立事件的概率滿足P(A)＋P()＝1．

如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則稱這n個(gè)事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(　　)
(2)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(　　)
(3)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指兩個(gè)事件都得發(fā)生．(　　)
(4)對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、教材改編
1．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是(　　)
A．至多有一次中靶　 B．兩次都中靶
C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶
D　[“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都不中靶”．]
2．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：
分組
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
頻數(shù)
2
3
4
5
4
2
則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，40)的頻率為(　　)
A．0.35 B．0.45
C．0.55 D．0.65
B　[由表知[10，40)的頻數(shù)為2＋3＋4＝9，
所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，40)的頻率為＝0.45.]
3．如果從不包括大、小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，取到黑桃的概率是，取到梅花的概率是，則取到紅色牌的概率是________．
　[P＝1－(＋)＝.]
4．一個(gè)地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下：
時(shí)間范圍
1年內(nèi)
2年內(nèi)
3年內(nèi)
4年內(nèi)
新生嬰兒數(shù)n
5544
9607
13520
17190
男嬰數(shù)m
2883
4970
6994
8892
這一地區(qū)男嬰出生的概率約是________(保留四位小數(shù)).
0.517 3　[男嬰出生的頻率依次約是：0.520 0，0.517 3，0.517 3，0.517 3.由于這些頻率非常接近0.517 3，因此這一地區(qū)男嬰出生的概率約為0.517 3.]

(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第191頁(yè))
考點(diǎn)1　事件關(guān)系的判斷
　判斷互斥、對(duì)立事件的2種方法
(1)定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．
(2)集合法：①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．
②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．
　1.從裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黃球的口袋中任取2個(gè)球，以下給出了四組事件：
①至少有1個(gè)白球與至少有1個(gè)黃球；
②至少有1個(gè)黃球與都是黃球；
③恰有1個(gè)白球與恰有1個(gè)黃球；
④恰有1個(gè)白球與都是黃球．
其中互斥而不對(duì)立的事件共有(　　)
A．0組　 B．1組
C．2組 D．3組
B　[①中“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)黃球”可以同時(shí)發(fā)生，如恰有1個(gè)白球和1個(gè)黃球，①中的兩個(gè)事件不是互斥事件．②中“至少有1個(gè)黃球”說明可以是1個(gè)白球和1個(gè)黃球或2個(gè)黃球，則兩個(gè)事件不互斥．③中“恰有1個(gè)白球”與“恰有1個(gè)黃球”，都是指有1個(gè)白球和1個(gè)黃球，因此兩個(gè)事件是同一事件．④中兩事件不能同時(shí)發(fā)生，也可能都不發(fā)生，因此兩事件是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故選B.]
2．在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)
A．至多有一張移動(dòng)卡
B．恰有一張移動(dòng)卡
C．都不是移動(dòng)卡
D．至少有一張移動(dòng)卡
A　[ “至多有一張移動(dòng)卡”包含“一張移動(dòng)卡，一張聯(lián)通卡”，“兩張全是聯(lián)通卡”兩個(gè)事件，它是“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件．]
　判斷含有“至多、至少”等關(guān)鍵詞的事件關(guān)系，可先借助枚舉法分析每個(gè)事件包含的基本事件，然后再借助定義做出判斷．
考點(diǎn)2　隨機(jī)事件的頻率與概率
　1.概率與頻率的關(guān)系
頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．
2．隨機(jī)事件概率的求法
利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．
　(2017·全國(guó)卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：
最高氣溫
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天數(shù)
2
16
36
25
7
4
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．
(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．
[解]　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.
(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，
若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；
若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以，Y的所有可能值為900，300，－100.
Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.
　求解本題第(2)問的關(guān)鍵是讀懂題設(shè)條件，并從中提取信息，明確一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)Y與氣溫變化的關(guān)系．
[教師備選例題]
(2019·北京高考)改革開放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：
支付金額
支付方式
不大于2000元
大于2000元
僅使用A
27人
3人
僅使用B
24人
1人
(1)估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；
(2)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；
(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合(2)的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．
[解]　(1)由題知，樣本中僅使用A的學(xué)生有27＋3＝30人，
僅使用B的學(xué)生有24＋1＝25人，
A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人．
故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100－30－25－5＝40人．
估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)為×1000＝400.
(2)記事件C為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于2000元”，則P(C)＝＝0.04.
(3)記事件E為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，該學(xué)生本月的支付金額大于2000元”．
假設(shè)樣本僅使用B的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，
則由(2)知，P(E)＝0.04.
答案示例1：可以認(rèn)為有變化．理由如下：
P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，
一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化，
所以可以認(rèn)為有變化．
答案示例2：無(wú)法確定有沒有變化．理由如下：
事件E是隨機(jī)事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，
所以無(wú)法確定有沒有變化．
　1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1 534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為(　　)
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365石
B　[ ×1534≈169(石).]
2．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
上年度出險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
保　費(fèi)
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：
出險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
頻數(shù)
60
50
30
30
20
10
(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計(jì)值；
(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P(B)的估計(jì)值；
(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值．
[解]　(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為＝0.55，故P(A)的估計(jì)值為0.55.
(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為＝0.3，故P(B)的估計(jì)值為0.3.
(3)由所給數(shù)據(jù)得
保費(fèi)
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
頻率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.192 5a.
考點(diǎn)3　互斥事件與對(duì)立事件的概率
　復(fù)雜事件的概率的2種求法
(1)直接求法，將所求事件分解為一些彼此互斥的事件，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算．
(2)間接求法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就比較簡(jiǎn)便．
　(1)(2018·全國(guó)卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
(2)某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：
①P(A)，P(B)，P(C)；
②1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；
③1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．
(1)B　[由題意知不用現(xiàn)金支付的概率為1－0.45－0.15＝0.4.]
(2)[解]?、貾(A)＝， P(B)＝＝，P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分別為，，.
②1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為M，則M＝A∪B∪C.
∵A，B，C兩兩互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝，
故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率約為.
③設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝，
故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為.
　求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來(lái)．
[教師備選例題]
一盒中裝有12個(gè)球，其中5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：
(1)取出1球是紅球或黑球的概率；
(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．
[解]　法一：(利用互斥事件求概率)
記事件A1＝{任取1球?yàn)榧t球}，A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷，
A3＝{任取1球?yàn)榘浊騷，A4＝{任取1球?yàn)榫G球}，
則P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，P(A4)＝，根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得
(1)取出1球是紅球或黑球的概率為
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率為
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二：(利用對(duì)立事件求概率)(1)由法一知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1＋A2的對(duì)立事件為A3＋A4，所以取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝.
(2)因?yàn)锳1＋A2＋A3的對(duì)立事件為A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
　經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：
排隊(duì)人數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；
(2)至少3人排隊(duì)等候的概率．
[解]　記“無(wú)人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥．
(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一：(利用互斥事件求概率)記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)
＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：(利用對(duì)立事件求概率)記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對(duì)立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.