2021版新高考數(shù)學(xué)一輪教師用書：第7章第2節(jié)　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

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第二節(jié)　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
[考點(diǎn)要求]　1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．

(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第120頁(yè))

1．四個(gè)公理
(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)， 那么這條直線在此平面內(nèi)．
(2)公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
拓展：公理2的三個(gè)推論
推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．
推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面．
推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．
(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．
(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
2．直線與直線的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系的分類

(2)異面直線所成的角
①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).
②范圍：(0°，90°]．

拓展：異面直線判定的一個(gè)定理
過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖所示．
3．空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系
(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系
圖形表示
符號(hào)表示
公共點(diǎn)
直線不在平面內(nèi)
直線在平面內(nèi)

a?α
無(wú)數(shù)個(gè)
直線與平面平行

a∥α
0個(gè)
直線與平面相交
直線與平面斜交

a∩α＝A
1個(gè)
直線與平面垂直

a⊥α
1個(gè)
(2)空間中平面與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系
圖形表示
符號(hào)表示
公共點(diǎn)
兩平面平行

α∥β
0個(gè)
兩平面相交

α∩β＝l
無(wú)數(shù)個(gè)
4.等角定理
空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．

唯一性定理
(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．
(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．
(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．

一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線．(　　)
(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面．(　　)
(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．(　　)
(4)若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的所有直線與a異面．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、教材改編
1．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b(　　)
A．一定是異面直線
B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線
D．不可能是相交直線
C　[由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a，b為異面直線相矛盾．]
2.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為(　　)
A．30°　　　 B．45°
C．60° D．90°
C　[連接B1D1，D1C(圖略)，
則B1D1∥EF，
故∠D1B1C為所求的角，
又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.]
3．下列命題正確的是(　　)
A．兩個(gè)平面如果有公共點(diǎn)，那么一定相交
B．兩個(gè)平面的公共點(diǎn)一定共線
C．兩個(gè)平面有3個(gè)公共點(diǎn)一定重合
D．過(guò)空間任意三點(diǎn)，一定有一個(gè)平面
D　[如果兩個(gè)平面重合，則排除A，B兩項(xiàng)；兩個(gè)平面相交，則有一條交線，交線上任取三個(gè)點(diǎn)都是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，故排除C項(xiàng)；而D項(xiàng)中的三點(diǎn)不論共線還是不共線，則一定能找到一個(gè)平面過(guò)這三個(gè)點(diǎn)．]
4.如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則
(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；
(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為正方形．
(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD　[(1)∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.]


(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第121頁(yè))
考點(diǎn)1　平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用
　共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明
(1)證明共面的方法：①先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②證兩平面重合．
(2)證明共線的方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．
(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．
　如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：
(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
[證明]　(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.
∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，
∴EF∥BA1.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
(2)∵EF∥CD1，EF