第6講　雙曲線
基礎(chǔ)知識整合

1．雙曲線的概念
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2(|F1F2|＝2c>0)的距離的差的絕對值為常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0：
(1)當(dāng)ac時，M點不存在．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
圖形


性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸　　對稱中心：原點
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
焦點
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的半實軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.
2．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)，其長為；異支的弦中最短的為實軸，其長為2a.
4．若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則S△PF1F2＝，其中θ為∠F1PF2.
5．若P是雙曲線－＝1(a>0，b>0)右支上不同于實軸端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，I為△PF1F2內(nèi)切圓的圓心，則圓心I的橫坐標(biāo)為定值a.
6．等軸雙曲線
(1)定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線．
(2)性質(zhì)：①a＝b；②e＝；③漸近線互相垂直；④等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項．

1．(2019·浙江高考)漸近線方程為x±y＝0的雙曲線的離心率是(　　)
A． B．1
C． D．2
答案　C
解析　由題意可得＝1，∴e＝?。剑?故選C．
2．(2019·北京高考)已知雙曲線－y2＝1(a>0)的離心率是，則a＝(　　)
A． B．4
C．2 D．
答案　D
解析　由雙曲線方程－y2＝1，得b2＝1，
∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝＝＝1＋.
結(jié)合a>0，解得a＝.故選D．
3．(2019·寧夏模擬)設(shè)P是雙曲線－＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|等于(　　)
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不對
答案　B
解析　根據(jù)雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8?|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故選B．
4．(2019·湖北荊州模擬)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　由已知可得雙曲線的漸近線方程為y＝±x，點(3，－4)在漸近線上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝.故選D．
5．(2019·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2－＝1(b>0)經(jīng)過點(3,4)，則該雙曲線的漸近線方程是________.
答案　y＝±x
解析　因為雙曲線x2－＝1(b>0)經(jīng)過點(3,4)，所以9－＝1(b>0)，解得b＝，即雙曲線方程為x2－＝1，其漸近線方程為y＝±x.
6．已知曲線方程－＝1，若方程表示雙曲線，則λ的取值范圍是________．
答案　λ－1
解析　∵方程－＝1表示雙曲線，
∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ－1.
核心考向突破
考向一　雙曲線的定義
例1　(1)(2019·山西太原模擬)已知雙曲線C：－＝1(a>0)的一條漸近線方程為2x＋3y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線C上，且|PF1|＝2，則|PF2|＝(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
答案　C
解析　由題意得＝，解得a＝3.因為|PF1|＝2，所以點P在雙曲線的左支上．所以|PF2|－|PF1|＝2a，解得|PF2|＝8.故選C．
(2)(2019·河南濮陽模擬)已知雙曲線x2－y2＝4，F(xiàn)1是左焦點，P1，P2是右支上的兩個動點，則|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是(　　)
A．4 B．6
C．8 D．16
答案　C
解析　設(shè)雙曲線的右焦點為F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(當(dāng)且僅當(dāng)P1，P2，F(xiàn)2三點共線時，取等號)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.故選C．

(1)①抓住“焦點三角形PF1F2”中的數(shù)量關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵；②利用定義求動點的軌跡方程，要分清是差的絕對值為常數(shù)，還是差為常數(shù)，即是雙曲線還是雙曲線的一支．
(2)利用雙曲線定義求方程，要注意三點：①距離之差的絕對值；②2a0且n>0，且m≠n時表示橢圓；mn0)；
(ⅲ)已知漸近線為±＝0的雙曲線，可設(shè)為－＝λ(λ≠0)．
③雙曲線的焦點位置僅靠漸近線是確定不了的，必須結(jié)合其他已知條件綜合判斷．
④判斷清楚所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支．若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．

[即時訓(xùn)練]　3.(2018·天津高考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
答案　C
解析　∵雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，
∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，
∴c2＝a2＋b2＝4a2，
由題意可設(shè)A(2a,3a)，B(2a，－3a)，
∵＝3，∴漸近線方程為y＝±x，
則點A與點B到直線x－y＝0的距離分別為d1＝＝a，d2＝＝a，又d1＋d2＝6，∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9.∴雙曲線的方程為－＝1，故選C．
4．已知圓C：(x－3)2＋y2＝4，定點A(－3,0)，則過定點A且和圓C外切的動圓圓心M的軌跡方程為__________.
答案　x2－＝1(x≤－1)
解析　設(shè)動圓M的半徑為R，則|MC|＝2＋R，|MA|＝R，所以|MC|－|MA|＝2，由雙曲線的定義知，M點的軌跡是以A，C為焦點的雙曲線的左支，且a＝1，c＝3，所以b2＝8，則動圓圓心M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)．
精準(zhǔn)設(shè)計考向，多角度探究突破
考向三　雙曲線的幾何性質(zhì)
角度1　雙曲線離心率問題
例3　(1)(2019·全國卷Ⅲ)設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　)
A． B．
C．2 D．
答案　A
解析　令雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點F的坐標(biāo)為(c,0)，則c＝.
如圖所示，由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得2＋2＝a2，∴＝，即離心率e＝.故選A．

(2)若斜率為的直線與雙曲線－＝1恒有兩個公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　)
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
答案　D
解析　因為斜率為的直線與雙曲線－＝1恒有兩個公共點，所以>，則e＝＝>＝，所以雙曲線離心率的取值范圍是(，＋∞)，故選D．

求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍．

[即時訓(xùn)練]　5.雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點，若MF2⊥x軸，則雙曲線的離心率為(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　如圖所示，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝＝c，|MF2|＝2c·tan30°＝c，

∴2a＝|MF1|－|MF2|＝c－c＝c?e＝＝.
6．已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是(　　)
A．(1，) B．(，2)
C．(1＋，＋∞) D．(1,1＋)
答案　D
解析　依題意，00)的離心率為，則其漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　A
解析　∵e＝＝，∴＝＝e2－1＝3－1＝2，∴＝.因為該雙曲線的漸近線方程為y＝±x，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x，故選A．
8．(2019·全國卷Ⅲ)雙曲線C：－＝1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為(　　)
A． B．
C．2 D．3
答案　A
解析　雙曲線－＝1的右焦點坐標(biāo)為(，0)，一條漸近線的方程為y＝x，不妨設(shè)點P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，則點P的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為×＝，即△PFO的底邊長為，高為，所以它的面積為××＝.故選A．
考向四　直線與雙曲線的位置關(guān)系
例5　已知雙曲線Γ：－＝1(a>0，b>0)經(jīng)過點P(2,1)，且其中一焦點F到一條漸近線的距離為1.
(1)求雙曲線Γ的方程；
(2)過點P作兩條相互垂直的直線PA，PB分別交雙曲線Γ于A，B兩點，求點P到直線AB距離的最大值．
解　(1)∵雙曲線－＝1過點(2,1)，∴－＝1.
不妨設(shè)F為右焦點，則F(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離d＝＝b，∴b＝1，a2＝2，
∴所求雙曲線的方程為－y2＝1.
(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)A(x0，y0)(y0>0)，則B(x0，－y0)，＝(x0－2，y0－1)，＝(x0－2，－y0－1)，∵·＝0，∴(x0－2)2－(y0－1)(y0＋1)＝0，由得
或(舍去)，即A(6，)，B(6，－)，此時點P到AB的距離為6－2＝4.
當(dāng)直線AB的斜率存在時，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋m.將y＝kx＋m代入x2－2y2＝2中，
整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0.
∴x1＋x2＝，①
x1x2＝.②
∵·＝0，
∴(x1－2，y1－1)·(x2－2，y2－1)＝0，
∴(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝0，
∴(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋m2－2m＋5＝0.③
將①②代入③，得m2＋8km＋12k2＋2m－3＝0，
∴(m＋2k－1)(m＋6k＋3)＝0.
而P?AB，∴m＝－6k－3，
從而直線AB的方程為y＝kx－6k－3.
將y＝kx－6k－3代入x2－2y2－2＝0中，得(1－2k2)x2＋(24k2＋12k)x－72k2－72k－20＝0，
判別式Δ＝16(17k2＋18k＋5)>0恒成立，
∴y＝kx－6k－3即為所求直線．
∴P到AB的距離d＝＝.
∵2＝＝1＋≤2.
∴d≤4，即此時點P到直線AB距離的最大值為4.
∵4>4，故點P到直線AB距離的最大值為4.

求解雙曲線綜合問題的主要方法
雙曲線的綜合問題主要為直線與雙曲線的位置關(guān)系．解決這類問題的常用方法是：
(1)設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題．
(2)利用點差法．

[即時訓(xùn)練]　9.設(shè)雙曲線C：－y2＝1(a>0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個不同點A，B．
(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；
(2)設(shè)直線l與y軸的交點為P，?。?，求a的值．
解　(1)將y＝－x＋1代入雙曲線－y2＝1(a>0)中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
所以解得00，解得a＝.

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部