全國卷五年考情圖解
高考命題規(guī)律把握

1.考查形式
高考在本章一般命制2道小題、1道解答題，分值約占22分．
2.考查內(nèi)容
(1)小題主要考查三視圖、幾何體體積與表面積計(jì)算，此類問題屬于中檔題目；對(duì)于球與棱柱、棱錐的切接問題，知識(shí)點(diǎn)較整合，難度稍大．
(2)解答題一般位于第18題或第19題的位置，常設(shè)計(jì)兩問：第(1)問重點(diǎn)考查線面位置關(guān)系的證明；第(2)問重點(diǎn)考查空間角，尤其是二面角、線面角的計(jì)算．屬于中檔題目．
3.備考策略
從2019年高考試題可以看出，高考對(duì)三視圖的考查有所降溫；對(duì)空間幾何體的展開、平面圖形的折疊、解題中的補(bǔ)體等傳統(tǒng)幾何思想有所加強(qiáng).
第一節(jié)　空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積
[最新考綱]　1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.3.會(huì)用平行投影方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.4.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式．


1．簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；
(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形；
(3)棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形．
2．旋轉(zhuǎn)體的形成
幾何體
旋轉(zhuǎn)圖形
旋轉(zhuǎn)軸
圓柱
矩形
任一邊所在的直線
圓錐
直角三角形
任一直角邊所在的直線
圓臺(tái)
直角梯形
垂直于底邊的腰所在的直線
球
半圓
直徑所在的直線
3．三視圖與直觀圖
三視圖
畫法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等
直觀圖
斜二測(cè)畫法：
(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半.




4．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱
圓錐
圓臺(tái)
側(cè)面
展開圖　



側(cè)面積公式　
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l
5．柱體、錐體、臺(tái)體和球的表面積和體積
名稱
幾何體　　　
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝Sh
臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3

1．按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：
S直觀圖＝S原圖形，S原圖形＝2S直觀圖．
2．多面體的內(nèi)切球與外接球常用的結(jié)論
(1)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切球半徑r＝，外接球半徑R＝a.
(2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球半徑R＝.
(3)設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則它的高為H＝a，內(nèi)切球半徑r＝H＝a，外接球半徑R＝H＝a.

一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(　　)
(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(　　)
(3)菱形的直觀圖仍是菱形．(　　)
(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、教材改編
1．將一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括(　　)
A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐
B．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱
C．兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái)
D．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐
D　[從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個(gè)直角三角形，一個(gè)矩形，所以一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個(gè)圓柱，兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，如圖：
]
2．如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是(　　)

A．棱臺(tái)
B．四棱柱
C．五棱柱
D．簡(jiǎn)單組合體
C　[由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．]
3．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(　　)
A．12π　　　　 B．π
C．8π D．4π
A　[由題意可知正方體的棱長(zhǎng)為2，其體對(duì)角線為2即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π，故選A.]
4．已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D． cm
B　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，
∴r＝2(cm)．]
5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．

π　[由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)同底等高的圓錐，其體積為π×22×2－π×22×2＝π.]

考點(diǎn)1　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
　解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧
(1)關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例即可．
(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系．
(3)棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐截得的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略．
　1.給出下列命題：
(1)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；
(2)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；
(3)在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；
(4)存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；
(5)棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　)
A．2　　 B．3　　　　
C．4　　　　 D．5
C　[(1)不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；(2)正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；(3)正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；(4)正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個(gè)面都是直角三角形；(5)正確，由棱臺(tái)的概念可知．]

2．以下命題：
(1)以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；
(2)以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；
(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；
(4)一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
B　[命題(1)錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題(2)錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰；命題(3)對(duì)；命題(4)錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以．]
3．下列結(jié)論正確的是 (　　)
A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐
B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐
C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐
D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線
D　[A錯(cuò)誤．如圖①所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．

圖①　　　　 　 　圖②
B錯(cuò)誤．如圖②，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐．
C錯(cuò)誤．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．D正確．]
　(1)概念辨析類的問題常借助反例求解．
(2)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征正誤的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后依據(jù)題意判定．
考點(diǎn)2　空間幾何體的三視圖和直觀圖
　1.三視圖畫法的基本原則
長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等；畫圖時(shí)看不到的線畫成虛線．
2．由三視圖還原幾何體的步驟

3．直觀圖畫法的規(guī)則：斜二測(cè)畫法．
　(1)[一題多解]已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(　　)
A.a2　 B.a2　　
C.a2　　 D.a2
(2)(2018·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(　　)

A．2　　　　　 B．2
C．3 D．2
(1)D　(2)B　[(1)法一：如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖，

由圖②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，
則C′D′＝O′C′＝a，
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
法二：S△ABC＝×a×asin 60°＝a2，
又S直觀圖＝S原圖＝×a2＝a2.
故選D.
(2)由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16.畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，如圖②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為＝＝2.故選B.
]
圖①　　　　　　　　圖②
　(1)直觀圖的面積問題常常有兩種解法：一是利用斜二
測(cè)畫法求解，注意 “斜”及“二測(cè)”的含義；二是直接套用等量關(guān)系：S直觀圖＝S原圖形．
(2)解決空間幾何體表面上兩點(diǎn)距離的最短問題，常借助其側(cè)面展開圖．
　1.(2018·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　)

A　　 　B　　 　C　　 　D
A　[由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A.]
2．某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙的小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)是(　　)

A. B.
C. D.3
A　[由三視圖可知該幾何體為一個(gè)三棱錐D-ABC，如圖，將其置于長(zhǎng)方體中，該長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為2.
所以AB＝1，AC＝，BC＝，CD＝，DA＝2，BD＝，
因此最長(zhǎng)棱為BD，棱長(zhǎng)是.]

考點(diǎn)3　空間幾何體的表面積與體積
　空間幾何體的表面積
　 幾類空間幾何體表面積的求法
(1)多面體：其表面積是各個(gè)面的面積之和．
(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．
(3)簡(jiǎn)單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補(bǔ)．
(4)若以三視圖形式給出，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖，想象出原幾何體及幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．
　(1)(2019·南昌模擬)如圖，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若將該直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得的幾何體的表面積為________．
(2)若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都為2，則其表面積為________．

(3)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺(tái)的表面積為________cm2 (結(jié)果中保留π)．
(4)(2019·安慶模擬)已知一幾何體的三視圖如圖所示，它的左視圖與主視圖相同，則該幾何體的表面積為(　　)

A．16＋12π B．32＋12π
C．24＋12π D．32＋20π
(1)(＋3)π　(2)4＋4　(3)1 100π　(4)A　[(1)由圖中數(shù)據(jù)可得：S圓錐側(cè)＝×π×2×＝π，S圓柱側(cè)＝2π×1×1＝2π，S底面＝π×12＝π.
所以幾何體的表面積S＝S圓錐側(cè)＋S圓柱側(cè)＋S底面＝π＋2π＋π＝(＋3)π.
(2)因?yàn)樗睦忮F的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，所以該四棱錐為正四棱錐，如圖．
由題意知底面正方形的邊長(zhǎng)為2，正四棱錐的高為2，
則正四棱錐的斜高PE＝＝.
所以該四棱錐的側(cè)面積S＝4××2×＝4，
∴S表＝2×2＋4＝4＋4.

(3)如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底周長(zhǎng)為C，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，所以C＝π·SA.
又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20(cm)．
同理SB＝40(cm)．
所以AB＝SB－SA＝20(cm)．
S表＝S側(cè)＋S上底＋S下底
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1 100π(cm2)．
故圓臺(tái)的表面積為1 100π cm2.

(4)由三視圖知，該幾何體是一個(gè)正四棱柱與半球的組合體，且正四棱柱的高為，底面對(duì)角線長(zhǎng)為4，球的半徑為2，所以該正四棱柱的底面正方形的邊長(zhǎng)為2，該幾何體的表面積S＝×4π×22＋π×22＋2××4＝12π＋16.]
　本例(1)得到的是旋轉(zhuǎn)體，求解的關(guān)鍵是將旋轉(zhuǎn)體的表面積分割為圓錐的側(cè)面積與圓柱的側(cè)面積及底面積之和；本例(2)是有關(guān)多面體側(cè)面積的問題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩形、棱臺(tái)中的直角梯形、棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長(zhǎng)等幾何元素間的橋梁，從而架起求側(cè)面積公式中的未知量與條件中已知幾何元素間的聯(lián)系；本例(3)是圓臺(tái)的側(cè)面積問題，采用了還錐為臺(tái)的思想；本例(4)先由三視圖還原幾何體，求解的關(guān)鍵是正四棱柱及半球的數(shù)量關(guān)系確定，易錯(cuò)點(diǎn)是兩幾何體重疊部分的表面積處理．
　(2015·全國卷Ⅰ)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝(　　)

A．1　　 B．2
C．4　　　　 D．8

B　[如圖，該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故選B.]
　空間幾何體的體積
　求空間幾何體的體積的常用方法
(1)直接法：對(duì)于規(guī)則幾何體，直接利用公式計(jì)算即可．若已知三視圖求體積，應(yīng)注意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置，確定幾何體中的線面垂直等關(guān)系，進(jìn)而利用公式求解．
(2)等積法：利用三棱錐的“等積性”可以把任一個(gè)面作為三棱錐的底面．
(3)割補(bǔ)法：當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，常通過分割或者補(bǔ)形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計(jì)算．經(jīng)?？紤]將三棱錐還原為三棱柱或長(zhǎng)方體，將三棱柱還原為平行六面體，將臺(tái)體還原為錐體．
　(1)如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A-B1DC1的體積為(　　)
A．3 B.
C．1　　　 D.
(2)[一題多解](2017·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　)
A．90π B．63π
C．42π D．36π

(3)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1-EDF的體積為________．

(1)C　(2)B　(3)　[(1)(直接法)如題圖，在正△ABC中，D為BC中點(diǎn)，則有AD＝AB＝，
又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A-B1DC1的底面B1DC1上的高，
∴VA－B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1.
(2)法一(分割法)：由題意知，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積V1＝π×32×4＝36π.
上半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，
其體積V2＝×π×32×6＝27π.
所以該組合體的體積V＝V1＋V2＝36π＋27π＝63π.
法二(補(bǔ)形法)：由題意知，該幾何體是一圓柱被一平面截去一部分后所得的幾何體，在該幾何體上方再補(bǔ)上一個(gè)與其相同的幾何體，讓截面重合，則所得幾何體為一個(gè)圓柱，故圓柱的底面半徑為3，高為10＋4＝14，該圓柱的體積V1＝π×32×14＝126π.
故該幾何體的體積為圓柱體積的一半，
即V＝V1＝63π.
法三(估值法)：由題意，知V圓柱＜V幾何體＜V圓柱．又V圓柱＝π×32×10＝90π，所以45π＜V幾何體＜90π.觀察選項(xiàng)可知只有63π符合．
(3)(等積法)三棱錐D1-EDF的體積即為三棱錐F-DD1E的體積．
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點(diǎn)，所以在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△EDD1的面積為定值，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以VD1-EDF＝VF-DD1E＝××1＝.]
　處理體積問題的思路
(1)“轉(zhuǎn)”：指的是轉(zhuǎn)換底面與高，將原來不易求面積的底面轉(zhuǎn)換為易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿灰卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為易看出并易求解長(zhǎng)度的高；
(2)“拆”：指的是將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體，便于計(jì)算；
(3)“拼”：指的是將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱復(fù)原成一個(gè)四棱柱，這些都是拼補(bǔ)的方法．
[教師備選例題]
1．(2019·江蘇高考)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是________．

10　[因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為120，所以AB·BC·CC1＝120，
因?yàn)镋為CC1的中點(diǎn)，所以CE＝CC1，
由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知CC1⊥底面ABCD，
所以CE是三棱錐E-BCD的底面BCD上的高，
所以三棱錐E-BCD的體積V＝×AB·BC·CE＝×AB·BC·CC1＝×120＝10.]
2.如圖所示，已知多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為________．

4　[法一：(分割法)因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行，如圖所示，過點(diǎn)C作CH⊥DG于H，
連接EH，即把多面體分割成一個(gè)直三棱柱DEH-ABC和一個(gè)斜三棱柱BEF-CHG.
由題意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝×2＝2.故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝2＋2＝4.

法二：(補(bǔ)形法)因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行，
如圖所示，將多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為2的正方體，顯然所求多面體的體積即該正方體體積的一半．
又正方體的體積V正方體ABHI-DEKG＝23＝8，故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝×8＝4.]

　1.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2，D為棱B1C1上任意一點(diǎn)，則三棱錐D-A1BC的體積是________．

　[VD-A1BC＝VB1-A1BC＝VA1-B1BC＝×S△B1BC×＝.]
2．(2019·浙江高考)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是(　　)

A．158　
B．162　　　
C．182　　　
D．324
B　[(直接法)由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3，則該棱柱的體積為×6＝162.故選B.]
3.如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為(　　)
A. B.
C. D.
A　[(分割法)如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，
容易求得EG＝HF＝，
AG＝GD＝BH＝HC＝，
取AD的中點(diǎn)O，連接GO，易得GO＝，
∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
∴多面體的體積V＝V三棱錐E-ADG＋V三棱錐F-BCH＋V三棱柱AGD-BHC＝2V三棱錐E-ADG＋V三棱柱AGD-BHC＝×××2＋×1＝.故選A.]
考點(diǎn)4　與球有關(guān)的切、接問題
　與球有關(guān)的切、接問題的解法
(1)旋轉(zhuǎn)體的外接球：常用的解題方法是過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．
(2)多面體的外接球：常用的解題方法是將多面體還原到正方體和長(zhǎng)方體中再去求解．
①若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體，利用2R＝求R.
②一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐問題：可補(bǔ)形成直三棱柱．先借助幾何體的幾何特征確定球心位置，然后把半徑放在直角三角形中求解．
　(1)已知一個(gè)圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為(　　)
A．π B．
C．2π D．3π
(2)(2019·福建十校聯(lián)考)已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，則此三棱錐的外接球的體積為(　　)
A.π B.π
C.π D.π
(3)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，且∠BAC＝，AA1＝BC＝2，則球O的體積為(　　)
A．4π B．8π
C．12π D．20π
(1)C　(2)B　(3)A　　[(1)依題意，作出圓錐與球的軸截面，如圖所示，設(shè)球的半徑為r，易知軸截面三角形邊AB上的高為2，因此＝，解得 r＝，所以圓錐內(nèi)切球的表面積為4π×2＝2π，故選C.
(2)∵AB＝，BC＝，AC＝2，∴PA＝1，PC＝，PB＝2.以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖所示，
則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC的外接球．
∵長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為＝2，
∴球的直徑為2，半徑R＝，
因此，三棱錐P-ABC外接球的體積是πR3＝π×()3＝π.故選B.

(3)在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圓的半徑為r＝＝＝，
則直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半徑為R＝＝＝，
則直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的體積為πR3＝4π.故選A.]

[母題探究]　1.若將本例(3)的條件“∠BAC＝，AA1＝BC＝2”換為“AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12”，則球O的半徑為________．
　[如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.
又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，
所以球O的半徑
R＝OA＝ ＝.]

2．若將本例(3)的條件改為“正四面體的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上”，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為________．
　[正四面體棱長(zhǎng)為a，則正四面體表面積為S1＝4×·a2＝a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的，
即r＝·a＝a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝，
則＝＝.]
3．若將本例(3)的條件改為“側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是3的正四棱錐的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上”，則其外接球的半徑為________．
3　[依題意，得該正四棱錐底面對(duì)角線的長(zhǎng)為3×＝6，高為＝3，
因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.]
　通過本例(3)及母題探究訓(xùn)練，我們可以看出構(gòu)造法、補(bǔ)形法等是處理“外接”問題的主要方法，其關(guān)鍵是找到球心，借助勾股定理求球的半徑．
(1)錐體的外接球問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．
(2)柱體的外接球問題，其解題關(guān)鍵在于確定球心在多面體中的位置，找到球的半徑或直徑與多面體相關(guān)元素之間的關(guān)系，結(jié)合原有多面體的特性求出球的半徑，然后再利用球的表面積和體積公式進(jìn)行正確計(jì)算．
　1.(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　)
A．12 B．18
C．24 D．54
B　[由等邊△ABC的面積為9，
可得AB2＝9，所以AB＝6，
所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝AB＝2.
設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝＝＝2.
所以三棱錐D-ABC高的最大值為2＋4＝6，
所以三棱錐D-ABC體積的最大值為×9×6＝18.]
2．(2019·南寧模擬)已知三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為(　　)
A. B.
C.27π D.27π
B　[∵三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，
∴△PAB≌△PBC≌△PAC.
∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB.
以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC的外接球．
∵正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為＝3，∴其外接球半徑R＝.因此三棱錐P-ABC的外接球的體積V＝×3＝.]

課外素養(yǎng)提升⑦　直觀想象——巧解簡(jiǎn)單幾何體的外接球與內(nèi)切球問題
簡(jiǎn)單幾何體外接球與內(nèi)切球問題是立體幾何中的難點(diǎn)，也是歷年高考重要的考點(diǎn)，幾乎每年都要考查，重在考查考生的直觀想象能力和邏輯推理能力．此類問題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心O的位置問題，其中球心的確定是關(guān)鍵．
下面從六個(gè)方面分類闡述該類問題的求解策略：

利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線探索外接球半徑
【例1】　(2019·東北三省四市模擬)已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點(diǎn)，沿AD進(jìn)行折疊，使折疊后的∠BDC＝，則過A，B，C，D四點(diǎn)的球的表面積為(　　)
A．3π　 B．4π　　　
C．5π　　　 D．6π
C　[連接BC(圖略)，由題知幾何體ABCD為三棱錐，BD＝CD＝1，AD＝，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥CD，將折疊后的圖形補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是，1,1的長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線長(zhǎng)為＝，故該三棱錐外接球的半徑是，其表面積為5π.]
[評(píng)析]　若幾何體存在三條兩兩垂直的線段或者三條線有兩個(gè)垂直，可構(gòu)造墻角模型(如下圖)，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2求出R.

【素養(yǎng)提升練習(xí)】　已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是(　　)
A．16π B．20π
C．24π D．32π
C　[設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，球半徑為R，則正四棱柱的體積為V＝a2h＝16，a＝2,4R2＝a2＋a2＋h2＝4＋4＋16＝24，所以球的表面積為S＝24π.]

利用長(zhǎng)方體的面對(duì)角線探索外接球半徑
【例2】　三棱錐中S-ABC，SA＝BC＝，SB＝AC＝，SC＝AB＝.則三棱錐的外接球的表面積為________．
14π　[如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)AE＝a，BE＝b，CE＝c.
則SC＝AB＝＝，
SA＝BC＝＝，
SB＝AC＝＝.
從而a2＋b2＋c2＝14＝(2R)2，可得S＝4πR2＝14π.故所求三棱錐的外接球的表面積為14π.]

[評(píng)析]　三棱錐的相對(duì)棱相等，探尋球心無從著手，注意到長(zhǎng)方體的相對(duì)面的面對(duì)角線相等，可在長(zhǎng)方體中構(gòu)造三棱錐，從而巧妙探索外接球半徑．
【素養(yǎng)提升練習(xí)】　(2019·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°， 則球O的體積為(　　)
A．8π B．4π
C．2π D.π
D　　[因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PB，
因?yàn)椤螩EF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.
取AC的中點(diǎn)D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP，
所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE平面PAC，所以PB⊥平面PAC，
所以PB⊥PA，PB⊥PC，因?yàn)镻A＝PB＝PC，△ABC為正三角形，
所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P-ABC放在正方體中．因?yàn)锳B＝2，所以該正方體的棱長(zhǎng)為，所以該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R＝，所以球O的體積V＝πR3＝π3＝π，故選D.]


利用底面三角形與側(cè)面三角形的外心探索球心
【例3】　平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.將其沿對(duì)角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD.若四面體A′BCD的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為
(　　)
A.π B．3π
C.π D．2π
A　[如圖，設(shè)BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).因點(diǎn)F為底面直角△BCD的外心，知三棱錐A′-BCD的外接球球心必在過點(diǎn)F且與平面BCD垂直的直線l1上．又點(diǎn)E為底面直角△A′BD的外心，知外接球球心必在過點(diǎn)E且與平面A′BD垂直的直線l2上．因而球心為l1與l2的交點(diǎn)．又FE∥CD，CD⊥BD知FE⊥平面A′BD.從而可知球心為點(diǎn)F.又A′B＝A′D＝1，CD＝1知BD＝，球半徑R＝FD＝＝.故V＝π3＝π.]

[評(píng)析]　三棱錐側(cè)面與底面垂直時(shí)，可緊扣球心與底面三角形外心連線垂直于底面這一性質(zhì)，利用底面與側(cè)面的外心，巧探外接球球心，妙求半徑．
【素養(yǎng)提升練習(xí)】　(2019·廣州模擬)三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為(　　)
A．23π B．π
C．64π D．π
D　[如圖，設(shè)O′為正△PAC的中心，D為Rt△ABC斜邊的中點(diǎn)，H為AC中點(diǎn)．由平面PAC⊥平面ABC.則O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，則交點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，連接OP，又O′P＝PH＝××2＝，OO′＝DH＝AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝.
故幾何體外接球的表面積S＝4πR2＝π.]


利用直棱柱上下底面外接圓圓心的連線確定球心
【例4】　一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為________．
　[設(shè)正六棱柱底面邊長(zhǎng)為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的半徑為r，則a＝，底面積為S＝6··2＝，V柱＝Sh＝h＝，∴h＝，R2＝2＋2＝1，R＝1，球的體積為V＝.]
[評(píng)析]　直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型如圖：

其外接球球心就是上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)．
【素養(yǎng)提升練習(xí)】　(2017·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　)
A.π B.
C. D.
B　[設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形．
∴r＝＝.
∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝.
故選B.]

錐體的內(nèi)切球問題

圖①
(1)題設(shè)：如圖①，三棱錐P-ABC是正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑．
第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，E，H分別是兩個(gè)三角形的外心；
第二步：求DH＝CD，PO＝PH－r，PD是側(cè)面△ABP的高；
第三步：由△POE∽△PDH，建立等式：＝，解出r.

圖②
(2)題設(shè)：如圖②，四棱錐P-ABC是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑．
第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，P，O，H三點(diǎn)共線；
第二步：求FH＝BC，PO＝PH－r，PF是側(cè)面△PCD的高；
第三步：由△POG∽△PFH，建立等式：＝，解出r.
(3)題設(shè)：三棱錐P-ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑．
方法：等體積法，三棱錐P-ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和；
第一步：先求出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；
第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VP-ABC＝VO-ABC＋VO-PAB＋VO-PAC＋VO-PBC?VP-ABC
＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；
第三步：解出r＝.
【例5】　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝m，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則此球的最大半徑是________．

(2－)m　[由PD⊥底面ABCD得PD⊥AD.又PD＝m，PA＝m，則AD＝m.設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為R，連接OA，OB，OC，OD，OP(圖略)，易知VP-ABCD＝VO-ABCD＋VO-PAD＋VO-PAB＋VO-PBC＋VO-PCD，即·m2·m＝m2R＋×m2R＋××m2·R＋××m2·R＋×m2R，解得R＝(2－)m，所以此球的最大半徑是(2－)m.]
[評(píng)析]　結(jié)合本題的條件，采用體積分割法求解本題．
【素養(yǎng)提升練習(xí)】　有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是頂角的余弦值為的等腰三角形．在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注水，使水面與球正好相切，然后將球取出，則這時(shí)容器中水的深度為________．
r　[如圖，作出軸截面，因?yàn)檩S截面是頂角的余弦值為的等腰三角形，所以頂角為，所以該軸截面為正三角形．根據(jù)切線性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水的深度為3r，水面所在圓的半徑為r，則
容器內(nèi)水的體積V＝π(r)2·3r－πr3＝πr3.將球取出后，設(shè)容器中水的深度為h，則水面圓的半徑為h，從而容器內(nèi)水的體積V′＝π2h＝πh3，由V＝V′，得h＝r，所以這時(shí)容器中水的深度為r.]


柱體的內(nèi)切球問題
【例6】　(2016·全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　)
A．4π B．
C．6π D．
B　[由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切．設(shè)球的半徑為R，∵△ABC的內(nèi)切圓半徑為＝2，
∴R≤2.
又2R≤3，
∴R≤，
∴Vmax＝π3＝π.故選B.]
[評(píng)析]　解答本題的關(guān)鍵是當(dāng)V取得最大值時(shí)，球與上下底面還是與側(cè)面相切的問題．
【素養(yǎng)提升練習(xí)】　體積為的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為________．
6　[設(shè)球的半徑為R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h(yuǎn)＝2.
設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，
則×a＝1，所以a＝2.
所以V＝×(2)2×2＝6.]


英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部