2021高三數(shù)學北師大版（理）一輪教師用書：第4章第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式

第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式[最新考綱]　1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2 α＋cos2 α＝1，＝tan α.2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式．1．同角三角函數(shù)的基本關系式(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商數(shù)關系：tan α＝.2．誘導公式組序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos_α余弦cos α－cos αcos α－cos_αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan_α  口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變符號看象限1．同角三角函數(shù)關系式的常用變形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2．誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化．一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　　)(2)若α∈R，則tan α＝恒成立．(　　)(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角．(　　)(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，則sin α＝.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、教材改編1．化簡sin 690°的值是(　　)A．　　 　 B．－　 　　C．　　 　 D．－B　[sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－.選B.]2．若sin α＝，＜α＜π，則tan α＝________.－　[∵＜α＜π，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－.]3．已知tan α＝2，則的值為________．3　[原式＝＝＝3.]4．化簡·sin(α－π)·cos(2π－α)的結(jié)果為________．－sin2α　[原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.]考點1　同角三角函數(shù)基本關系式　同角三角函數(shù)基本關系的應用技巧(1)弦切互化：利用公式tan α＝實現(xiàn)角α的弦切互化．(2)和(差)積轉(zhuǎn)換：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α進行變形、轉(zhuǎn)化．(3)“1”的變換：1＝sin2α＋cos2α＝cos2α·(tan2α＋1)＝sin2α·.　“知一求二”問題　(1)[一題多解]已知cos α＝k，k∈R，α∈，則sin(π＋α)＝(　　)A．－　　　　　　　 B．C．±   D．－k(2)(2019·福州模擬)若α∈，sin(π－α)＝，則tan α＝(　　)A．－   B．C．－   D．(1)A　(2)C　[(1)法一：(直接法)由cos α＝k，α∈得sin α＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.故選A.法二：(排除法)易知k＜0，從而sin(π＋α)＝－sin α＜0，排除選項BCD，故選A.(2)因為α∈，sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝－.]　利用同角三角函數(shù)的基本關系求解問題的關鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關系的正用、逆用、變形．同角三角函數(shù)的基本關系本身是恒等式，也可以看作是方程，對于一些題，可利用已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關系列方程組，通過解方程組達到解決問題的目的，此時應注意在利用sin2α＋cos2α＝1求sin α或cos α時，符號的選?。?/span>　弦切互化　(1)(2019·鄭州模擬)已知＝5，則cos2α＋sin 2α的值是(　　)A．　　 　 B．－  C．－3　　 　 D．3(2)已知θ為第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，則tan θ＝________.(1)A　(2)－　[(1)由＝5得＝5，可得tan α＝2，則cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝.故選A.(2)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因為θ為第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.]　若已知正切值，求一個關于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個關于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，這是同角三角函數(shù)關系中的一類基本題型．　sin α±cos α與sin αcos α關系的應用　(1)若|sin θ|＋|cos θ|＝，則sin4θ＋cos4θ＝(　　)A.   B.C.   D.(2)已知θ為第二象限角，sin θ，cos θ是關于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，則sin θ－cos θ＝(　　)A.   B.C.   D.－(1)B　(2)B　[(1)因為|sin θ|＋|cos θ|＝，兩邊平方，得1＋|sin 2θ|＝.所以|sin 2θ|＝.所以sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝.故選B.(2)因為sin θ，cos θ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，所以sin θ＋cos θ＝，sin θ·cos θ＝，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝，解得m＝－.因為θ為第二象限角，所以sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0，因為(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋，所以sin θ－cos θ＝＝.故選B.]　對于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α這三個式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，則sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根據(jù)α的范圍選取正、負號)，體現(xiàn)了方程思想的應用．　1.已知sin(π＋α)＝－，則tan值為(　　)A．2   B．－2C．   D．±2D　[因為sin(π＋α)＝－，所以sin α＝，cos α＝±，tan＝＝±2.故選D.]2．已知tan θ＝2，則＋sin2θ的值為(　　)A.   B.C.   D.C　[原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，將tan θ＝2代入，得原式＝.故選C.]3．已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，則tan x＝(　　)A．－   B．C．   D．－D　[因為sin x＋cos x＝，且x∈(0，π)，所以1＋2sin xcos x＝1－，所以2sin xcos x＝－＜0，所以x為鈍角，所以sin x－cos x＝＝，結(jié)合已知解得sin x＝，cos x＝－，則tan x＝＝－.]4．若3sin α＋cos α＝0，則的值為________．　[3sin α＋cos α＝0?cos α≠0?tan α＝－，＝＝＝＝.]考點2　誘導公式的應用　應用誘導公式的一般思路(1)化大角為小角，化負角為正角；(2)角中含有加減的整數(shù)倍時，用公式去掉的整數(shù)倍．　(1)設f(α)＝(1＋2sin α≠0)，則f＝________.(2)已知cos＝a，則cos＋sin的值是________．(1)　(2)0　[(1)因為f(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.(2)因為cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.]　(1)已知角求值問題，關鍵是利用誘導公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解．轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的應用．(2)對給定的式子進行化簡或求值時，要注意給定的角之間存在的特定關系，充分利用給定的關系結(jié)合誘導公式將角進行轉(zhuǎn)化．特別要注意每一個角所在的象限，防止符號及三角函數(shù)名出錯．　1.化簡：＝______.－1　[原式＝＝＝＝－＝－·＝－1.]2．已知角α終邊上一點P(－4,3)，則的值為________．－　[原式＝＝tan α，根據(jù)三角函數(shù)的定義得tan α＝－.]考點3　同角三角函數(shù)基本關系式和誘導公式的綜合應用　求解誘導公式與同角關系綜合問題的基本思路和化簡要求基本思路①分析結(jié)構特點，選擇恰當公式；②利用公式化成單角三角函數(shù)；③整理得最簡形式化簡要求①化簡過程是恒等變換；②結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構盡可能簡單，能求值的要求出值　已知f(x)＝(n∈Z)．(1)化簡f(x)的表達式；(2)求f＋f的值．[解]　(1)當n為偶數(shù)，即n＝2k(k∈Z)時，f(x)＝＝＝＝sin2x；當n為奇數(shù)，即n＝2k＋1(k∈Z)時，f(x)＝＝＝＝＝sin2x，綜上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得f＋f＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.　(1)利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形．(2)注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響．[教師備選例題]已知－π＜x＜0，sin(π＋x)－cos x＝－.　(1)求sin x－cos x的值；(2)求的值．[解]　(1)由已知，得sin x＋cos x＝，兩邊平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－.∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，由－π＜x＜0知，sin x＜0，又sin xcos x＝－＜0，∴cos x＞0，∴sin x－cos x＜0，故sin x－cos x＝－.(2)＝　＝＝＝－.　1.已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sin α的值是(　　)A.   B.C.   D.C　[由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0.tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α為銳角，故sin α＝.]2．已知tan(π－α)＝－，且α∈，則＝________.－　[由tan(π－α)＝－，得tan α＝，則＝＝＝＝－.]3．已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，則＋的值為________．　[由sin α＋cos α＝－平方得sin αcos α＝－，∵＜α＜π，∴sin α－cos α＝＝，∴＋＝－＝＝＝.]