考點(diǎn)1　單變量不等式的證明
　單變量不等式的證明方法
(1)移項(xiàng)法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)構(gòu)造“形似”函數(shù)：對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)；把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；
(3)最值法：欲證f(x)＜g(x)，有時(shí)可以證明f(x)max＜g(x)min.
　直接將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題
　已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)a＜0時(shí)，證明f(x)≤－－2.
[解]　(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.
當(dāng)a≥0，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＜0，則當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＜0.
故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
(2)證明：由(1)知，當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在x＝－取得最大值，最大值為f＝ln－1－.
所以f(x)≤－－2等價(jià)于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.設(shè)g(x)＝ln x－x＋1，則g′(x)＝－1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)＞0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．故當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)取得最大值，最大值為g(1)＝0.所以當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)≤0.從而當(dāng)a＜0時(shí)，ln＋＋1≤0，即f(x)≤－－2.
　將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來證明不等式，其主要思想是依據(jù)函數(shù)在固定區(qū)間的單調(diào)性，直接求得函數(shù)的最值，然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接證得不等式．
　轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較
　已知f(x)＝xln x.
(1)求函數(shù)f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；
(2)證明：對(duì)一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)n x＞－成立．
[解]　(1)由f(x)＝xln x，x＞0，得f′(x)＝ln x＋1，
令f′(x)＝0，得x＝.
當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．
①當(dāng)0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜時(shí)，
f(x)min＝f ＝－；
②當(dāng)≤t＜t＋2，即t≥時(shí)，f(x)在[t，t＋2]上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(t)＝tln t.
所以f(x)min＝
(2)證明：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明xln x＞－(x∈(0，＋∞))．
由(1)可知f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取到．
設(shè)m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，
則m′(x)＝，
由m′(x)＜0得x＞1時(shí)，m(x)為減函數(shù)，
由m′(x)＞0得0＜x＜1時(shí)，m(x)為增函數(shù)，
易知m(x)max＝m(1)＝－，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取到．
從而對(duì)一切x∈(0，＋∞)，xln x≥－≥－，兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)取到，即證對(duì)一切x∈(0，＋∞)都有l(wèi)n x＞－成立．
　在證明的不等式中，若對(duì)不等式的變形無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，可以借助兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行證明．
　構(gòu)造函數(shù)證明不等式
　已知函數(shù)f(x)＝ex－3x＋3a(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R)．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)求證：當(dāng)a＞ln ，且x＞0時(shí)，＞x＋－3a.
[解]　(1)由f(x)＝ex－3x＋3a，x∈R，知f′(x)＝ex－3，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 3，
于是當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，ln 3)
ln 3
(ln 3，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

極小值

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln 3]，
單調(diào)遞增區(qū)間是[ln 3，＋∞)，
f(x)在x＝ln 3處取得極小值，極小值為f(ln 3)＝eln 3－3ln 3＋3a＝3(1－ln 3＋a)．無極大值．
(2)證明：待證不等式等價(jià)于ex＞x2－3ax＋1，
設(shè)g(x)＝ex－x2＋3ax－1，x＞0，
于是g′(x)＝ex－3x＋3a，x＞0.
由(1)及a＞ln ＝ln 3－1知：g′(x)的最小值為g′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a)＞0.
于是對(duì)任意x＞0，都有g(shù)′(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
于是當(dāng)a＞ln ＝ln 3－1時(shí)，對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)＞g(0)．
而g(0)＝0，從而對(duì)任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.
即ex＞x2－3ax＋1，故＞x＋－3a.
　若證明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，如果能證明h(x)在(a，b)上的最小值大于0，即可證明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)．
　已知函數(shù)f(x)＝aex－bln x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處
的切線方程為y＝x＋1.
(1)求a，b；
(2)證明：f(x)＞0.
[解]　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．
f′(x)＝aex－，由題意得f(1)＝，f′(1)＝－1，
所以解得
(2)證明：由(1)知f(x)＝·ex－ln x.
因?yàn)閒′(x)＝ex－2－在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f′(1)＜0，f′(2)＞0，所以f′(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一實(shí)根x0，且x0∈(1,2)．
當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，
從而當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x)取極小值，也是最小值．
由f′(x0)＝0，得ex0－2＝，則x0－2＝－ln x0.
故f(x)≥f(x0)＝ex0－2－ln x0＝＋x0－2＞2－2＝0，所以f(x)＞0.
考點(diǎn)2　雙變量不等式的證明
　破解含雙參不等式證明題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
(1)轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式．
(2)巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值．
(3)回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．
　已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax(x＞0)，a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1≠x2)．求證：x1x2＞e2.
[證明]　不妨設(shè)x1＞x2＞0，
因?yàn)閘n x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0，
所以ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，ln x1－ln x2＝a(x1－x2)，所以＝a，
欲證x1x2＞e2，即證ln x1＋ln x2＞2.
因?yàn)閘n x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，所以即證a＞，
所以原問題等價(jià)于證明＞，
即ln ＞，
令c＝(c＞1)，則不等式變?yōu)閘n c＞.
令h(c)＝ln c－，c＞1，
所以h′(c)＝－＝＞0，
所以h(c)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以h(c)＞h(1)＝ln 1－0＝0，
即ln c－＞0(c＞1)，因此原不等式x1x2＞e2得證．
　換元法構(gòu)造函數(shù)證明不等式的基本思路是直接消掉參
數(shù)a，再結(jié)合所證問題，巧妙引入變量c＝，從而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)．其解題要點(diǎn)為：
聯(lián)立消參
利用方程f(x1)＝f(x2)消掉解析式中的參數(shù)a
抓商構(gòu)元
令c＝，消掉變量x1，x2構(gòu)造關(guān)于c的函數(shù)h(c)
用導(dǎo)求解
利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)h(c)的最小值，從而可證得結(jié)論
　已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R.
(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖像在(1，f(1))處的切線方程；
(2)若a＝－2，正實(shí)數(shù)x1，x2滿足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求證：x1＋x2≥.
[解]　(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝ln x＋x，則f(1)＝1，所以切點(diǎn)為(1,1)，又因?yàn)閒′(x)＝＋1，所以切線斜率k＝f′(1)＝2，故切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)證明：當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝ln x＋x2＋x(x＞0)．
由f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，
得ln x1＋x＋x1＋ln x2＋x＋x2＋x1x2＝0，
從而(x1＋x2)2＋(x1＋x2)＝x1x2－ln(x1x2)，
令t＝x1x2(t＞0)，令φ(t)＝t－ln t，得φ′(t)＝1－＝，
易知φ(t)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以φ(t)≥φ(1)＝1，所以(x1＋x2)2＋(x1＋x2)≥1，因?yàn)閤1＞0，x2＞0，所以x1＋x2≥成立．
考點(diǎn)3　證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式問題
　函數(shù)中與正整數(shù)有關(guān)的不等式，其實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)性質(zhì)證明數(shù)列不等式，證明此類問題時(shí)常根據(jù)已知的函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)n的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和達(dá)到證明的目的．
　若函數(shù)f(x)＝ex－ax－1(a＞0)在x＝0處取極值．
(1)求a的值，并判斷該極值是函數(shù)的最大值還是最小值；
(2)證明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)(n∈N＋)．
[解]　(1)因?yàn)閤＝0是函數(shù)極值點(diǎn)，所以f′(0)＝0，所以a＝1.
f(x)＝ex－x－1，易知f′(x)＝ex－1.
當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，
當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)＜0，
故極值f(0)是函數(shù)最小值．
(2)證明：由(1)知ex≥x＋1.
即ln(x＋1)≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號(hào)成立，
令x＝(k∈N＋)，
則＞ln，即＞ln ，
所以＞ln(1＋k)－ln k(k＝1,2，…，n)，
累加得1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)(n∈N＋)．
　已知函數(shù)式為指數(shù)不等式(或?qū)?shù)不等式)，而待證不等式為與對(duì)數(shù)有關(guān)的不等式(或與指數(shù)有關(guān)的不等式)，要注意指、對(duì)數(shù)式的互化，如ex≥x＋1可化為ln(x＋1)≤x等．
　已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋.
(1)若x＞0時(shí)，f(x)＞1恒成立，求a的取值范圍；
(2)求證：ln(n＋1)＞＋＋ ＋…＋(n∈N＋).
[解]　(1)由ln(x＋1)＋＞1，得
a＞(x＋2)－(x＋2)ln(x＋1)．
令g(x)＝(x＋2)[1－ln(x＋1)]，
則g′(x)＝1－ln(x＋1)－＝－ln(x＋1)－.
當(dāng)x＞0時(shí)，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．
所以g(x)＜g(0)＝2，故a的取值范圍為[2，＋∞)．
(2)證明：由(1)知ln(x＋1)＋＞1(x＞0)，
所以ln(x＋1)＞.
令x＝(k＞0)，得ln＞，即ln＞.
所以ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln ＞＋＋＋…＋，
即ln(n＋1)＞＋＋＋…＋(n∈N＋).
課外素養(yǎng)提升③　邏輯推理——用活兩個(gè)經(jīng)典不等式
邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證．利用兩個(gè)經(jīng)典不等式解決其他問題，降低了思考問題的難度，優(yōu)化了推理和運(yùn)算過程．
(1)對(duì)數(shù)形式：x≥1＋ln x(x＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立．
(2)指數(shù)形式：ex≥x＋1(x∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號(hào)成立．進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x(x＞0，且x≠1)．
【例1】　(1)已知函數(shù)f(x)＝，則y＝f(x)的圖像大致為(　　)

(2)已知函數(shù)f(x)＝ex，x∈R.證明：曲線y＝f(x)與曲線y＝x2＋x＋1有唯一公共點(diǎn)．
(1)B　[因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?br /> 即{x|x＞－1，且x≠0}，所以排除選項(xiàng)D.
當(dāng)x＞0時(shí)，由經(jīng)典不等式x＞1＋ln x(x＞0)，
以x＋1代替x，得x＞ln(x＋1)(x＞－1，且x≠0)，
所以ln(x＋1)－x＜0(x＞－1，且x≠0)，即x＞0或－1＜x＜0時(shí)均有f(x)＜0，排除A，C，易知B正確．]
(2)證明：令g(x)＝f(x)－＝ex－x2－x－1，x∈R，
則g′(x)＝ex－x－1，
由經(jīng)典不等式ex≥x＋1恒成立可知，g′(x)≥0恒成立，
所以g(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，且g(0)＝0.
所以函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)，即兩曲線有唯一公共點(diǎn)．
【例2】　(2017·全國卷Ⅲ改編)已知函數(shù)f(x)＝x－1－aln x.
(1)若f(x)≥0，求a的值；
(2)證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，…＜e.
[解]　(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
①若a≤0，因?yàn)閒＝－＋aln 2＜0，所以不滿足題意．
②若a＞0，由f′(x)＝1－＝知，
當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)＜0；
當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0；
所以f(x)在(0，a)單調(diào)遞減，在(a，＋∞)單調(diào)遞增，
故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值點(diǎn)．
因?yàn)閒(1)＝0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)≥0，故a＝1.
(2)證明：由(1)知當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，x－1－ln x＞0.
令x＝1＋，得ln＜.
從而ln＋ln＋…＋ln＜＋＋…＋＝1－＜1.
故…＜e.
【例3】　設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－x＋1.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)求證：當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，1＜＜x.
[解]　(1)由題設(shè)知，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．
(2)證明：由(1)知f(x)在x＝1處取得最大值，最大值為f(1)＝0.
所以當(dāng)x≠1時(shí)，ln x＜x－1.
故當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，ln x＜x－1，＞1. ①
因此ln ＜－1，
即ln x＞，＜x. ②
故當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)恒有1＜＜x.


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