2021高三數(shù)學(xué)北師大版（文）一輪教師用書：第13章第2節(jié)　不等式的證明

第二節(jié)　不等式的證明[最新考綱]　通過一些簡(jiǎn)單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第213頁)1．基本不等式定理1：設(shè)a，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．定理2：如果a，b為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立．2．不等式的證明方法(1)比較法①作差比較法知道a＞b?a－b＞0，a＜b?a－b＜0，因此要證明a＞b，只要證明a－b＞0即可，這種方法稱為作差比較法．②作商比較法由a＞b＞0?＞1且a＞0，b＞0，因此當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，要證明a＞b，只要證明＞1即可，這種方法稱為作商比較法．(2)綜合法從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理，逐步推導(dǎo)，從而最后導(dǎo)出要證明的命題，這種方法稱為綜合法．(3)分析法從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個(gè)命題成立的充分條件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后達(dá)到命題所給出的條件(或者一個(gè)已證明過的定理或一個(gè)明顯的事實(shí))，這種證明方法稱為分析法．(4)放縮法在證明不等式時(shí)，有時(shí)需要將所需證明的不等式的值適當(dāng)放大(或縮小)使它由繁化簡(jiǎn)，達(dá)到證明目的，這種方法稱為放縮法．1．a2≥0(a∈R)．2．(a－b)2≥0(a，b∈R)，其變形有a2＋b2≥2ab，≥ab，a2＋b2≥(a＋b)2.3．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)比較法最終要判斷式子的符號(hào)得出結(jié)論． (　　)(2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論．????????????? ????????????? (　　)(3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)．(　　)(4)使用反證法時(shí)，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用． (　　)[答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)×二、教材改編1．設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則s與t的大小關(guān)系是(　　)A．s≥t　　　 B．s＞tC．s≤t D．s＜tA　[∵s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t.]2．若a＝－，b＝－，c＝－，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)A．a>b>c B．a>c>bC．b>c>a D．c>a>bA　[“分子”有理化得a＝，b＝，c＝，∴a>b>c.]3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝2，則＋的最小值為(　　)A．1 B．2  C．4　　　　 D．8B　[∵a，b∈R＋，且a＋b＝2，∴(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，∴＋≥＝2，即＋的最小值為2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，等號(hào)成立)．]4．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足2ab＝a＋b＋12，則ab的最小值是(　　)A．3 B．6  C．9　　　　 D．12C　[由2ab＝a＋b＋12，得2ab≥2＋12，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，化簡(jiǎn)得(－3)(＋2)≥0，解得ab≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)等號(hào)成立)，所以ab的最小值是9.](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第215頁)⊙考點(diǎn)1　比較法證明不等式1．作差比較法證明不等式的四步驟2．作商比較法證明不等式的一般步驟(1)設(shè)a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)．求證：a2＋b2≥(a＋b)．(2)已知a＞0，b＞0，證明：aabb≥(ab).[證明](1)因?yàn)?/span>(a2＋b2)－(a＋b)＝(a2－a)＋(b2－b)＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)＝(a－b)(a－b)．因?yàn)?/span>a≥0，b≥0，所以不論a≥b≥0，還是0≤a≤b，都有a－b與a－b同號(hào)，所以(a－b)(a－b)≥0，所以a2＋b2≥(a＋b)．(2)∵＝，∴當(dāng)a＝b時(shí)，＝1，當(dāng)a＞b＞0時(shí)，＞1，＞0，∴＞1；當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜＜1，＜0，則＞1.∴aabb≥(ab).(1)當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)，一般使用作差比較法．(2)當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時(shí)，一般使用作商比較法．　已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|＜|1＋ab|.[解](1)f(x)＝當(dāng)x≤－時(shí)，由f(x)＜2，得－2x＜2，解得x＞－1，即－1＜x≤－；當(dāng)－＜x＜時(shí)，f(x)＜2恒成立；當(dāng)x≥時(shí)，由f(x)＜2，得2x＜2，解得x＜1，即≤x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．(2)證明：由(1)知，當(dāng)a，b∈M時(shí)，－1＜a＜1，－1＜b＜1，從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.因此|a＋b|＜|1＋ab|.⊙考點(diǎn)2　綜合法證明不等式　綜合法證明不等式的方法(1)綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵．(2)在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的．在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件．　(2019·全國卷Ⅰ)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1.證明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[證明](1)因?yàn)?/span>a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)，等號(hào)成立．所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因?yàn)?/span>a，b，c為正數(shù)且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)，等號(hào)成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.　多次使用平均值不等式證明不等式或求函數(shù)最值時(shí)要注意等號(hào)是否能同時(shí)成立．[教師備選例題]設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d.證明：(1)若ab＞cd，則＋＞＋；(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要條件．[證明](1)因?yàn)?/span>(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由題設(shè)a＋b＝c＋d，ab＞cd，　得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋.(2)①必要性：若|a－b|＜|c－d|，則(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因?yàn)?/span>a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)，得＋＞＋.②充分性：若＋＞＋，則(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.因?yàn)?/span>a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.綜上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要條件．　(2017·全國卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.[證明](1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因?yàn)?/span>(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.⊙考點(diǎn)3　分析法證明不等式　分析法證明不等式應(yīng)注意的問題(1)注意依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論．(2)注意從要證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式．(3)注意恰當(dāng)?shù)赜煤梅赐品?hào)“?”或“要證明”“只需證明”“即證明”等詞語．　設(shè)不等式||x＋1|－|x－1||＜2的解集為A.(1)求集合A；(2)若a，b，c∈A，求證：＞1.[解](1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝由|f(x)|＜2，得－1＜x＜1，即A＝{x|－1＜x＜1}．(2)證明：要證＞1，只需證|1－abc|＞|ab－c|，即證1＋a2b2c2＞a2b2＋c2，即證1－a2b2＞c2(1－a2b2)，即證(1－a2b2)(1－c2)＞0，由a，b，c∈A，得－1＜ab＜1，c2＜1，所以(1－a2b2)(1－c2)＞0恒成立．綜上，＞1.　不等式兩邊都有絕對(duì)值號(hào)，一般通過兩邊平方去掉絕對(duì)值號(hào)．　已知a≠b，求證|－|＜|a－b|.[證明]　要證|－|＜|a－b|，只需證：(－)2＜(a－b)2，即1＋a2－2＋1＋b2＜a2－2ab＋b2，化簡(jiǎn) 1＋ab＜，當(dāng)1＋ab＜0時(shí)，顯然成立，當(dāng)1＋ab≥0時(shí)，只需證(1＋ab)2＜(1＋a2)(1＋b2)，即1＋2ab＋a2b2＜1＋a2＋b2＋a2b2，化簡(jiǎn)得a2＋b2＞2ab，即只需證a2＋b2＞2ab即可，又a≠b，所以a2＋b2＞2ab，綜上可知，當(dāng)a≠b時(shí)，|－|＜|a－b|成立．⊙考點(diǎn)4　放縮法證明不等式(1)在不等式的證明中，“放”或“縮”是常用的證明技巧，常見的放縮方法有：①變換分式的分子和分母，如＜，＞，＜，＞，上面不等式中k∈N*，k＞1；②利用函數(shù)的單調(diào)性；③利用結(jié)論，如“若0＜a＜b，m＞0，則＜”．(2)使用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)證明不等式時(shí)，常與放縮法結(jié)合在一起應(yīng)用，利用放縮法時(shí)要目標(biāo)明確，通過添、拆項(xiàng)后，適當(dāng)放縮．(1)設(shè)a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求證：|2x＋y－4|＜a.(2)設(shè)n是正整數(shù)，求證：≤＋＋…＋＜1.[證明](1)由a＞0，|x－1|＜，可得|2x－2|＜，又|y－2|＜，∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)|≤|2x－2|＋|y－2|＜＋＝a.即|2x＋y－4|＜a.(2)由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得≤＜.當(dāng)k＝1時(shí)，≤＜；當(dāng)k＝2時(shí)，≤＜；…當(dāng)k＝n時(shí)，≤＜，∴＝≤＋＋…＋＜＝1.∴原不等式成立．　在本例(2)中，為了出現(xiàn)常數(shù)，根據(jù)項(xiàng)數(shù)及不等號(hào)的方向，固定分母，達(dá)到證明的目的．　設(shè)f(x)＝x2－x＋1，實(shí)數(shù)a滿足|x－a|＜1，求證：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．[證明]　|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|＜1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，即|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．