第3講　圓錐曲線(xiàn)中的綜合問(wèn)題

　求圓錐曲線(xiàn)中的最值范圍問(wèn)題(5年2考)
考向1　構(gòu)造不等式求最值或范圍

[高考解讀]　以直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系為載體，融函數(shù)與方程，均值不等式、導(dǎo)數(shù)于一體，重在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理及等價(jià)轉(zhuǎn)化能力.
(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知點(diǎn)A(－2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿(mǎn)足直線(xiàn)AM與BM的斜率之積為－.記M的軌跡為曲線(xiàn)C.
(1)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線(xiàn)；
(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.
①證明：△PQG是直角三角形；
②求△PQG面積的最大值．
切入點(diǎn)：(1)由kAM·kBM＝－求C的方程，并注意x的范圍．
(2)①證明kPQ·kPG＝－1即可；②建立面積函數(shù)，借助不等式求解．
[解](1)由題設(shè)得·＝－，化簡(jiǎn)得＋＝1(|x|≠2)，所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左、右頂點(diǎn)．
(2)①設(shè)直線(xiàn)PQ的斜率為k，則其方程為y＝kx(k＞0)．
由得x＝±.
記u＝，則P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．
于是直線(xiàn)QG的斜率為，方程為y＝(x－u)．
由
得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0. ①
設(shè)G(xG，yG)，則－u和xG是方程①的解，故xG＝，由此得yG＝.
從而直線(xiàn)PG的斜率為＝－.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．
②由①得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面積
S＝|PQ||PG|＝＝.
設(shè)t＝k＋，則由k＞0得t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)．
因?yàn)镾＝在[2，＋∞)單調(diào)遞減，所以當(dāng)t＝2，即k＝1時(shí)，S取得最大值，最大值為.
因此，△PQG面積的最大值為.
[點(diǎn)評(píng)]　最值問(wèn)題一般最終轉(zhuǎn)化為某一個(gè)變量的函數(shù)，求最值時(shí)常用均值不等式，單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)來(lái)求，重視一般函數(shù)中有分式，高次根式在求最值問(wèn)題上的應(yīng)用.
[教師備選題]
(2014·全國(guó)卷Ⅰ)已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．
切入點(diǎn)：(1)由e＝，kAF＝可求a，b的值；
(2)設(shè)出l的方程，表示出弦長(zhǎng)|PQ|及點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的距離d，由S△OPQ＝|PQ|d建立函數(shù)關(guān)系式，并借助不等式求最值．
[解](1)設(shè)F(c,0)，由條件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程為＋y2＝1.
(2)當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意，
故設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
將y＝kx－2代入＋y2＝1得
(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
當(dāng)Δ＝16(4k2－3)>0，
即k2>時(shí)，x1,2＝.
從而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的距離d＝，
所以△OPQ的面積S△OPQ＝d|PQ|＝.
設(shè)＝t，則t>0，S△OPQ＝＝.
因?yàn)閠＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k＝±時(shí)等號(hào)成立，且滿(mǎn)足Δ>0，
所以，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)l的方程為y＝x－2或y＝－x－2.

基本不等式求最值的5種典型情況分析
(1)s＝(先換元，注意“元”的范圍，再利用基本不等式)．
(2)s＝≥(基本不等式)．
(3)s＝(基本不等式)．
(4)s＝＝(先分離參數(shù)，再利用基本不等式)．
(5)s＝＝(上下同時(shí)除以k2，令t＝k＋換元，再利用基本不等式)．

(長(zhǎng)度的最值問(wèn)題)若F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2關(guān)于直線(xiàn)x＋y－2＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．
(1)求圓C的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線(xiàn)l被橢圓E和圓C所截得的弦長(zhǎng)分別為a，b.當(dāng)ab取最大值時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．
[解](1)因?yàn)镕1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，所以圓C半徑為2，圓心C是原點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)x＋y－2＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
設(shè)C(p，q)，由得p＝q＝2，所以C(2,2)．
所以圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＝my＋2，則圓心C到直線(xiàn)l的距離d＝，所以b＝2＝，由得(5＋m2)y2＋4my－1＝0，設(shè)直線(xiàn)l與橢圓E交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝－，y1·y2＝，
a＝|AB|＝＝，
ab＝＝≤2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m＝±時(shí)等號(hào)成立．
所以當(dāng)m＝±時(shí)，ab取最大值．此時(shí)直線(xiàn)l的方程為x±y－2＝0.
考向2　構(gòu)造函數(shù)求最值或范圍

(2017·浙江高考)如圖，已知拋物線(xiàn)x2＝y(tǒng)，點(diǎn)A，B，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P(x，y)－

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