2020數(shù)學(xué)（理）二輪教師用書：第2部分專題5第2講　圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)

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第2講　圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)
[教師授課資源]
[備考指導(dǎo)]
圓錐曲線命題方向
高考中一般2道選擇、填空題，1道大題，命題時(shí)三種圓錐曲線全部考查，選擇、填空題考兩種圓錐曲線，大題考一種．
①選擇、填空題以考查圓錐曲線定義基本性質(zhì)為主，堅(jiān)持四個(gè)原則．
1°數(shù)形結(jié)合，畫圖.2°定義活用(距離轉(zhuǎn)化).3°有關(guān)結(jié)論引用.4°特殊值法，盡量不能小題大做(大量運(yùn)算).5°平面幾何知識(shí)應(yīng)用(角平分線，中位線，Rt△)．
②大題的難度有所轉(zhuǎn)化，掌握基本題型及解析幾何處理問題的基本思想．
題型：定值、定點(diǎn)、最值、范圍．
思想方法：設(shè)而不求，特殊到一般，整體代換．

2°重視圓錐曲線的切線問題．
3°重視求軌跡方程(直接法、定義法、相交點(diǎn)法、點(diǎn)差法)．
4°重視圓錐曲線的類型(焦點(diǎn)位置)．
5°圓錐曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問題，靈活應(yīng)用極坐標(biāo)．
6°重視以雙曲線漸近線為背景的題目．
7°重視向量在解析幾何中工具利用，如轉(zhuǎn)化垂直，x1x2＋y1y2，轉(zhuǎn)化銳角或鈍角．
8°重視弦長(zhǎng)公式|AB|＝|x1－x2|＝的化簡(jiǎn)技巧．
9°易忽視設(shè)直線方程時(shí)沒討論斜率k不存在情況．

[做小題——激活思維]
1．已知橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，焦距等于4，離心率為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A.＋＝1　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
C　[由題意可得2c＝4，故c＝2，又e＝＝，解得a＝2，故b＝＝2，因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1.]
2．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，則△PF1F2的面積為(　　)
A．30 B．25
C．24 D．40
C　[∵|PF1|＋|PF2|＝14，
又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6.
∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2，
∴S＝|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24.]
3．過點(diǎn)F(0,3)且和直線y＋3＝0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為(　　)
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝－12y D．x2＝12y
D　[由拋物線的定義知，過點(diǎn)F(0,3)且和直線y＋3＝0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡是以點(diǎn)F(0,3)為焦點(diǎn)，直線y＝－3為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為x2＝12y.]
4.點(diǎn)M(1,1)到拋物線y＝ax2準(zhǔn)線的距離為2，則a的值為(　　)
A． B．－
C．或－ D．－或
C　[拋物線y＝ax2化為x2＝y(tǒng)，它的準(zhǔn)線方程為y＝－，點(diǎn)M(1,1)到拋物線y＝ax2準(zhǔn)線的距離為2，可得＝2，解得a＝或－.]
5．“k＜9”是“方程＋＝1表示雙曲線”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
A　[因?yàn)榉匠蹋?表示雙曲線，所以(25－k)(k－9)＜0，所以k＜9或k＞25，所以“k＜9”是“方程＋＝1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A.]
6．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
C　[因雙曲線方程C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，
則e2＝＝＝1＋＝，
即＝，∴＝，
又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線方程為y＝±x，故選C.]
[扣要點(diǎn)——查缺補(bǔ)漏]
1．橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)

(1)定義：|PF1|＋|PF2|＝2a；如T2.
(2)焦點(diǎn)三角形的面積：S△PF1F2＝b2tan .
(3)離心率：e＝＝；如T1.
(4)焦距：2c.
(5)a，b，c的關(guān)系：c2＝a2－b2.
2．雙曲線－＝1(a，b≠0)的幾何性質(zhì)
(1)離心率e＝＝；
(2)漸近線：y＝±x.
3．拋物線的定義、幾何性質(zhì)
(1)如圖，|MF|＝|MH|.如T3，T4.

(2)已知拋物線y2＝2px(p>0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)為拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)．
①焦半徑|CF|＝x1＋；
②過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)|CD|＝x1＋x2＋p＝；
③x1x2＝，y1y2＝－p2.
④＋＝.
4．方程Ax2＋By2＝1表示的曲線
(1)表示橢圓：A＞0，B＞0且A≠B；
(2)表示圓：A＝B＞0；
(3)表示雙曲線AB＜0；如T5.
(4)表示直線：A＝0且B≠0或A≠0且B＝0.

　圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程(5年5考)

[高考解讀]　以拋物線、雙曲線、橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，以定義轉(zhuǎn)化為媒介，通過平面幾何圖形中的幾何等量關(guān)系、待定系數(shù)法、解三角形的有關(guān)知識(shí)等求得相應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和方程的求解思想.
1．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是(　　)
A．(－1,3)　　　　　 B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
A　[若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則
又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴
∴－18，∴點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，滿足橢圓的定義，∴點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓．∴2a＝10,2c＝8，即a＝5，c＝4，∴b＝3.∴C點(diǎn)的軌跡方程為＋＝1(y≠0)．故選D.]
　圓錐曲線的幾何性質(zhì)(5年10考)

[高考解讀]　該考點(diǎn)是高考的核心熱點(diǎn)之一，主要考查考生數(shù)形結(jié)合思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象的核心素養(yǎng).
1．[一題多解](2018·全國(guó)卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　)
A．y＝±x　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
A　[法一：由題意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選A.
法二：由e＝＝＝，得＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選A.]
2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　)
A. B.
C. D.
D　[由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，設(shè)|F1F2|＝2c，∵△PF1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即點(diǎn)P(2c，c)．∵點(diǎn)P在過點(diǎn)A，且斜率為的直線上，∴＝，解得＝，∴e＝，故選D.]
3．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
B　[設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，
∴不妨設(shè)A，D.
∵點(diǎn)A，D在圓x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)．
∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.]

1．橢圓、雙曲線的離心率(或范圍)的求法
求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值．
2．雙曲線的漸近線的求法及用法
(1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值．
②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程．

1．(求離心率的取值范圍)已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2，則該橢圓的離心率的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
B　[∵F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，
∴F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，c2＝a2－b2.
設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化簡(jiǎn)得x2＋y2＝c2.
聯(lián)立方程組
整理得，x2＝(2c2－a2)·≥0，
解得e≥.
又0＜e＜1，∴≤e＜1.]
2．(求離心率的值)已知橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)，雙曲線N：－＝1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為________；雙曲線N的離心率為________．
－1　2　[如圖是一個(gè)正六邊形，A，B，C，D是雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)．
∵直線AC是雙曲線N的一條漸近線，且其方程為y＝x，
∴＝.設(shè)m＝k，則n＝k，則雙曲線N的離心率e2＝＝2.
連接F1C，在正六邊形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF1F2＝30°.
設(shè)橢圓的焦距為2c，則|CF2|＝c，|CF1|＝c，再由橢圓的定義得|CF1|＋|CF2|＝2a，即(＋1)c＝2a，∴橢圓M的離心率e1＝＝＝＝－1.]
3．(圓錐曲線的性質(zhì)與函數(shù)交匯)若點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則·的取值范圍為________．
[3＋2，＋∞)　[由題意，得22＝a2＋1，即a＝，
設(shè)P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，
則·＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1
＝－，
因?yàn)閤≥，所以·的取值范圍為[3＋2，＋∞)．]
4．(與向量交匯考查幾何性質(zhì))在橢圓＋＝1上任意一點(diǎn)P，Q與P關(guān)于x軸對(duì)稱，若有·≤1，則與的夾角余弦值的范圍為________．
　[設(shè)P(x，y)，則Q點(diǎn)(x，－y)，
橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)，(，0)，
∵·≤1，∴x2－2＋y2≤1，
結(jié)合＋＝1，可得y2∈[1,2]．
故與的夾角θ滿足：
cos θ＝＝＝＝－3＋∈.]
　直線、圓與圓錐曲線的交匯問題(5年6考)

[高考解讀]　以直線與圓錐曲線或以圓與圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，考查曲線方程的求解等問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力.
1．(2013·全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為(　　)
A.＋＝1　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則
①－②得＝－.
∴＝－.
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝.
而kAB＝＝，∴＝，∴a2＝2b2，
∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3，
∴E的方程為＋＝1.]
2．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　)
A. B.
C．2 D.
A　[令雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)，則c＝.
如圖所示，由圓的對(duì)稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
得＋＝a2，∴＝，即離心率e＝.故選A.]
3．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
[解](1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k＞0)．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程為y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則

解得或
因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.

1．在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)，常涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、面積等問題．一般是先聯(lián)立方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，用設(shè)而不求，整體代入的技巧進(jìn)行求解．
2．處理圓與圓錐曲線相結(jié)合問題的注意點(diǎn)
注意圓心、半徑和平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如直徑所對(duì)的圓周角為直角，構(gòu)成了垂直關(guān)系；弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形等．
提醒：“點(diǎn)差法”是解決中點(diǎn)弦問題的捷徑，但必要時(shí)需要檢驗(yàn)．

1．(面積問題)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為(　　)
A. B.
C. D.
D　[易知直線AB的方程為y＝，與y2＝3x聯(lián)立并消去x，得4y2－12y－9＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝3，y1y2＝－.
S△OAB＝|OF|·|y1－y2|
＝×＝＝.故選D.]
2．(弦長(zhǎng)問題)若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與拋物線y＝x2＋1相切，且被圓x2＋(y－a)2＝1截得的弦長(zhǎng)為，則a＝(　　 )
A. B.
C. D.
B　[可以設(shè)切點(diǎn)為(x0，x＋1)，由y′＝2x，∴切線方程為y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x＋1，
∵已知雙曲線的漸近線為y＝±x，
∴x0＝±1，＝2，一條漸近線方程為y＝2x，圓心(0，a)到直線y＝2x的距離是＝?a＝.故選B.]
3.(最值問題)如圖，已知拋物線C1的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)(2,4)，圓C2：x2＋y2－4x＋3＝0，過圓心C2的直線l與拋物線和圓C2分別交于點(diǎn)P，Q和M，N，則|PN|＋4|QM|的最小值為(　　)
A．23 B．42
C．12 D．52
A　[由題意可設(shè)拋物線C1的方程為y2＝2px(p＞0)，
因?yàn)閽佄锞€C1過點(diǎn)(2,4)，所以16＝2p×2，解得p＝4，所以拋物線C1的方程為y2＝8x.
圓C2：x2＋y2－4x＋3＝0整理得(x－2)2＋y2＝1，
可知圓心C2(2,0)恰好是拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x＝2，所以P(2,4)，Q(2，－4)，
于是|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋|C2N|＋4|QC2|＋4|C2M|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝4＋4×4＋5＝25.
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，易知斜率不為0，可設(shè)l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，
由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
則Δ＞0，且x1x2＝4，即x2＝.
所以|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝x1＋2＋4(x2＋2)＋5＝x1＋4x2＋15＝x1＋＋15≥2＋15＝8＋15＝23，
當(dāng)且僅當(dāng)x1＝，即x1＝4時(shí)等號(hào)成立．
因?yàn)?3＜25，所以|PN|＋4|QM|的最小值為23.故選A.]