最新考綱　1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.

知 識(shí) 梳 理
1.兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2平行.
(2)兩條直線垂直
如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直.
2.兩直線相交
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對(duì)應(yīng).
相交?方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；
平行?方程組無(wú)解；
重合?方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解.
3.距離公式
(1)兩點(diǎn)間的距離公式
平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝.
特別地，原點(diǎn)O(0，0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝.
(2)點(diǎn)到直線的距離公式
平面上任意一點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行線間的距離公式
一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.
[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]
1.直線系方程
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).
2.在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在.若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無(wú)斜率，要單獨(dú)考慮.
3.在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d＝時(shí)，一定要注意將兩方程中x，y的系數(shù)分別化為相同的形式.
診 斷 自 測(cè)
1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　)
(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　)
(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.(　　)
(4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.(　　)
解析　(1)兩直線l1，l2有可能重合.
(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，則l2的斜率不存在.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心到直線y＝x＋3的距離為(　　)
A.1 B.2
C. D.2
解析　圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心坐標(biāo)為(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，則圓心到直線的距離d＝＝.
答案　C
3.(2018·濟(jì)南期中)經(jīng)過(guò)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是(　　)
A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0
解析　因?yàn)閽佄锞€y2＝2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線3x－2y＋5＝0的斜率為，所以所求直線l的方程為y＝，化為一般式，得6x－4y－3＝0.
答案　A
4.直線2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之間的距離是 .
解析　先將2x＋2y＋1＝0化為x＋y＋＝0，
則兩平行線間的距離為d＝＝.
答案　
5.(教材練習(xí)改編)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝ .
解析　由題意知 ＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
答案　1

考點(diǎn)一　兩直線的平行與垂直
【例1】 (一題多解)已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)當(dāng)l1∥l2時(shí)，求a的值；
(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí)，求a的值.
解　(1)法一　當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
當(dāng)a＝0時(shí)，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，
兩直線方程可化為l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由l1∥l2可得解得a＝－1.
綜上可知，a＝－1.
法二　由l1∥l2知
即??a＝－1.
(2)法一　當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直，故a＝1不符合；
當(dāng)a≠1時(shí)，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由l1⊥l2，得·＝－1?a＝.
法二　∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，
即a＋2(a－1)＝0，得a＝.
規(guī)律方法　1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.
2.在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.
【訓(xùn)練1】 (1)已知直線l過(guò)圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則直線l的方程是(　　)
A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
(2)設(shè)不同直線l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0.則“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析　(1)圓x2＋(y－3)2＝4的圓心為點(diǎn)(0，3)，又因?yàn)橹本€l與直線x＋y＋1＝0垂直，所以直線l的斜率k＝1.由點(diǎn)斜式得直線l：y－3＝x－0，化簡(jiǎn)得x－y＋3＝0.
(2)當(dāng)m＝2時(shí)，代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立.
當(dāng)l1∥l2時(shí)，顯然m≠0，從而有＝m－1，
解得m＝2或m＝－1，
但當(dāng)m＝－1時(shí)，兩直線重合，不符合要求，
故必要性成立，故選C.
答案　(1)D　(2)C
考點(diǎn)二　兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題
【例2】 (1)(一題多解)已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－x＋2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .
(2)(一題多解)直線l過(guò)點(diǎn)P(－1，2)且到點(diǎn)A(2，3)和點(diǎn)B(－4，5)的距離相等，則直線l的方程為 .
解析　(1)法一　聯(lián)立方程
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，則兩直線平行)
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為.又∵交點(diǎn)位于第一象限，
∴解得－＜k＜.
法二　如圖，已知直線y＝－x＋2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(4，0)，B(0，2).
而直線方程y＝kx＋2k＋1可變形為y－1＝k(x＋2)，表示這是一條過(guò)定點(diǎn)P(－2，1)，斜率為k的動(dòng)直線.
∵兩直線的交點(diǎn)在第一象限，
∴兩直線的交點(diǎn)必在線段AB上(不包括端點(diǎn))，
∴動(dòng)直線的斜率k需滿(mǎn)足kPA＜k＜kPB.
∵kPA＝－，kPB＝.
∴－＜k＜.
(2)法一　當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由題意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.
∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，也符合題意.
法二　當(dāng)AB∥l時(shí)，有k＝kAB＝－，直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
當(dāng)l過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為(－1，4).
∴直線l的方程為x＝－1.
故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案　(1)　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1
規(guī)律方法　1.求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法
求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線方程.
2.利用距離公式應(yīng)注意：(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；(2)兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為相等.
【訓(xùn)練2】 (2018·合肥調(diào)研)設(shè)l1為曲線f(x)＝ex＋x(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的切線，直線l2的方程為2x－y＋3＝0，且l1∥l2，則直線l1與l2的距離為 .
解析　由f(x)＝ex＋x，得f′(x)＝ex＋1，設(shè)l1與曲線f(x)＝ex＋x相切的切點(diǎn)為(x1，y1)，直線l2的方程為2x－y＋3＝0，且l1∥l2，∴ex1＋1＝2，解得x1＝0，y1＝1，則直線l1與l2的距離即為切點(diǎn)到l2的距離，即＝.
答案　
考點(diǎn)三　對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
【例3】 已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2).求：
(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)直線m′的方程；
(3)(一題多解)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱(chēng)的直線l′的方程.
解　(1)設(shè)A′(x，y)，再由已知
解得∴A′.
(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)必在m′上.
設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′(a，b)，
則解得M′.
設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由得N(4，3).
又∵m′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4，3)，
∴由兩點(diǎn)式得直線方程為9x－46y＋102＝0.
(3)法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，
如M(1，1)，N(4，3)，
則M，N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，N′均在直線l′上.
易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.
法二　設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)，
則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為
P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
規(guī)律方法　1.解決點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題要把握兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則線段MN的中點(diǎn)在直線l上，直線l與直線MN垂直.
2.如果直線或點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，則只需運(yùn)用中點(diǎn)公式就可解決問(wèn)題.
3.若直線l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則有如下性質(zhì)：(1)若直線l1與l2相交，則交點(diǎn)在直線l上；(2)若點(diǎn)B在直線l1上，則其關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′在直線l2上.
【訓(xùn)練3】 (一題多解)光線沿直線l1：x－2y＋5＝0射入，遇直線l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光線所在的直線方程.
解　法一　由
得
∴反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，2).
又取直線x－2y＋5＝0上一點(diǎn)P(－5，0)，設(shè)P關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′(x0，y0)，
由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.
而PP′的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，又Q點(diǎn)在l上，
∴3·－2·＋7＝0.
由得
根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x－2y＋33＝0.
法二　設(shè)直線x－2y＋5＝0上任意一點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′(x，y)，則＝－，
又PP′的中點(diǎn)Q在l上，∴3×－2×＋7＝0，由
可得P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為
x0＝，y0＝，
代入方程x－2y＋5＝0中，化簡(jiǎn)得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光線所在的直線方程為29x－2y＋33＝0.

基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時(shí)：25分鐘)
一、選擇題
1.直線2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置關(guān)系是(　　)
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能確定
解析　直線2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直線x＋2y＋n＝0的斜率為k2＝－，則k1≠k2，且k1k2≠－1.
答案　C
2.(2018·刑臺(tái)模擬)“a＝－1”是“直線ax＋3y＋3＝0和直線x＋(a－2)y＋1＝0平行”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析　依題意得，直線ax＋3y＋3＝0和直線x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要條件是解得a＝－1.
答案　C
3.(一題多解)過(guò)兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為(　　)
A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0
C.19x－3y＝0 D.3x＋19y＝0
解析　法一　由得
則所求直線方程為：y＝x＝－x，即3x＋19y＝0.
法二　設(shè)直線方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，
即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直線過(guò)點(diǎn)(0，0)，
所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，
解得λ＝－，故所求直線方程為3x＋19y＝0.
答案　D
4.直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)的直線方程是(　　)
A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋2y＋3＝0 D.x＋2y－3＝0
解析　設(shè)所求直線上任一點(diǎn)(x，y)，則它關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(2－x，y)在直線x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化簡(jiǎn)得x＋2y－3＝0.
答案　D
5.(2018·威海模擬)若直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)與直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為，則m＝(　　)
A.7 B. C.14 D.17
解析　直線l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因?yàn)樗c直線l2：2x＋6y－3＝0的距離為，所以＝，求得m＝.
答案　B
6.平面直角坐標(biāo)系中直線y＝2x＋1關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱(chēng)的直線方程是(　　)
A.y＝2x－1 B.y＝－2x＋1
C.y＝－2x＋3 D.y＝2x－3
解析　在直線y＝2x＋1上任取兩個(gè)點(diǎn)A(0，1)，B(1，3)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為M(2，1)，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為N(1，－1).由兩點(diǎn)式求出對(duì)稱(chēng)直線MN的方程為＝，即y＝2x－3.
答案　D
7.(2018·成都診斷)已知直線l1過(guò)點(diǎn)(－2，0)且傾斜角為30°，直線l2過(guò)點(diǎn)(2，0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)
A.(3，) B.(2，)
C.(1，) D.
解析　直線l1的斜率為k1＝tan 30°＝，因?yàn)橹本€l2與直線l1垂直，所以k2＝－＝－，所以直線l1的方程為y＝(x＋2)，直線l2的方程為y＝－(x－2).兩式聯(lián)立，解得即直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，).
答案　C
8.將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)重合，點(diǎn)(7，3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n等于(　　)
A. B. C. D.
解析　由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(diǎn)(7，3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，
于是解得
故m＋n＝.
答案　A

二、填空題
9.點(diǎn)(2，1)關(guān)于直線x－y＋1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 .
解析　設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x0，y0)，則
解得故所求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(0，3).
答案　(0，3)
10.若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為 .
解析　由得
∴點(diǎn)(1，2)滿(mǎn)足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
答案　－9
11.(2018·沈陽(yáng)檢測(cè))已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3，4)且與點(diǎn)A(－2，2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為 .
解析　顯然直線l的斜率不存在時(shí)，不滿(mǎn)足題意；
設(shè)所求直線方程為y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得＝，
∴k＝2或k＝－.
∴所求直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
答案　2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
12.已知入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－3，4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2，6)，則反射光線所在直線的方程為 .
解析　設(shè)點(diǎn)M(－3，4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)M′，
所以解得
又反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2，6)，
所以所求直線的方程為＝，
即6x－y－6＝0.
答案　6x－y－6＝0
能力提升題組
(建議用時(shí)：10分鐘)
13.(2018·安陽(yáng)一模)兩條平行線l1，l2分別過(guò)點(diǎn)P(－1，2)，Q(2，－3)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間距離的取值范圍是(　　)
A.(5，＋∞) B.(0，5]
C.(，＋∞) D.(0，]
解析　當(dāng)PQ與平行線l1，l2垂直時(shí)，|PQ|為平行線l1，l2間的距離的最大值，為＝，∴l(xiāng)1，l2之間距離的取值范圍是(0，].
答案　D
14.如圖所示，已知兩點(diǎn)A(4，0)，B(0，4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是(　　)
A.2 B.6
C.3 D.2
解析　易得AB所在的直線方程為x＋y＝4，由于點(diǎn)P關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為A1(4，2)，點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為A2(－2，0)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程即A1(4，2)與A2(－2，0)兩點(diǎn)間的距離.
于是|A1A2|＝＝2.
答案　A
15.設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是 .
解析　易知A(0，0)，B(1，3)且兩直線互相垂直，
即△APB為直角三角形，
∴|PA|·|PB|≤＝＝＝5.
當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|時(shí)，等號(hào)成立.
答案　5
16.若△ABC的頂點(diǎn)A(5，1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為 .
解析　由AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，又A(5，1)，
AC邊所在直線方程為2x＋y－11＝0，
聯(lián)立直線AC與直線CM方程得
解得所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(4，3).
設(shè)B(x0，y0)，AB的中點(diǎn)M為，
由M在直線2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直線x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
聯(lián)立解得
所以頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，－3).
于是直線BC的方程為6x－5y－9＝0.
答案　6x－5y－9＝0



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