模塊七　選考模塊第21講　坐標系與參數(shù)方程 典型真題研析1.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.由題設知,C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點.當l1與C2只有一個公共點時,A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故 =-或 =0.經檢驗,當 =0時,l1與C2沒有公共點;當 =-時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點.當l2與C2只有一個公共點時,A到l2所在直線的距離為2,所以=2,故 =0或 =.經檢驗,當 =0時,l1與C2沒有公共點;當 =時,l2與C2沒有公共點.綜上,所求C1的方程為y=- x +2.2.解:(1)曲線C的普通方程為+y2=1.當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0.由解得或從而C與l的交點坐標為(3,0),.(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(3cos θ,sin θ)到l的距離d=.當a≥-4時,d的最大值為,由題設得=,所以a=8;當a<-4時,d的最大值為,由題設得=,所以a=-16.綜上,a=8或a=-16.考點考法探究解答1例1　解:(1)將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x+y=5中,得ρcos θ+ρsin θ=5,整理得2ρsin=5,即直線l的極坐標方程為2ρsin=5.由ρ=4sin θ得ρ2=4ρsin θ,將ρ2=x2+y2,ρsin θ=y代入上式,得x2+y2=4y,可得x2+(y-2)2=4,即圓C的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4.(2)將θ=分別代入ρ=4sin θ,2ρsin=5,得 OA =4sin=2, OB ==5,所以 AB = OB - OA =3.【自我檢測】解:(1)圓C1的直角坐標方程為x2+y2-4x-8y=0,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得ρ2-4ρcos θ-8ρsin θ=0,所以C1的極坐標方程為ρ=4cos θ+8sin θ.易得C2的直角坐標方程為y=x.(2)分別將θ=,θ=代入ρ=4cos θ+8sin θ中,得 OM =2+4, ON =4+2,則△OMN的面積為×(2+4)×(4+2)×sin=8+5.解答2例2　解:(1)由曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),得曲線C的普通方程為+y2=1.當θ=時,直線l的普通方程為y=x-1,代入+y2=1,可得2x2-3x=0,∴x1=0,x2=,∴ AB =×=.(2)將直線l的參數(shù)方程代入+y2=1,得(cos2θ+3sin2θ)t2+2cos θ·t-2=0.設A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1t2=,∴ PA · PB =-t1·t2==∈.【自我檢測】解:(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的普通方程為2x+y-11=0.(2)可設點P,則點P到直線l的距離d= 3cos θ+4sin θ-11 = 5sin(θ+α)-11 ,其中α為銳角,且tan α=.則當sin(θ+α)=-1時,d取得最大值,最大值為;當sin(θ+α)=1時,d取得最小值,最小值為.解答3例3　解:(1)將(t為參數(shù))消去參數(shù)t,可得x-y-3=0,∴直線l的普通方程為y=x-3.由ρ=2acos,得ρ2=2ρa(cos θ-sin θ).將ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y代入上式,得x2+y2-2ax+2ay=0,即(x-a)2+(y+a)2=2a2,∴曲線C的直角坐標方程為(x-a)2+(y+a)2=2a2.(2)將代入x2+y2-2ax+2ay=0中,整理得t2+t+5-6a=0.設M,N兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=-,t1t2=5-6a.∵ MN 2=6 PM · PN ,∴(t1-t2)2=6 t1t2 ,又a>,∴t1t2<0,∴(t1-t2)2=-6t1t2,∴(t1+t2)2+2t1t2=0,即(-)2+2(5-6a)=0,解得a=1,符合題意,∴a=1.【自我檢測】解:(1)直線l的方程為x-y-2=0,即(x-2)=y.令x=t+2,y=t,則直線l的一個參數(shù)方程為(t為參數(shù)).由曲線C的極坐標方程可得ρ2(1-cos2θ)=2ρcos θ,即ρ2sin2θ=2ρcos θ,可得曲線C的直角坐標方程為y2=2x.(2)將代入y2=2x,得3t2-2t-4=0.設A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=.設點A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),則x0==2+=,y0===,故AB的中點N的坐標為.[備選理由  例1第(2)問考查兩弦長之和,其實質是極徑之和,可以寫成極角的表達式,利用三角函數(shù)求解最值,有利于強化學生的綜合分析能力與化歸轉化思想;例2考查參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應用.例1　[配例1使用  在直角坐標系xOy中,圓C的圓心為,半徑為,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求圓C的極坐標方程;(2)設M,N是圓C上兩個動點,且滿足∠MON=,求 OM + ON 的最大值.解:(1)圓C的直角坐標方程為x2+=,即x2+y2-y=0,化成極坐標方程為ρ2-ρsin θ=0,整理得ρ=sin θ.(2)設M(ρ1,θ),N,則 OM + ON =ρ1+ρ2=sin θ+sin=sin θ+cos θ=sin.由得0<θ<,所以<θ+<,故<sin≤1,即 OM + ON 的最大值為1.例2　[配例3使用  在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(其中φ為參數(shù)),曲線C2:+=1.以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線C1,C2的極坐標方程;(2)射線l:θ=α(ρ≥0)與曲線C1,C2分別交于點A,B(A,B均異于原點O),當0<α<時,求 OB 2- OA 2的最小值.解:(1)由題意得,曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,則C1的極坐標方程為ρ=2cos θ.曲線C2的極坐標方程為ρ2=.(2)聯(lián)立θ=α(ρ≥0)與C1的極坐標方程,得 OA 2=4cos2α,聯(lián)立θ=α(ρ≥0)與C2的極坐標方程,得 OB 2=,則 OB 2- OA 2=-4cos2α=-4(1-sin2α)=+4(1+sin2α)-8≥2-8=8-8(當且僅當sin α=時取等號),所以 OB 2- OA 2的最小值為8-8.  

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