2019屆二輪復(fù)習(xí)規(guī)范答題示例8　函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題學(xué)案（全國通用）

規(guī)范答題示例8　函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題典例8　(12分)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時，求a的取值范圍．審題路線圖　―→―→. 規(guī) 范 解 答·分 步 得 分 構(gòu) 建 答 題 模 板解　(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－a(x>0).若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.若a>0，則當(dāng)x∈時，f′(x)>0；當(dāng)x∈時，f′(x)<0.所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.5分所以當(dāng)a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)a>0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.6分(2)由(1)知，當(dāng)a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上無最大值，不合題意；當(dāng)a>0時，f(x)在x＝處取得最大值，最大值為f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.因此f>2a－2等價于ln a＋a－1<0.9分令g(a)＝ln a＋a－1，則g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(1)＝0.于是，當(dāng)0<a<1時，g(a)<0；當(dāng)a>1時，g(a)>0.因此，a的取值范圍是(0,1).12分第一步求導(dǎo)數(shù)：寫出函數(shù)的定義域，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).第二步定符號：通過討論確定f′(x)的符號.第三步寫區(qū)間：利用f′(x)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性.第四步求最值：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)最值. 評分細(xì)則　(1)函數(shù)求導(dǎo)正確給1分；(2)分類討論，每種情況給2分，結(jié)論1分；(3)求出最大值給2分；(4)構(gòu)造函數(shù)g(a)＝ln a＋a－1給2分；(5)通過分類討論得出a的范圍，給2分．跟蹤演練8　(2018·全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：f(x)只有一個零點．(1)解　當(dāng)a＝3時，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.當(dāng)x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(3－2，3＋2)時，f′(x)<0.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(3－2，3＋2)．(2)證明　因為x2＋x＋1>0在R上恒成立，所以f(x)＝0等價于－3a＝0.設(shè)g(x)＝－3a，則g′(x)＝≥0在R上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．故g(x)至多有一個零點，從而f(x)至多有一個零點．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一個零點．綜上，f(x)只有一個零點．