2018二模匯編高考最后沖刺講義——函數(shù)

一、考綱解讀：
內(nèi)容
要求
記憶水平
解釋性理解水平
探究性理解水平









一
、
函數(shù)及其基本性質(zhì)
函數(shù)的
有關(guān)概念

理解函數(shù)的概念
熟悉函數(shù)表達(dá)的解析法、列表法和圖像法
懂得函數(shù)的抽象記號(hào)以及函數(shù)定義域和值域的集合表示
掌握求函數(shù)定義域的基本方法
在簡(jiǎn)單情形下能通過(guò)觀(guān)察和分析確定函數(shù)的值域
函數(shù)的運(yùn)算

理解兩個(gè)函數(shù)的和與積的概念

函數(shù)關(guān)系
的建立

會(huì)分析變量并建立函數(shù)關(guān)系
能根據(jù)不同問(wèn)題靈活地用解析法、列表法和圖像法來(lái)表示變量之間的關(guān)系
會(huì)建立具有實(shí)際背景的簡(jiǎn)單問(wèn)題的函數(shù)模型
函數(shù)的
基本性質(zhì)

能用“二分法”求函數(shù)的零點(diǎn)
能利用函數(shù)的奇偶性描繪函數(shù)的圖像
能從解析的角度理解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)、最大和最小值等基本性質(zhì)

能對(duì)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)、最大和最小值等基本性質(zhì)進(jìn)行解析研究
掌握函數(shù)的基本性質(zhì)以及反映這些基本性質(zhì)的圖像特征
掌握研究函數(shù)性質(zhì)的方法
會(huì)用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題


內(nèi)容
要求
記憶水平
解釋性理解水平
探究性理解水平
二
、
指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
簡(jiǎn)單的
冪函數(shù)、
二次函數(shù)
的性質(zhì)
知道冪函數(shù)的概念（所研究的冪函數(shù)的冪指數(shù)）

掌握簡(jiǎn)單的冪函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)
指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

理解指數(shù)函數(shù)的意義
理解指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值
掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖像
對(duì)數(shù)

理解對(duì)數(shù)的意義
初步掌握換底公式的基本運(yùn)用
掌握積、商、冪的對(duì)數(shù)的性質(zhì)
會(huì)用計(jì)算器求對(duì)數(shù)
反函數(shù)


掌握互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系
對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

理解對(duì)數(shù)函數(shù)的意義
理解對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值
掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖像
指數(shù)方程
和對(duì)數(shù)方程

理解指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程的概念
初步掌握求指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程近似解的常用方法，如圖像法、逼近法或使用計(jì)算器等
會(huì)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程
會(huì)利用函數(shù)的性質(zhì)求解指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程以及求方程的近似解
體會(huì)函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系
函數(shù)的應(yīng)用


會(huì)建立函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題

二、知識(shí)梳理：
1、函數(shù)的概念理解：對(duì)應(yīng)關(guān)系中需要唯一的y值，掌握函數(shù)的解析法與圖像法、分段函數(shù)問(wèn)題

［舉例1 （2014長(zhǎng)寧區(qū)一模18）函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，變?dòng)時(shí)，方程表示的圖形可以是 （ B ）

a
b
O
-4
4
a
b
O
4
-4

a
b
O

4
-4
a
b
O
-4
4

A． B． C． D．

[舉例2 （2013楊浦區(qū)二模14題）函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D像上任一點(diǎn)滿(mǎn)足．
① 函數(shù)一定是偶函數(shù)；
② 函數(shù)可能既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；
③ 函數(shù)可以是奇函數(shù)；
④ 函數(shù)如果是偶函數(shù)，則值域是或；
⑤ 函數(shù)值域是，則一定是奇函數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)是 （填上所有正確的序號(hào)）．
【答案】②③⑤

2、奇函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意滿(mǎn)足；偶函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意滿(mǎn)足.注意：使用函數(shù)奇偶性的定義解題時(shí)，得到的是關(guān)于變量的恒等式而不是方程.奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；若函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則此函數(shù)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；反之，若一函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù).若是奇函數(shù)且存在，則；反之不然.
［舉例1 若函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)＿＿＿＿＿＿＿；
分析：注意到有意義，必有，代入得.這種特值法在解填空、選擇題時(shí)若能靈活運(yùn)用，則事半功倍.
[舉例2 若函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則此函數(shù)的值域是＿.
分析：函數(shù)是偶函數(shù)，必有，得；又由是偶函數(shù)，因而.
即，所以此函數(shù)的值域?yàn)?


3、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間內(nèi)增減性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間內(nèi)增減性相反.若函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則它在對(duì)稱(chēng)軸的兩側(cè)的增減性相反；此時(shí)函數(shù)值的大小取決于變量離對(duì)稱(chēng)軸的遠(yuǎn)近.解“抽象不等式（即函數(shù)不等式）”多用函數(shù)的單調(diào)性，但必須注意定義域.
［舉例 若函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)
滿(mǎn)足：，求的取值范圍.
分析：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，等價(jià)于不等式，又此函數(shù)在上遞增，則在遞減.所以，解得.

4、要掌握函數(shù)圖像幾種變換：對(duì)稱(chēng)變換、翻折變換、平移變換.會(huì)根據(jù)函數(shù)的圖像，作出函數(shù)的圖像.（注意：圖像變換的本質(zhì)在于變量對(duì)應(yīng)關(guān)系的變換）；要特別關(guān)注的圖像.
［舉例1 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)下列變換得到的：先將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（或?qū)⒑瘮?shù)的圖像向上平移1個(gè)單位）得到函數(shù)的圖像，再將函數(shù)的圖像作關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)得到函數(shù)的圖像，再將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，再將函數(shù)的圖像向下平移1個(gè)單位得到函數(shù)，最后將函數(shù)的圖像在軸下方部分翻折到軸上方得到函數(shù)的圖像.注意在變化過(guò)程中函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的變化（尤其是與軸的交點(diǎn)不要搞錯(cuò)），從圖像上可以看出此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是與.
需要注意的是：函數(shù)圖像變化過(guò)程：與變化過(guò)程：不同.前者是先作關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后平移，而后者是先平移后再作關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).

［舉例2 若函數(shù)有四個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
答案：。

5、數(shù)與形的結(jié)合：研究方程根的個(gè)數(shù)、超越方程（不等式）的解（特別是含有參量的）、二次方程根的分布、二次函數(shù)的值域、三角函數(shù)的性質(zhì)（包括值域）、含有絕對(duì)值的函數(shù)及分段函數(shù)的性質(zhì)（包括值域）等問(wèn)題常利用函數(shù)圖像來(lái)解決.但必須注意的是作出的圖形要盡可能準(zhǔn)確：即找準(zhǔn)特殊的點(diǎn)（函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、拐點(diǎn)、極值點(diǎn)等）、遞增遞減的區(qū)間、最值等.
［舉例1 已知函數(shù)，若不等式的解集不為空集，則實(shí)數(shù)的
取值范圍是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.


O

1

分析：不等式的解集不為空集，亦即函數(shù)的圖像上有點(diǎn)在函數(shù)的圖像的上方. 函數(shù)的圖像是軸上方的半支拋物線(xiàn)，
函數(shù)的圖像是過(guò)點(diǎn)斜率為的直線(xiàn).
當(dāng)時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，由圖像知：.
（注意圖中的虛線(xiàn)也滿(mǎn)足題義）



1
-1


O

[舉例2 若曲線(xiàn)與直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，則應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足的條件是 .
分析：曲線(xiàn)是由與組成，它們
與軸的交點(diǎn)為和，圖像如圖（實(shí)線(xiàn)部分）.可以看出若直線(xiàn)
與曲線(xiàn)的圖像沒(méi)有公共點(diǎn)，此直線(xiàn)必與軸平行，所以，.




[舉例3 設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意，都有且當(dāng)時(shí)，．若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
．； ．； ．； ．．
答案：D
[舉例4 ，若互不相同，
且，則的取值范圍是
答案：
詳解：根據(jù)題意，如圖所示，，，，所以答案為

教法指導(dǎo)：這類(lèi)題出現(xiàn)較多，典型的數(shù)形結(jié)合題型，要讓學(xué)生熟悉各類(lèi)函數(shù)圖象，以及相應(yīng)的性質(zhì)，
尤其是對(duì)稱(chēng)性和周期性；在草稿紙上作圖的時(shí)候，雖然是草圖，但有必要做出一些特殊點(diǎn)
進(jìn)行定位；寫(xiě)區(qū)間的時(shí)候，務(wù)必考慮區(qū)間的開(kāi)閉情況


6、反函數(shù)： 求解過(guò)程及抽象理解，性質(zhì)關(guān)系及存在反函數(shù)的充要條件
［舉例1 函數(shù)，（），若此函數(shù)存在反函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿.
分析：由函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是定義域與值域中的元素一一對(duì)應(yīng)，平行于軸的直線(xiàn)與函數(shù)的圖像至多只有一個(gè)交點(diǎn).又由二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)知：或必存在反函數(shù)，或必不存在反函數(shù).當(dāng)時(shí)如何討論？注意到函數(shù)在區(qū)間上遞減，在上遞增，所以只要或即可.亦即或.綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
［舉例2 函數(shù)的反函數(shù)為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：令，則.因?yàn)?，所以?br /> 則，.又原函數(shù)的值域?yàn)?，所以原函?shù)的反函數(shù)
為.（若是從反函數(shù)表達(dá)式得求得就不是反函數(shù)的定義域）.

［舉例3 設(shè)函數(shù)存在反函數(shù),且函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,2)，則函數(shù)的圖象一定過(guò)點(diǎn) .（-1，2）

［舉例4 已知是單調(diào)減函數(shù)，若將方程與的解分別稱(chēng)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)．則“是的不動(dòng)點(diǎn)”是“是的穩(wěn)定點(diǎn)”的 （　充分非必要　）條件
［舉例5 已知函數(shù)定義在R上,存在反函數(shù),且,若的反函數(shù)是,則=
答案：-1981
分析先對(duì)反解得出原函數(shù)為與為同一函數(shù)，即可得出關(guān)系

7、單調(diào)性的判別與證明，用定義證明函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵步驟往往是因式分解.記住并會(huì)證明：?jiǎn)握{(diào)性的應(yīng)用
函數(shù)的單調(diào)性.
[舉例 已知函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
分析：函數(shù)稱(chēng)為“耐克”函數(shù)，由基本不等式知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.時(shí)，函數(shù)遞減；時(shí)，函數(shù)遞增.記住此結(jié)論在解選擇、
填空等小題時(shí)用起來(lái)比較方便.函數(shù)在上遞增，則，得.
但若是大題推理就不能這樣描述性的說(shuō)明，必需要按函數(shù)單調(diào)性的定義有嚴(yán)格的論證.
任設(shè)且.，由函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，
則，而，則.所以對(duì)于且
恒成立，因，故.
需要說(shuō)明的是：在考試中若“小題大做”則浪費(fèi)時(shí)間，因?yàn)椤靶☆}”只要結(jié)果；而“大題小做”則失分，
因?yàn)椤按箢}”需要嚴(yán)格的論證過(guò)程.


8、基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)


［舉例1 求函數(shù)在區(qū)間的最值.
分析：求開(kāi)口向上的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值要根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系分三種情況進(jìn)行討論，但求開(kāi)口向上的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值只要根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸之間的距離分兩種情況進(jìn)行討論即可.
，.

［舉例2 已知，函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求使成立的的集合；
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
【解答】（Ⅰ）由題意，. …………………………………………1分

當(dāng)時(shí)，，解得； ……………………………2分
當(dāng)時(shí)，，解得. ……………………………3分
綜上，所求解集為……………………………………………………4分
（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，其圖像是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸是，
∵，∴，
∴……………………………………………………6分
② 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[1,2 上，，……8分
③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[1,2 上，，其圖像是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸是，
當(dāng)即時(shí)，…………10分
當(dāng)即時(shí)，
∴綜上， …………………………………………12分

［舉例3 已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)．
（1）若（），試求的取值范圍；
（2）若，，求函數(shù)的最小值．

（1）即，又，2分
所以，從而的取值范圍是． ……5分
（2），令，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，8分
由解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是； ……11分
下面求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值．
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)．所以函數(shù)的最小值為．
[當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)的證明：任取，，因?yàn)?，，所以，，由單調(diào)性的定義函數(shù)在上為減函數(shù)．
于是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值．

9、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意條件：一正、二定、三相等）；②二次函數(shù)；③單調(diào)性；④逆求法（包括判別式法）；⑤換元法；⑥數(shù)形結(jié)合.一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻時(shí)，常用函數(shù)的單調(diào)性；求二次函數(shù)（自變量受限制）的值域，先配方、再利用圖像、單調(diào)性等；求分式函數(shù)的值域（自變量沒(méi)有限制）常用“逆求”（即判別式法）；求分式函數(shù)的值域（自變量受限制）通常分子、分母同除一個(gè)式子，變分子（分母）為常數(shù).
［舉例1 已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的值.
分析：，則，又此二次函數(shù)開(kāi)口向下，則有.知.注意到：開(kāi)口向下的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值是區(qū)間一端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；同樣開(kāi)口向上的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值也是區(qū)間一端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.
[舉例2 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.
分析：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域不是一切實(shí)數(shù)，用判別式法所求的結(jié)果不一定是正確.可利用換元轉(zhuǎn)化成基本不等式型的應(yīng)用.設(shè)，則，.當(dāng)時(shí)，取最小值4；當(dāng)時(shí)，取最大值.所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.注意：此類(lèi)函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題在解幾的最值中經(jīng)常涉及，要能熟練地掌握其解法.


10、遇到含參不等式（或含參方程）求其中某個(gè)參數(shù)的取值范圍通常采用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求某函數(shù)的最大值（或最小值）；但是若該參數(shù)分離不出來(lái)（或很難分離），那么也可以整體研究函數(shù)的最值.特別注意：雙變量問(wèn)題在求解過(guò)程中應(yīng)把已知范圍的變量作為主變量，另一個(gè)作為參數(shù).
［舉例
（1）已知不等式對(duì)于）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（2）若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
分析：（1）由得：對(duì)于）恒成立，因，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以有.
（2）注意到對(duì)于恒成立是關(guān)于的一次不等式.不妨設(shè)，則在上單調(diào)遞減，則問(wèn)題等價(jià)于，所以或，則取值范圍為.

（3）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿＿＿＿.
答案：
（4）已知，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____
答案：（-8,2）


11、重視應(yīng)用題

［舉例1 （2013閘北二模理8）某商場(chǎng)在節(jié)日期間舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，規(guī)定：
（1）若所購(gòu)商品標(biāo)價(jià)不超過(guò)200元，則不給予優(yōu)惠；
（2）若所購(gòu)商品標(biāo)價(jià)超過(guò)200元但不超過(guò)500元，則超過(guò)200元的部分給予9折優(yōu)惠；
（3）若所購(gòu)商品標(biāo)價(jià)超過(guò)500元，其500元內(nèi)（含500元）的部分按第（2）條給予優(yōu)惠，超過(guò)500元的部分給予8折優(yōu)惠．
某人來(lái)該商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)一件家用電器共節(jié)省330元，則該件家電在商場(chǎng)標(biāo)價(jià)為　　 ?。?br /> 【答案】


［舉例2 據(jù)測(cè)算：2011年，某企業(yè)如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，那么某一種產(chǎn)品的銷(xiāo)售量只能是1萬(wàn)件；如果搞促銷(xiāo)活動(dòng)，那么該產(chǎn)品銷(xiāo)售量（亦即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量）萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元（）滿(mǎn)足（為常數(shù)）．已知2011年生產(chǎn)該產(chǎn)品的前期投入需要8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，企業(yè)將每件該產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（定價(jià)不考慮促銷(xiāo)成本）．
（1）若2011年該產(chǎn)品的銷(xiāo)售量不少于2萬(wàn)件，則該產(chǎn)品年促銷(xiāo)費(fèi)用最少是多少？
（2）試將2011年該產(chǎn)品的年利潤(rùn)（萬(wàn)元）表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用（萬(wàn)元）的函數(shù)，并求2011年的最大利潤(rùn)．

11．解：（1）由題意可知，當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)件），由可得．
所以．………………………………………………………………………….3分
由題意，有，解得．
所以，則該產(chǎn)品年促銷(xiāo)費(fèi)用最少是1萬(wàn)元． ………………………………………….4分
（2）由題意，有每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為（元），
所以，2011年的利潤(rùn)

． ……………………………………………….4分
因?yàn)椋?br /> 所以， ………………………………………4分
當(dāng)且僅當(dāng)，即（萬(wàn)元）時(shí)，利潤(rùn)最大為21萬(wàn)元．…………………..1分

圖1



















圖2
［舉例3 如圖1，，是某地一個(gè)湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線(xiàn)段和曲線(xiàn)段分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤.為觀(guān)光旅游的需要，擬過(guò)棧橋上某點(diǎn)分別修建與，平行的棧橋、，且以、為邊建一個(gè)跨越水面的三角形觀(guān)光平臺(tái).建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，測(cè)得線(xiàn)段的方程是，曲線(xiàn)段的方程是，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，記.（題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為米，棧橋和防波堤都不計(jì)寬度）
（1）求的取值范圍；
（2）試寫(xiě)出三角形觀(guān)光平臺(tái)面積關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出該面積的最小值

解：（1）由題意，得在線(xiàn)段CD：上，即，
又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M要分別修建與OA、OB平行的棧橋MG、M ，
所以；.…………………………………………………………………2分.
；………………………4分
所以的取值范圍是..………………………………………………6分
（2）由題意，得，..…………………………………………8分
所以
則，..……………………………10分
因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，..………12分
所以當(dāng)時(shí)，三角形觀(guān)光平臺(tái)的面積取最小值為225平方米 .………14分

三、2018年二模匯編：


四、直擊高考：
1、填空題
1、（2009年上海高考理14）將函數(shù)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，得到曲線(xiàn).若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，曲線(xiàn)都是一個(gè)函數(shù)的圖像，則的最大值為_(kāi)____.
答案：
解析：由得：（x－3）2＋（y＋2）2＝13，，
它的圖象是以（3，－2）為圓心，為半徑的一段圓弧，
設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與曲線(xiàn)C相切的直線(xiàn)為y＝x，當(dāng)θ＝0時(shí)， ＝－＝，此時(shí)直線(xiàn)的傾斜角為β，
即tanβ＝，當(dāng)切線(xiàn)與y軸重合時(shí)，曲線(xiàn)上的點(diǎn)滿(mǎn)足函數(shù)的定義，即是一個(gè)函數(shù)的圖象，再逆時(shí)針
旋轉(zhuǎn)時(shí)，曲線(xiàn)不再是一個(gè)函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)角為90°－β，則tan（90°－β）＝，即θ＝
2、（2009年上海高考文1）函數(shù)的反函數(shù)_____________.
答案：
解析：由y＝x3+1，得x＝，將y改成x，x改成y可得答案.
3、（2010年上海高考理8）對(duì)任意不等于1的正數(shù)a，函數(shù)f(x)=的反函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 .
答案：（0，-2）
解析：f(x)=的圖像過(guò)定點(diǎn)（-2,0），所以其反函數(shù)的圖像過(guò)定點(diǎn)（0，-2）
4、（2010年上海高考文9）函數(shù)的反函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 .
答案：（0，-2）
解析：法一：函數(shù)的反函數(shù)為，另x=0，有y=-2
法二：函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)為（-2,0），利用對(duì)稱(chēng)性可知，函數(shù)的反函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)為（0，-2）
5、（2011年上海高考理1）函數(shù)的反函數(shù)為 .
答案：
6、（2011年上海高考理13）設(shè)是定義在上、以1為周期的函數(shù)，若在上的值域?yàn)?，則在區(qū)間上的值域?yàn)? 。
答案：
7、（2011年上海高考文2）若函數(shù)的反函數(shù)為，則
答案：
8、（2011年上海高考文14）設(shè)是定義在上、以1為周期的函數(shù)，若在上的值域?yàn)?，則在區(qū)間上的值域?yàn)?
答案：
9、（2012年上海高考理7）已知函數(shù)（為常數(shù)）.若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是 .
答案：
解析：根據(jù)函數(shù)看出當(dāng)時(shí)函數(shù)增函數(shù)，而已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以的取值范圍為： .
10、（2012年上海高考理9）已知是奇函數(shù)，且，若，
則 .
答案：
解析：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以 .
11、（2012年上海高考理13）已知函數(shù)的圖象是折線(xiàn)段，其中、、，函數(shù)（）的圖象與軸圍成的圖形的面積為 .
答案：
12、（2012年上海高考文6）方程的解是 .
答案：
13、（2012年上海高考文9）已知是奇函數(shù)，若且，則 .
答案：
14、（2012年上海高考文13）已知函數(shù)的圖像是折線(xiàn)段，其中、、，函數(shù)（）的圖像與軸圍成的圖形的面積為 .
答案：
15、（2013年上海高考理6）方程的實(shí)數(shù)解為_(kāi)_______
答案：
16、（2013年上海高考文8）方程的實(shí)數(shù)解為 ．
答案：
17、（2013年上海高考文13）設(shè)常數(shù)，若對(duì)一切正實(shí)數(shù)成立，則的取值范圍為 ．
答案：
18、（2013年上海高考理12）設(shè)為實(shí)常數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)一切成立，則的取值范圍為_(kāi)_______
答案：
19、（2013年上海高考理14）對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)，記，已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)有反函數(shù)，且，若方程有解，則
答案：2

20、（2014年上海高考理4）設(shè) 若，則的取值范圍為 ．

答案：
21、（2014年上海高考理9）若，則滿(mǎn)足的的取值范圍是 ．
答案：
22、（2014年上海高考文3）設(shè)常數(shù)，函數(shù)．若，則 ．
答案：
23、（2014年上海高考文9）設(shè) 若是的最小值，則的取值范圍為 ．

答案：

24、（2014年上海高考文11）若，則滿(mǎn)足的的取值范圍是 ．

答案：

25、（2015年上海高考文理7）方程的解為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，則

【考點(diǎn)定位】解指對(duì)數(shù)不等式
26、（2015年上海高考問(wèn)4）設(shè)為的反函數(shù)，則 ___________.
分析：考查了反函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，較為基礎(chǔ)。
答案：
27、（2015年上海高考理10）設(shè)為，的反函數(shù)，則的最大值為 ．
【答案】
28、（2016年上海高考理5）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則的反函數(shù)_____
分析：考查了反函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，較為基礎(chǔ)。
答案：

【考點(diǎn)定位】求反函數(shù)
29、（2017年上海高考理8）定義在上的函數(shù)的反函數(shù)為，若
為奇函數(shù)，則的解為
【答案】-8
【解析】，∴的解為

2、選擇題
1、（2010年上海高考理17）若是方程的解，則屬于區(qū)間 （ ）
A．(,1) B．(,) C．(,) D．(0,)
答案：C
2、（2010年上海高考文17）若是方程式 的解，則屬于區(qū)間 （ ）
A．（0，1） B．（1，1.25） C．（1.25，1.75） D．（1.75，2）
答案：D
3、（2011年上海高考理16）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為 （ ）
A． B． C． D．
答案：
4、（2011年上海高考文15）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為 （ ）
A． B． C． D．
答案：
5、（2013年上海高考文15）函數(shù)的反函數(shù)為，則的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：

6、（2014年上海高考理18）設(shè) 若是的最小值，則的取值范圍為（ ）
(A) (B) (C) (D)
7、（2016年上海高考理18）設(shè)、、是定義域?yàn)榈娜齻€(gè)函數(shù)，對(duì)于命題：①若、、均為增函數(shù)，則、、中至少有一個(gè)增函數(shù)；②若、、均是以為周期的函數(shù)，則、、均是以為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）
、①和②均為真命題、①和②均為假命題
、①為真命題，②為假命題、①為假命題，②為真命題
答案：

3、解答題
1、（2011年上海高考理20）已知函數(shù)，其中常數(shù)滿(mǎn)足。
⑴ 若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
⑵ 若，求時(shí)的取值范圍。
解析：⑴ 當(dāng)時(shí)，任意，則
∵ ，，
∴ ，函數(shù)在上是增函數(shù)。
當(dāng)時(shí)，同理，函數(shù)在上是減函數(shù)。
⑵
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則.
2、（2011年上海高考文21）已知函數(shù)，其中常數(shù)滿(mǎn)足。
⑴ 若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；[from:www.x 100.
⑵ 若，求時(shí)折取值范圍。
解析：⑴ 當(dāng)時(shí)，任意，則
∵ ，，
∴ ，函數(shù)在上是增函數(shù)。
當(dāng)時(shí)，同理，函數(shù)在上是減函數(shù)。
⑵
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則.
3、（2012年上海高考理20文20）．已知函數(shù).
（1）若，求的取值范圍；
（2）若是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有，
求函數(shù)的反函數(shù).
解析：（1）由，得.
由得.
因?yàn)椋裕?
由得.
（2）當(dāng)x?[1,2 時(shí)，2-x?[0,1 ，因此
.
由單調(diào)性可得.
因?yàn)?，所以所求反函?shù)是，.
4、（2013年上海高考理20）甲廠(chǎng)以x千克/小時(shí)的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得利潤(rùn)是元.
(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，求x的取值范圍；
(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠(chǎng)應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn).
解析： (1)根據(jù)題意，
又，可解得
(2)設(shè)利潤(rùn)為元，則
故時(shí)，元．
5、（2013年上海高考文20）甲廠(chǎng)以千米/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是元．
（1）求證：生產(chǎn)千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為；
（2）要使生產(chǎn)千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠(chǎng)應(yīng)該如何選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤(rùn)．
解析：
（1）生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品，所用的時(shí)間是小時(shí)
所獲得的利潤(rùn)為100
所以生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為100a元
（2）生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品，獲得的利潤(rùn)為90000，
1≤x≤10,記?（x）=
則?（x）=
獲得最大利潤(rùn)90000元。
因此甲廠(chǎng)應(yīng)以6千克/小時(shí)的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤(rùn)457500元。
6、（2009年上海高考理20文20）有時(shí)可用函數(shù)
描述學(xué)習(xí)某學(xué) 知識(shí)的掌握程度，其中表示某學(xué) 知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)（），表示對(duì)該學(xué) 知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)與學(xué) 知識(shí)有關(guān)。
（1） 證明：當(dāng)時(shí)，掌握程度的增加量總是下降； 學(xué)
（2） 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué) 甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的的取值區(qū)間分別為,,。當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué) 知識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85 ，請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué) 。
解析：（1）當(dāng)
而當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，且>0
故單調(diào)遞減
當(dāng)，掌握程度的增長(zhǎng)量總是下降
（2）由題意可知0.1+15ln=0.85
整理得
解得
由此可知，該學(xué) 是乙學(xué)
7、（2009年上海高考理22）已知函數(shù)的反函數(shù)。定義：若對(duì)給定的實(shí)數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱(chēng)滿(mǎn)足“和性質(zhì)”；若函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱(chēng)滿(mǎn)足“積性質(zhì)”。
（1） 判斷函數(shù)是否滿(mǎn)足“1和性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；
（2） 求所有滿(mǎn)足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；
（3） 設(shè)函數(shù)對(duì)任何，滿(mǎn)足“積性質(zhì)”。求的表達(dá)式。
解析：（1）函數(shù)的反函數(shù)是
而其反函數(shù)為
故函數(shù)不滿(mǎn)足“1和性質(zhì)”
（2）設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足“2和性質(zhì)”，

而得反函數(shù)
由“2和性質(zhì)”定義可知=對(duì)恒成立
即所求一次函數(shù)為
（3）設(shè)，，且點(diǎn)在圖像上，則在函數(shù)圖象上，
故，可得，

令，則。，即。　　　
綜上所述，，此時(shí)，其反函數(shù)就是，
而，故與互為反函數(shù) .
8、（2010年上海高考理22）若實(shí)數(shù)、、滿(mǎn)足，則稱(chēng)比遠(yuǎn)離.
（1）若比1遠(yuǎn)離0，求的取值范圍；
（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、，證明：比遠(yuǎn)離；
（3）已知函數(shù)的定義域.任取，等于和中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值.寫(xiě)出函數(shù)的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）.
解析：(1) ；
(2) 對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，有，，
因?yàn)椋?br /> 所以，即a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離；

9、（2010年上海高考文22）若實(shí)數(shù)、、滿(mǎn)足，則稱(chēng)比接近.
（1）若比3接近0，求的取值范圍；
（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、，證明：比接近；
（3）已知函數(shù)的定義域.任取，等于和中接近0的那個(gè)值.寫(xiě)出函數(shù)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）.
解析：(1) x?(-2,2)；
(2) 對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，有，，
因?yàn)椋?br /> 所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；
(3) , ? ，
f(x)是偶函數(shù)，f(x)是周期函數(shù)，最小正周期T=p，函數(shù)f(x)的最小值為0，
函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減， ? ．


10、（2014年上海高考文理20）
設(shè)常數(shù)，函數(shù)．
（1） 若，求函數(shù)的反函數(shù)；
（2） 根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．

[解 ：
（1）因?yàn)椋?，得或，且?br /> 因此，所求反函數(shù)為，．
（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，故函?shù)是偶函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br /> ，故函數(shù)為奇函數(shù)；
當(dāng)且時(shí)，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，
故函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
11、（2015年上海高考理23）（本題滿(mǎn)分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分.
對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在正常數(shù)，使得是以為周期的函數(shù)，則稱(chēng)為余弦周期函數(shù)，且稱(chēng)為其余弦周期.已知是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域?yàn)?設(shè)單調(diào)遞增，，.
（1）驗(yàn)證是以為周期的余弦周期函數(shù)；
（2）設(shè)．證明對(duì)任意，存在，使得；
（3）證明：“為方程在上得解”的充要條件是“為方程在上有解”，并證明對(duì)任意都有.
【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析（3）詳見(jiàn)解析 學(xué)優(yōu)高考

（2）由于的值域?yàn)?，所以?duì)任意，都是一個(gè)函數(shù)值，即有，使得. 學(xué)優(yōu)高考
若，則由單調(diào)遞增得到，與矛盾，所以.同理可證.故存在使得.
（3）若為在上的解，則，且，
，即為方程在上的解.
同理，若為方程在上的解，則為該方程在上的解.
以下證明最后一部分結(jié)論.
由（2）所證知存在，使得，，，，，.

而，故.
類(lèi)似地，當(dāng)，，，時(shí)，有.
結(jié)論成立.
【考點(diǎn)定位】新定義問(wèn)題
212、（2015年上海高考文20）（本題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，
（1） 根據(jù)的不同取值，判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2） 若，判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由。
分析：比較簡(jiǎn)單的一類(lèi)奇偶性的判斷和證明，首先要注意本題要求先判斷，所以解題時(shí)要把結(jié)論寫(xiě)在前面，然后再去證明；第二問(wèn)考查了函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，及時(shí)含有參數(shù)，也比較容易能夠判別符號(hào)?？傮w來(lái)說(shuō)本題考查的知識(shí)點(diǎn)偏基礎(chǔ)。
答案：（1）時(shí)，為奇函數(shù)；
時(shí)，非奇非偶。
（2）單調(diào)遞增。

13、（2016年上海高考理22）已知，函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；
（2）若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個(gè)元素，求的取值范圍；
（3）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求的取值范圍.
解：（1）由，得，解得．
（2），，
當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足題意．
當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足題意．
當(dāng)且時(shí)，，，．
是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)，即；
是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)，即．
于是滿(mǎn)足題意的． 綜上，的取值范圍為．
（3）當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞減．
函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，．
即，對(duì)任意
成立．
因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，時(shí)，
有最小值，由，得． 故的取值范圍為．

14、（2017年上海高考理21）設(shè)定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)于任意的、，當(dāng)時(shí)，都有.
（1）若，求的取值范圍；
（2）若為周期函數(shù)，證明：是常值函數(shù)；
（3）設(shè)恒大于零，是定義在上、恒大于零的周期函數(shù)，是的最大值.
函數(shù). 證明：“是周期函數(shù)”的充要條件是“是常值函數(shù)”.


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