2020年吉林省長春市中考數(shù)學試卷解析版-試卷下載-教習網(wǎng)

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
1．（3分）如圖，數(shù)軸上被墨水遮蓋的數(shù)可能為（　?。?br />
A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2
2．（3分）為了增加青少年的校外教育活動場所，長春市將建成面積約為79000平方米的新少年宮，預計2020年12月正式投入使用．79000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．79×103 B．7.9×104 C．0.79×105 D．7.9×105
3．（3分）下列圖形是四棱柱的側(cè)面展開圖的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）不等式x+2≥3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
5．（3分）比薩斜塔是意大利的著名建筑，其示意圖如圖所示，設(shè)塔項中心點為點B，塔身中心線AB與垂直中心線AC的夾角為∠A，過點B向垂直中心線AC引垂線，垂足為點D．通過測量可得AB、BD、AD的長度，利用測量所得的數(shù)據(jù)計算∠A的三角函數(shù)值，進而可求∠A的大小．下列關(guān)系式正確的是（　?。?br />
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．sinA＝
6．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，則∠AOC的大小為（　?。?br />
A．40° B．140° C．160° D．170°
7．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步驟作圖：
①分別以點B和點C為圓心，大于BC一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N；
②作直線MN，與邊AB相交于點D，連結(jié)CD．
下列說法不一定正確的是（　?。?br />
A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠B
C．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°
8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3，2），AB⊥x軸于點B，點C是線段OB上的點，連結(jié)AC．點P在線段AC上，且AP＝2PC，函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點P．當點C在線段OB上運動時，k的取值范圍是（　?。?br />
A．0＜k≤2 B．≤k≤3 C．≤k≤2 D．≤k≤4
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
9．（3分）長春市凈月潭國家森林公園門票的價格為成人票每張30元，兒童票每張15元．若購買m張成人票和n張兒童票，則共需花費　　元．
10．（3分）分解因式：a2﹣4＝　 ?。?br /> 11．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的值為　 ?。?br /> 12．（3分）正五邊形的一個外角的大小為　　度．
13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以點C為圓心，線段CA的長為半徑作，交CB的延長線于點D，則陰影部分的面積為　　（結(jié)果保留π）．

14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（4，2）．若拋物線y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k為常數(shù)）與線段AB交于C、D兩點，且CD＝AB，則k的值為　 ?。?br />
三、解答題（本大題共10小題，共78分）
15．（6分）先化簡，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．
16．（6分）現(xiàn)有三張不透明的卡片，其中兩張卡片的正面圖案為“神舟首飛”，第三張卡片的正面圖案為“保衛(wèi)和平”，卡片除正面圖案不同外，其余均相同．將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機抽取一張，記錄圖案后放回，重新洗勻后再從中隨機抽取一張．請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次抽出的卡片上的圖案都是“保衛(wèi)和平”的概率．（圖案為“神舟首飛”的兩張卡片分別記為A1、A2，圖案為“保衛(wèi)和平”的卡片記為B）

17．（6分）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫△ABC．
要求：
（1）在圖①中畫一個鈍角三角形，在圖②中畫一個直角三角形，在圖③中畫一個銳角三角形；
（2）三個圖中所畫的三角形的面積均不相等；
（3）點C在格點上．

18．（7分）在國家精準扶貧的政策下，某村企生產(chǎn)的黑木耳獲得了國家綠色食品標準認證，綠標的認證，使該村企的黑木耳在市場上更有競爭力，今年每斤黑木耳的售價比去年增加了20元．預計今年的銷量是去年的3倍，年銷售額為360萬元．已知去年的年銷售額為80萬元，問該村企去年黑木耳的年銷量為多少萬斤？
19．（7分）如圖，在?ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點E、F．
（1）求證：OE＝OF．
（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．

20．（7分）空氣質(zhì)量按照空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為六個級別，分別為：一級優(yōu)、二級良、三級輕度污染、四級中度污染、五級重度污染、六級嚴重污染．級別越高，說明污染的情況越嚴重，對人體的健康危害也就越大．空氣質(zhì)量達到一級優(yōu)或二級良的天氣為達標天氣，如圖是長春市從2014年到2019年的空氣質(zhì)量級別天數(shù)的統(tǒng)計圖表．
2014﹣2019年長春市空氣質(zhì)量級別天數(shù)統(tǒng)計表
空氣質(zhì)量級別
天數(shù)
年份
優(yōu)
良
輕度污染
中度污染
重度污染
嚴重污染
2014
30
215
73
28
13
6
2015
43
193
87
19
15
8
2016
51
237
58
15
5
0
2017
65
211
62
16
9
2
2018
123
202
39
0
1
0
2019
126
180
38
16
5
0
根據(jù)上面的統(tǒng)計圖表回答下列問題：
（1）長春市從2014年到2019年空氣質(zhì)量為“達標”的天數(shù)最多的是　　年．
（2）長春市從2014年到2019年空氣質(zhì)量為“重度污染”的天數(shù)的中位數(shù)為　　天，平均數(shù)為　　天．
（3）長春市從2015年到2019年，和前一年相比，空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)增加最多的是　　年，這一年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)的年增長率約為　 ?。ň_到1%）．
（空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)的增長率＝×100%）
（4）你認為長春市從2014年到2019年哪一年的空氣質(zhì)量好？請說明理由．

21．（8分）已知A、B兩地之間有一條長240千米的公路．甲車從A地出發(fā)勻速開往B地，甲車出發(fā)兩小時后，乙車從B地出發(fā)勻速開往A地，兩車同時到達各自的目的地．兩車行駛的路程之和y（千米）與甲車行駛的時間x（時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）甲車的速度為　　千米/時，a的值為　 ?。?br /> （2）求乙車出發(fā)后，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當甲、乙兩車相距100千米時，求甲車行駛的時間．

22．（9分）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級下冊數(shù)學教材第121頁的部分內(nèi)容．
1．把一張矩形紙片如圖那樣折一下，就可以裁出正方形紙片，為什么？
【問題解決】如圖①，已知矩形紙片ABCD（AB＞AD），將矩形紙片沿過點D的直線折疊，使點A落在邊DC上，點A的對應點為A′，折痕為DE，點E在AB上．求證：四邊形AEA′D是正方形．
【規(guī)律探索】由【問題解決】可知，圖①中的△A′DE為等腰三角形．現(xiàn)將圖①中的點A′沿DC向右平移至點Q處（點Q在點C的左側(cè)），如圖②，折痕為PF，點F在DC上，點P在AB上，那么△PQF還是等腰三角形嗎？請說明理由．
【結(jié)論應用】在圖②中，當QC＝QP時，將矩形紙片繼續(xù)折疊如圖③，使點C與點P重合，折痕為QG，點G在AB上．要使四邊形PGQF為菱形，則＝　 ?。?br />

23．（10分）如圖①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．點P從點A出發(fā)，沿折線AB﹣BC以每秒5個單位長度的速度向點C運動，同時點D從點C出發(fā)，沿CA以每秒2個單位長度的速度向點A運動，點P到達點C時，點P、D同時停止運動．當點P不與點A、C重合時，作點P關(guān)于直線AC的對稱點Q，連結(jié)PQ交AC于點E，連結(jié)DP、DQ．設(shè)點P的運動時間為t秒．
（1）當點P與點B重合時，求t的值．
（2）用含t的代數(shù)式表示線段CE的長．
（3）當△PDQ為銳角三角形時，求t的取值范圍．
（4）如圖②，取PD的中點M，連結(jié)QM．當直線QM與△ABC的一條直角邊平行時，直接寫出t的值．

24．（12分）在平面直角坐標系中，函數(shù)y＝x2﹣2ax﹣1（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A．
（1）求點A的坐標．
（2）當此函數(shù)圖象經(jīng)過點（1，2）時，求此函數(shù)的表達式，并寫出函數(shù)值y隨x的增大而增大時x的取值范圍．
（3）當x≤0時，若函數(shù)y＝x2﹣2ax﹣1（a為常數(shù)）的圖象的最低點到直線y＝2a的距離為2，求a的值．
（4）設(shè)a＜0，Rt△EFG三個頂點的坐標分別為E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．當函數(shù)y＝x2﹣2ax﹣1（a為常數(shù)）的圖象與△EFG的直角邊有交點時，交點記為點P．過點P作y軸的垂線，與此函數(shù)圖象的另一個交點為P′（P′與P不重合），過點A作y軸的垂線，與此函數(shù)圖象的另一個交點為A′．若AA′＝2PP′，直接寫出a的值．

2020年吉林省長春市中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
1．【解答】解：由數(shù)軸上墨跡的位置可知，該數(shù)大于﹣4，且小于﹣2，
因此備選項中，只有選項C符合題意，
故選：C．
2．【解答】解：79000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為：7.9×104．
故選：B．
3．【解答】解：由四棱柱的特點可知：四棱柱的側(cè)面展開圖是矩形．
故選：A．
4．【解答】解：x≥3﹣2，
x≥1，
故選：D．
5．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
則sinA＝，cosA＝，tanA＝，
因此選項A正確，選項B、C、D不正確；
故選：A．
6．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．
故選：B．
7．【解答】解：由作圖可知，MN垂直平分線段BC，
∴DB＝DC，MN⊥BC，
∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，
∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴2∠B+∠ACD＝90°，
故選項A，B，D正確，
故選：C．
8．【解答】解：∵點A的坐標為（3，2），AB⊥x軸于點B，
∴OB＝3，AB＝2，
設(shè)C（c，0）（0≤c≤3），過P作PD⊥x軸于點D，
則BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，
∴△PCD∽△ACB，
∴，

∵AP＝2PC，
∴，
∴PD＝，CD＝1﹣c，
∴OD＝OC+CD＝1+c，
∴P（1+c，），
把P（1+c，）代入函數(shù)y＝（x＞0）中，得
k＝c，
∵0≤c≤3
∴，
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
9．【解答】解：根據(jù)單價×數(shù)量＝總價得，（30m+15n）元，
故答案為：（30m+15n）．
10．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
11．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△＝0，
∴（﹣2）2﹣4m＝0，
∴m＝1，
故答案為：1．
12．【解答】解：正五邊形的一個外角＝＝72°．
故答案為：72．
13．【解答】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∴∠C＝∠BAC＝45°，
∴S陰＝S扇形CAD﹣S△ACB＝﹣×2×2＝π﹣2，
故答案為π﹣2．
14．【解答】解：∵點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（4，2），
∴AB＝4，
∵拋物線y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k為常數(shù)）與線段AB交于C、D兩點，且CD＝AB＝2，
∴設(shè)點C的坐標為（c，2），則點D的坐標為（c+2，2），h＝＝c+1，
∴拋物線2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，
解得，k＝．
三、解答題（本大題共10小題，共78分）
15．【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2
＝a2+7．
當a＝時，原式＝（）2+7＝9．
16．【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：

共有9種等可能的情況數(shù)，其中兩次抽出的卡片上的圖案都是“保衛(wèi)和平”的有1種，
則兩次抽出的卡片上的圖案都是“保衛(wèi)和平”的概率是．
17．【解答】解：如圖所示：即為符合條件的三角形．

18．【解答】解：設(shè)該村企去年黑木耳的年銷量為x萬斤，則今年黑木耳的年銷量為3x萬斤，
依題意，得：﹣＝20，
解得：x＝2，
經(jīng)檢驗，x＝2是原方程的解，且符合題意．
答：該村企去年黑木耳的年銷量為2萬斤．
19．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB＝OD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
在△OEB和△OFD中，，
∴△OEB≌△OFD（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：由（1）得：OE＝OF，
∵OF＝2，
∴OE＝2，
∵BE⊥AC，
∴∠OEB＝90°，
在Rt△OEB中，tan∠OBE＝＝．
20．【解答】解：（1）從折線統(tǒng)計圖中“達標”天數(shù)的折線的最高點，相應的年份為2018年，
故答案為：2018；
（2）將這6年的“重度污染”的天數(shù)從小到大排列，處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)為＝7，因此中位數(shù)是7天，
這6年的“重度污染”的天數(shù)的平均數(shù)為＝8天，
故答案為：7，8；
（3）前一年相比，空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)增加量為：
2015年，43﹣30＝13天；
2016年，51﹣43＝8天；
2017年，65﹣51＝14天；
2018年，123﹣65＝58天；
2019年，126﹣123＝3天，
因此空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)增加最多的是2018年，增長率為≈89%，
故答案為：2018，89%；
（4）從統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)可知，2018年空氣質(zhì)量好，2018年“達標天數(shù)”最多，重度污染、中度污染、嚴重污染的天數(shù)最少．
21．【解答】解：（1）由題意可知，甲車的速度為：80÷2＝40（千米/時）；
a＝40×6×2＝480，
故答案為：40；480；

（2）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，
由圖可知，函數(shù)圖象經(jīng)過（2，80），（6，480），
∴，解得，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝100x﹣120；

（3）兩車相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；
兩車相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，
答：當甲、乙兩車相距100千米時，甲車行駛的時間是小時或小時．
22．【解答】（1）證明：如圖①中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADA′＝90°，
由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，
∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，
∴四邊形AEA′D是矩形，
∵DA＝DA′，
∴四邊形AEA′D是正方形．

（2）解：結(jié)論：△PQF是等腰三角形．
理由：如圖②中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QFP＝∠APF，
由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，
∴∠QFP＝∠FPQ，
∴QF＝QP，
∴△PFQ是等腰三角形．

（3）如圖③中，

∵四邊形PGQF是菱形，
∴PG＝GQ＝FQ＝PF，
∵QF＝QP，
∴△PFQ，△PGA都是等邊三角形，設(shè)QF＝m，
∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，
∴∠DQD′＝30°，
∵∠D′＝90°，
∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝D′F＝m，
由翻折可知，AD＝QD′＝m，PQ＝CQ＝FQ＝m，
∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，
∴＝＝．
故答案為．
23．【解答】解：（1）當點P與B重合時，5t＝4，解得t＝．
（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴sinA＝，cosA＝，
如圖①中，當點P在線段AB上時，在Rt△APE中，AE＝AP?cosA＝4t，
∴EC＝5﹣4t．

如圖③中，當點P在線段BC上時，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cosC＝，
∴EC＝PC?cosC＝（7﹣5t）＝﹣3t．

（3）當△PDQ是等腰直角三角形時，則PE＝DE，
如圖④中，當點P在線段AB上時，

在Rt△APE中，PE＝PA?sinA＝3t，
∵DE＝AC﹣AE﹣CD﹣5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，
∵PE＝DE，
∴3t＝5﹣6t，
∴t＝．
如圖⑤中，當點P在線段BC上時，

在Rt△PCE中，PE＝PC?sinC＝（7﹣5t）＝﹣4t，
∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，
∴﹣4t＝5t﹣，
解得t＝．
觀察圖象可知滿足條件的t的值為0＜t＜或＜t＜．

（4）如圖⑥中，當點P在線段AB上，QM∥AB時，

過點Q作QG⊥AB于G，延長QN交BC于N，過點D作DH⊥BC于H．
∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，
∴BN＝NH，
在RtPQG中，PQ＝2PE＝6t，
∴QG＝PQ＝t，
在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，
∵BC＝BH+CH＝t+t+t＝3，
解得t＝．

如圖⑦中，當點P在線段BC上，QM∥BC時，

點點D作DH⊥BC于H，過點P作PK⊥QM于K．
∵QM∥BC，DM＝PM，
∴DH＝2PK，
在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝（7﹣5t），
∴PK＝PQ＝（7﹣5t），
在Rt△DCH中，DH＝DC＝t，
∵DH＝2PK，
∴t＝2×（7﹣5t），
解得t＝，
綜上所述，滿足條件的t的值為或．
24．【解答】解：（1）當x＝0時，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，
∴點A的坐標為：（0，﹣1）；
（2）將點（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，
得：2＝1﹣2a﹣1，
解得：a＝﹣1，
∴函數(shù)的表達式為：y＝x2+2x﹣1，
∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴拋物線的開口向上，對稱軸為x＝﹣1，如圖1所示：
∴當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大；
（3）拋物線y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的對稱軸為：x＝a，頂點坐標為：（a，﹣a2﹣1），
當a＞0時，對稱軸在y軸右側(cè)，如圖2所示：
∵x≤0，
∴最低點就是A（0，﹣1），
∵圖象的最低點到直線y＝2a的距離為2，
∴2a﹣（﹣1）＝2，
解得：a＝；
當a＜0，對稱軸在y軸左側(cè)，頂點（a，﹣a2﹣1）就是最低點，
如圖3所示：
∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，
整理得：（a+1）2＝2，
解得：a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+（不合題意舍去）；
綜上所述，a的值為或﹣1﹣；
（4）∵a＜0，Rt△EFG三個頂點的坐標分別為E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），
∴直角邊為EF與FG，
∵拋物線y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的對稱軸為：x＝a，A（0，﹣1），
∴AA′＝﹣2a，
當點P在EF邊上時，如圖4所示：
則xp＝﹣1，
∵EA＝OA＝1，
∴點P在對稱軸x＝a的左側(cè)，
∴PP′＝2（a+1），
∵AA′＝2PP′，
∴﹣2a＝2×2（a+1），
解得：a＝﹣；
當點P在FG邊上時，如圖5所示：
則yp＝a﹣1，
∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，
解得：x1＝a+，x2＝a﹣，
∴PP′＝a+﹣（a﹣）＝2，
∵AA′＝2PP′，
∴﹣2a＝4，
解得：a1＝﹣，a2＝0（不合題意舍去）；
綜上所述，a的值為﹣或﹣．