湖南省長沙市望城區(qū)第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期3月階段測試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

這是一份湖南省長沙市望城區(qū)第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期3月階段測試 數(shù)學(xué)試卷（含解析），共15頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．3D．
2．設(shè)，，則（ ）．
A．B．
C．D．、的大小無法確定
3．在下列條件中：①；②；③且；④，，中能成為“使二次方程的兩根為正數(shù)”的必要非充分條件是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
4．已知點(diǎn)，，，，與同向的單位向量為，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
5．2000年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)為89 442億元，如果我國GDP年均增長7.8%，那么按照這個增長速度，在2000年的基礎(chǔ)上，我國GDP要實(shí)現(xiàn)比2000年翻兩番的目標(biāo)，需要經(jīng)過（ ）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301 0，lg1.078≈0.032 6，結(jié)果保留整數(shù))
A．17年B．18年C．19年D．20年
6．已知O為內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿足①；②；③；④（其中a，b，c為中，角A，B，C所對的邊）．則O依次是的（ ）
A．內(nèi)心、重心、垂心、外心B．外心、垂心、重心、內(nèi)心
C．外心、內(nèi)心、重心、垂心D．內(nèi)心、垂心、外心、重心
7．已知是偶函數(shù)，任意，且，滿足，，則的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知動點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)時，下列說法正確的是（ ）
A．有最小值1B．有最小值，且最小值小于1
C．恒成立D．存在，使得
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知復(fù)數(shù)，是關(guān)于z的方程的兩個復(fù)數(shù)根，且，，則（ ）
A．與互為共軛復(fù)數(shù)B．
C．D．
10．已知向量，，則（ ）
A．若與垂直，則B．若，則的值為-5
C．若，則D．若，則與的夾角為60°
11．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列命題是真命題的是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．若，，，則只有一解
C．若，則
D．若為銳角三角形，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
13．設(shè)復(fù)數(shù)若則的最小值為 .
14．如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)且，是邊的中點(diǎn)，直線和直線交于點(diǎn)，若是的平分線，則 .

四、解答題（本大題共5小題）
15．已知在中，角所對的邊分別為，記其面積為，則有
(1)求；
(2)若，求的最小值．
16．已知平行四邊形中，，，和交于點(diǎn)．

(1)用，表示向量．
(2)若的面積為，的面積為，求的值．
(3)若，，求的余弦值．
17．已知函數(shù)（，）的圖象與軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為，且圖象過點(diǎn)．
(1)求的解析式；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程，在區(qū)間上有且只有一個實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成的兩條射線，分別是同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中，若，則記.
(1)在仿射坐標(biāo)系中
①若，求；
②若，且與的夾角為，求；
(2)如上圖所示，在仿射坐標(biāo)系中，分別在軸，軸正半軸上，分別為中點(diǎn)，求的最大值.
19．復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過達(dá)朗貝爾?棣莫弗?歐拉?高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受.
材料：形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.而任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即，其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角，我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作.復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)的三角形式.由復(fù)數(shù)的三角形式可得出，若，則.其幾何意義是把向量繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?
請根據(jù)所學(xué)知識，回答下列問題：
(1)試將寫成三角形式；
(2)設(shè)復(fù)數(shù)，且.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為，且為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn).向量逆時針旋轉(zhuǎn)后與向量重合，求實(shí)數(shù)，的值；
(3)已知單位圓以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，點(diǎn)為該圓上一動點(diǎn)（縱坐標(biāo)大于0），點(diǎn)，以為邊作等邊，且在上方.求線段長度的最大值.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】根據(jù)題意，得，
所以，
故.
故選．
2．【答案】A
【詳解】，，
又因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，即.
故選A.
3．【答案】A
【詳解】∵二次方程的兩根為正數(shù)，
∴，，，
故由使二次方程的兩根為正數(shù)，一定能推出
，，，
但是滿足其中一個或2個不能推出使二次方程的兩根為正數(shù)，故①②③能成為使二次方程的兩根為正數(shù)的必要非充分條件.
故選A.
4．【答案】B
【詳解】由題知點(diǎn)，，，，
有， ，
，.
與同向的單位向量為.
所以向量在向量方向上的投影向量為.
故選B.
5．【答案】C
【詳解】解：假設(shè)經(jīng)過x年實(shí)現(xiàn)GDP比2000年翻兩番的目標(biāo)．
根據(jù)題意，得89442×(1＋7.8%)x＝89442×4，即，
故，
故約經(jīng)過19年，我國GDP就能實(shí)現(xiàn)比2000年翻兩番的目標(biāo).
故選C.
6．【答案】B
【詳解】對于①，因?yàn)棰伲?br>所以點(diǎn)O到點(diǎn)A，B，C的距離相等，即點(diǎn)O為的外心；
對于②，因?yàn)?，所以?br>所以，即，同理，，
即點(diǎn)O為的垂心；
對于③，因?yàn)椋裕?br>設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則，即點(diǎn)O為的重心；
對于④，因?yàn)椋?br>故，整理得．
又，
所以．
因?yàn)?，分別為，方向的單位向量，故AO與的角平分線共線．
同理與的角平分線共線，與的角平分線共線，
故點(diǎn)為的內(nèi)心．
故選B.
7．【答案】A
【解析】先判斷出的圖象關(guān)于對稱，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再分類討論，將原不等式轉(zhuǎn)化為不等式組求解即可.
【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于軸對稱，
又因?yàn)榈膱D象可由的圖象向右平移1個單位得到，
所以的圖象關(guān)于對稱，
因?yàn)槿我?，且，滿是，
所以任取，
則在上單調(diào)遞減，
由對稱性可知在上單調(diào)遞增，
由根據(jù)對稱性可得，
因?yàn)椋曰?br>解得或.
即的解集是，
故選A.
8．【答案】A
【詳解】由題意知，當(dāng)時，
，
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以只考慮的情形即可，
又因?yàn)?，所以?br>即有最小值1，所以A正確，B錯誤；
又因?yàn)椋?br>當(dāng)時，，所以C錯誤；
又因?yàn)椋?，但與不可能同時為，
而，所以，所以D錯誤；
故選A.
9．【答案】ACD
【詳解】對于A，一元二次方程的復(fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，故A正確；
對于B，由題意得，，
因?yàn)閺?fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，所以為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，
故，則，
又，所以，則，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，則，
所以，故D正確.
故選ACD.
10．【答案】ABC
【詳解】對于A，若與垂直，則，解得，故A正確；
對于B，若，則，解得，此時，故B正確；
對于C，若，則，故C正確；
對于D，若，則，注意到此時，
與的夾角的余弦值為，故D錯誤.
故選ABC.
11．【答案】ACD
【詳解】對于選項(xiàng)A：由，由正弦定理可得，
則，
因?yàn)?，則，
可得，即，所以為等腰三角形，故A正確；
對于選項(xiàng)B：若，，，則，
所以有兩解，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：若，
有正弦定理可得，
則，即，
因?yàn)椋瑒t，
可得，所以，故C正確；
對于選項(xiàng)D：若為銳角三角形，則，可得，
且，，則在上單調(diào)遞增，
所以，
又因?yàn)?，則，可得，
所以，故D正確．
故選ACD.
12．【答案】
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，
則，解得.
13．【答案】
【詳解】因?yàn)?br>則
設(shè)
由參數(shù)方程可知,動點(diǎn)P的軌跡方程為
所以表示點(diǎn)A與點(diǎn)B到圓上任意一點(diǎn)的距離之和
設(shè)直線的方程為,代入可得
,解方程可得
所以直線的方程為
圓心到直線的距離為
因?yàn)?br>所以直線與圓相切,設(shè)切點(diǎn)為M
則當(dāng)P與M重合時,取得最小值
所以
.
14．【答案】
【詳解】記，，以、為鄰邊作平行四邊形，
因?yàn)?，則平行四邊形為菱形，所以，平分，
且，
因?yàn)槠椒?，則、共線，
則存在，使得，

因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則、共線，則存在，
使得，即，可得，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則、共線，
所以，存在，使得，即，
所以，，
因?yàn)?、不共線，則，解得，
故，
又因?yàn)椋?，，?
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意，，
又，得，
展開得，即，
由余弦定理得，
因?yàn)椋裕?br>（2）由題意，，整理得，
由得，
由，
即求的最小值，，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
所以，
故的最小值為．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，則，
又因?yàn)椋?，可知，解得?br>所以．
（2）由可得，則，即，
因?yàn)?，則，
即，可知，即，
所以．
（3）由，即，
則，
所以，即，又，
所以平行四邊形是正方形，如圖所示的建系，

不妨設(shè)，則，可得，，
可得，
因?yàn)槭窍蛄亢偷膴A角，所以的余弦值是．
17．【答案】(1)；
(2)（）；
(3)或．
【詳解】（1）由的圖象與軸的相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為，即，即；
則，那么．
．圖象過點(diǎn)，代入可得，
又因?yàn)椋瑒t，可得，
故函數(shù)解析式為；
（2）因的單調(diào)遞增區(qū)間為，（），
由，解得，（）
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）；
（3）將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象，
再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，即，
不妨取，由，可得.
在上只有一個實(shí)數(shù)解，即函數(shù)圖象與直線在上只有一個交點(diǎn)，如圖.

由的圖象可知：須使或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為或．
18．【答案】(1);
(2)
【分析】（1）①由題意，，將其兩邊平方后利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得；
②利用（1）得到的模長公式，求得和，再計(jì)算，再將條件代入公式，列出方程，即可求出的值.
（2）設(shè)出點(diǎn)用表示出，利用正弦定理，經(jīng)過三角恒等變換，化簡成正弦型函數(shù)，求得其最大值.
【詳解】（1）① 由可得，，則，
即；
②依題意，將代入（1）得到的模長公式即得，，，
，
因?yàn)榕c的夾角為，則由可得，，解得，.
（2）依題意，設(shè)，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則，
是的中點(diǎn)，則，
故
因，，
則，
在中，由余弦定理，，即，代入上式可得，
，
由正弦定理，，設(shè)，則，
于是
，其中，
則.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題主要考查新定義的仿射坐標(biāo)系中的向量的運(yùn)算.
解決第（2）題的關(guān)鍵在于，設(shè)出的坐標(biāo)，，求得的表達(dá)式，運(yùn)用正弦定理，三角恒等變換化成正弦型函數(shù)是解決該題的關(guān)鍵.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)最大值為3.
【詳解】（1）由于，故，所以，
所以，
因?yàn)?，所?br>所以；
（2）法一：由題意知，
得，解得或，
因?yàn)槟鏁r針旋轉(zhuǎn)后與重合，所以；
法二：由材料一復(fù)數(shù)的乘法幾何意義可知，復(fù)數(shù)乘以一個模長為1，輻角為的復(fù)數(shù)，
即為復(fù)數(shù).故，
故，所以.
（3）解法一：設(shè)，
所表示的復(fù)數(shù)為所表示的復(fù)數(shù)為，則，
，
故，
得
，
所以當(dāng)時，取得最大值3，
故線段長度的最大值為3.
解法二：連接，設(shè)，
由，在中可得，
在中可得，于是，
在中可得，于是，
在中可得，
化簡得.
故的最大值為3.
.