一、選擇題
1. 式子有意義，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)題意有：，
∴，
故選：A．
2. 下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是( )
A. 4，5，6B. 1，1，C. 6，8，11D. 5，12，15
【答案】B
【解析】A. ∵42+52≠62，∴不能構(gòu)成直角三角形；
B. ∵12+12=，∴能構(gòu)成直角三角形；
C. ∵62+82≠112，∴不能構(gòu)成直角三角形；
D. ∵52+122≠152，∴不能構(gòu)成直角三角形．
故選：B．
3. 下列二次根式中，化簡(jiǎn)后能與進(jìn)行合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A. 與，被開(kāi)方數(shù)不同，不是同類(lèi)二次根式，不符合題意；
B. 與，被開(kāi)方數(shù)不同，不是同類(lèi)二次根式，不符合題意；
C. 與，被開(kāi)方數(shù)不同，不是同類(lèi)二次根式，不符合題意；
D. 與，被開(kāi)方數(shù)同，是同類(lèi)二次根式，符合題意；
故選：D．
4. 下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】. 和不是同類(lèi)二次根式，不能合并，故該選項(xiàng)不符合題意；
. 2和不是同類(lèi)二次根式，不能合并，故該選項(xiàng)不符合題意；
. ，原計(jì)算錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；
. ，原計(jì)算正確，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
5. 下列給出的條件中，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A. AB∥CD，AD＝BCB. ∠A＝∠C，∠B＝∠D
C. AB∥CD，AD∥BCD. AB＝CD，AD＝BC
【答案】A
【解析】平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．∴C能判斷；
平行四邊形判定定理1，兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；∴B能判斷；
平行四邊形判定定理2，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；∴D能判定；
平行四邊形判定定理3，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
平行四邊形判定定理4，一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形；
故選A．
6. 如圖，平行四邊形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，則EC等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴，
∴，
∵AE平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
7. 如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形，若測(cè)得點(diǎn)A，之間的距離為，點(diǎn)，之間的距離為，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】連接，交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)G，
根據(jù)平行線間的距離處處相等，得到，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形；
∴四邊形是菱形；
∴；
∴；
故選：A．
8. 如圖，的兩直角邊長(zhǎng)分別為1，2，以的斜邊為一直角邊，另一直角邊長(zhǎng)為1畫(huà)第2個(gè)；再以的斜邊為一直角邊，另一直角邊長(zhǎng)為1畫(huà)第3個(gè)；……以此類(lèi)推，第個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在中，，，
根據(jù)勾股定理得：，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得：，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得：，
依此類(lèi)推，第個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為．
∴第個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是．
故選：D．
9. 如圖，一個(gè)梯子斜靠在一豎直的墻上，測(cè)得米，若梯子的頂端沿墻下滑1米，這時(shí)梯子底端也恰好外移1米，則梯子的長(zhǎng)度為（ ）
A. 5米B. 6米C. 7米D. 8米
【答案】A
【解析】由題意，得：，，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
在中，，
∵，
∴，即：，
解得：，
∴，
∴．
故選：A．
10. 如圖，矩形中，在軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑作弧交軸的正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四邊形是矩形，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故選：C．
11. 如圖，矩形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，且，以為斜邊作等腰直角三角形，連接，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】連接OE，
∵在矩形中，∠BAD＝90°，，OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠ADB＝30°，
∴∠OAD＝∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵△AEC是等腰直角三角形，OA＝OC，
∴EO⊥AC，OE＝OA＝OC，
∴∠AOE＝90°，OE＝OB，
∴∠BOE＝90°－60°＝30°，
∴∠OBE＝∠OEB＝，
∵AD∥BC，
∴∠OBC＝∠ADB＝30°，
∴∠CBE＝∠OBE－∠OBC＝75°－30°＝45°，
故選：C．
12. 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)分別在邊上，將分別沿、AF折疊，使恰好落在點(diǎn)M處，已知，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 2.4B. 3.4C. 4D. 5
【答案】B
【解析】由圖形折疊可得，
，，
正方形的邊長(zhǎng)為4，
∴，，
在中，
，
，
解得，
．
故選：B．
二、填空題
13. 計(jì)算：________．
【答案】
【解析】原式．
故答案為：．
14. 如圖，是的中線，，分別是，的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】，分別是，的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
是的中線，
，
，
故答案為：．
15. 如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面，則旗桿的高度為_(kāi)_____（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）．
【答案】
【解析】設(shè)旗桿高度為，過(guò)點(diǎn)C作于B，
則
在中，
即，
解得：，即旗桿的高度為17米．
故答案為：．
16. 如圖，在中，，點(diǎn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】延長(zhǎng)，取，連接，在上取，連接，過(guò)點(diǎn)D作，取，連接，如圖所示：
∵，，
∴，垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，∴，
∴當(dāng)最小時(shí)，最小，
∴當(dāng)C、H、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小值為，
∴的最小值為：．
故答案為：．
三、解答題
17. （1）計(jì)算：；
（2）當(dāng)，時(shí)，求代數(shù)式的值．
解：（1）原式．
（2）原式
．
18. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
解：原式
，
當(dāng)時(shí)，
原式
．
19. 湖的兩岸有A，B兩棵景觀樹(shù)，數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量?jī)煽镁坝^樹(shù)之間的距離，他們?cè)谂cAB垂直的BC方向上取點(diǎn)C，測(cè)得米，米．
求：（1）兩棵景觀樹(shù)之間的距離；
（2）點(diǎn)B到直線AC的距離．
解：（1）因?yàn)槭侵苯侨切危?br>所以由勾股定理，得．
因?yàn)槊?，，所以?br>因?yàn)?，所以米?br>即A，B兩點(diǎn)間的 距離是40米．
（2）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D．
因，
所以．
所以（米），
即點(diǎn)B到直線AC的距離是24米．
20. 嘉淇同學(xué)要證明命“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是正確的，她先用尺規(guī)作出了如圖的四邊形ABCD，并寫(xiě)出了如下不完整的已知和求證．
已知：如圖，在四邊形ABCD中，
BC＝AD，
AB＝____．
求證：四邊形ABCD是____四邊形．
（1）在方框中填空，以補(bǔ)全已知和求證；
（2）按嘉淇的想法寫(xiě)出證明：
證明：
（3）用文字?jǐn)⑹鏊C命題逆命題為_(kāi)___________________．
（1）解：CD；平行；
（2）證明：連接BD．如圖所示，
在△ABD和△CDB中，
∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴，，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
（3）解：所證命題的逆命題為：平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，
故答案為：平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等．
21. 在創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測(cè)量，已知若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為100元，試計(jì)算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？
解：如圖，連接．
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為100元，
總費(fèi)用為：（元），
即綠化這片空地共需花費(fèi)11400元．
22. 如圖，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，，．
（1）四邊形的形狀是______．并給予證明；
（2）若，求四邊形的周長(zhǎng)．
解：（1）四邊形是菱形，理由如下：
∴四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是矩形，
，
∴四邊形是菱形．
（2）四邊形是矩形，，
，
，
在中，．
設(shè)，則，
得，
，
，
，
四邊形是菱形，
四邊形的周長(zhǎng)為．
23. 如圖，在菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，，求菱形的面積．
（1）證明：∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形；
（2）解：由（）四邊形是矩形，四邊形是菱形，
∴，，
設(shè)，則，
在中，，
∴，解得，
∴，
∴．
24. 【閱讀材料】小聰在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以化成另一個(gè)式子的平方，如：
；
．
【類(lèi)比歸納】
（1）請(qǐng)你仿照小聰?shù)姆椒▽⒒闪硪粋€(gè)式子的平方；
（2）請(qǐng)你運(yùn)用小聰方法化簡(jiǎn)；
【類(lèi)比歸納】
（3）若，且均為正整數(shù)，，求的值．
解：（1）
．
（2）
．
（3），
，
，
均為正整數(shù)，，
或，
或8．
25. 如圖，在正方形中，點(diǎn)分別在直線上，且，連接．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是______；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；
（3）若正方形的邊長(zhǎng)為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
（1）解：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
則，
在和中，，
∴
∴，
則，
即；
（2）證明：，
如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
則，
即∶；
（3）解：分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，
由（1）可知，
∵正方形的邊長(zhǎng)為2，，
∴，
設(shè)，則，，
在中，由勾股定理得，
解得，
即；
②當(dāng)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，
在CB延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使，連接，
由(2)可得，
∵正方形的邊長(zhǎng)為2，，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，解得，
即．
綜上所述，的長(zhǎng)為或5．

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