時間：120分鐘 滿分：150分
第I卷（選擇題，共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)集合并集定義計算即可.
【詳解】由，解得，所以集合，
所以，所以.
故選：D.
2. 已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運算法則及共軛復(fù)數(shù)的定義得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】由，得到，
所以，其對應(yīng)點，位于第三象限.
故選：C.
3. 已知向量，，若與垂直，則等于（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)與垂直，可得，即可求出，再根據(jù)模的坐標(biāo)公式即可得解.
【詳解】，
因為與垂直，
所以，解得，
所以.
故選：B.
4. 某校高三共有200人參加體育測試，根據(jù)規(guī)則，82分以上的考生成績等級為，則估計獲得的考生人數(shù)約為（ ）
A. 100B. 75C. 50D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】首先計算出82分以上的考生的頻率，即可得獲得的考生人數(shù).
【詳解】由頻率分布直方圖可得82分以上的考生的頻率約為，
所以獲得的考生人數(shù)約為人，
故選：C.
5. 已知是等比數(shù)列的前n項和，，，則（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求得，，即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，可得，
則，
所以．
故選：B.
6. 黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器．該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足．器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收．黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑，足徑，高，其中底部圓柱高，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（ ）（附：的值取3，）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求圓臺母線長，再代入圓臺和圓柱側(cè)面積公式，即可求解.
【詳解】設(shè)該圓臺的母線長為，兩底面圓半徑分別為，（其中），
則，，，
所以，
故圓臺部分的側(cè)面積為，
圓柱部分的側(cè)面積為，
故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為.
故選：B.
7. 已知拋物線的焦點為，點在上．若以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長為，則該圓的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的定義，可以得到該圓的半徑為，再利用弦長公式，結(jié)合已知即可解出，最后根據(jù)該圓的半徑計算面積即可.
【詳解】由于在上，故，即，所以.
根據(jù)拋物線的定義，就是點到直線的距離，
從而該圓的半徑為.
由于圓心到軸距離為，故該圓被軸截得的弦長為.
從而據(jù)已知有，
故，解得.
所以該圓的半徑為，故面積為.
故選：C.
8. 已知 ，，直線 與曲線 相切，則 的最小值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知條件求出切點的橫坐標(biāo)，從而得到，利用基本不等式即可求解.
【詳解】由于直線 與曲線 相切，
設(shè)切點為，且，所以，
則切點的橫坐標(biāo) ，則，即 .
又，所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，所以 的最小值為1.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．
9. 已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的有（ ）
A. 的圖象可由的圖象平移得到
B. 在上單調(diào)遞增
C. 圖象的一個對稱中心為
D. 圖象的一條對稱軸為直線
【答案】BD
【解析】
【分析】先由輔助角公式和周期公式計算得到，由圖象平移的性質(zhì)可得A錯誤；由整體代入結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得B正確；代入可得C錯誤；整體代入結(jié)合余弦函數(shù)對稱軸的性質(zhì)可得D正確；
【詳解】，
因為最小正周期為，所以，
所以，
A：由以上解析式可得的圖象不可由的圖象平移得到，故A錯誤；
B：當(dāng)時，，
由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，故B正確；
C：，故C錯誤；
D：當(dāng)時，，此時為最小值，
所以圖象的一條對稱軸為直線，故D正確；
故選：BD.
10. 已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點的直線與的左支相交于，兩點，若，且，則（ ）
A. B.
C. 的離心率為D. 直線的斜率為
【答案】ACD
【解析】
【分析】設(shè)，，結(jié)合雙曲線的定義與勾股定理可以求得的值，即可判斷出A，B選項；再結(jié)合勾股定理可以求得的關(guān)系，再求出離心率；求直線的斜率，在直角三角形中，用斜率的定義求正切值可以求得直線的斜率.
【詳解】如圖，由，可設(shè)，.
因為，所以.
設(shè)，，則，，，解得，
則，，
所以，故A選項正確；，故B選項錯誤；
在中，由，得，則，
從而的離心率為，故C選項正確.
又，所以直線的斜率為，故D選項正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)，是函數(shù)的一個極值點，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 過點能作兩條不同直線與相切D. 函數(shù)有5個零點
【答案】AD
【解析】
【分析】求得，根據(jù)，可判定A正確；由，利用導(dǎo)數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可判定B錯誤；設(shè)過點且與函數(shù)相切的切點為，求得切線方程，列出方程求得的值，可判定C錯誤；令，作出函數(shù)的圖象，得到，進(jìn)而的函數(shù)零點的個數(shù)，可判定以D正確．
【詳解】對于A中，由函數(shù)，可得，
因為 是函數(shù)的一個極值點，可得，
解得，經(jīng)檢驗適合題意，所以A正確；
對于B中，由，令，解得或，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，
故在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以B錯誤；
對于C中，設(shè)過點且與函數(shù)相切的切點為，
則該切線方程為，
由于切點滿足直線方程，則，
整理得，解得，所以只能作一條切線，所以C錯誤；
對于D中，令，則的根有三個，如圖所示，，
所以方程有3個不同根，方程和均有1個根，
故有5個零點，所以D正確．
故選：AD．
第II卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用列舉法把互質(zhì)的2個數(shù)找出來，然后利用古典概型求概率的公式求概率即可.
【詳解】從2至8的整數(shù)有2,3,4,5,6,7,8，
互質(zhì)的兩個數(shù)有2和3,2和5,2和7,3和4,3和5,3和7,3和8,4和5,4和7,5和6,5和7,5和8,6和7,7和8，共14對，
所以隨機(jī)取2個數(shù)，互質(zhì)的概率為.
故答案：.
13. 已知，則________．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)正弦和角公式得到，進(jìn)而求出，利用二倍角公式求出答案.
【詳解】因為，而，
因此，
則，
所以.
故答案為：
14. 已知等差數(shù)列的公差，首項 ，是與的等比中項，記 為數(shù)列的前項和，則______
【答案】105
【解析】
【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到方程，即可求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算可得.
【詳解】等差數(shù)列中， ，是與的等比中項，設(shè)公差為，
所以，即，
解得或（不合題意，舍去）；
所以．
故答案為：．
15. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求角C大小；
（2）若，的面積為，求的周長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形的面積公式及余弦定理變形整理可得答案；
（2）先利用面積公式求，再利用余弦定理求，則面積可求.
【小問1詳解】
因為，
又，
所以，
整理得，
即，
因為，所以，
所以，
則；
【小問2詳解】
由（1）得，
得，
所以，
所以，
所以的周長為.
16. 如圖，在四棱臺中，底面是中點．底面為直角梯形，且．

（1）證明：直線平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意先證平面，進(jìn)而可得，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)線面垂直的判定定理分析證明；
（2）建系，分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.
【小問1詳解】
因為底面，底面，則，
由題意可知：，且平面，
所以平面，且平面，可得，
不妨設(shè)，由題意可得：，
可知：，即，
且，平面，
所以直線平面.
【小問2詳解】
如圖，以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，

則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
可得，
設(shè)二面角為，則，
所以二面角的正弦值.
17. 甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第次投籃人是甲的概率；
（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；
（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；
（3）先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．
【小問1詳解】
記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，
.
【小問2詳解】
設(shè)，依題可知，，則
，
即，
構(gòu)造等比數(shù)列，
設(shè)，解得，則，
又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
即．
【小問3詳解】
因為，，
所以當(dāng)時，，
故．
【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．
18. 已知橢圓的右焦點為，且該橢圓過點，直線l交橢圓E于A，B兩點.
（1）求橢圓E的方程；
（2）若AB的中點坐標(biāo)為，求直線l的方程；
（3）若直線l方程為，過A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點R為線段PQ的中點，求證：四邊形ARQF為梯形.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.
（2）利用點差法求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.
（3）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，計算，以及AF與RQ，從而判斷出四邊形ARQF為梯形.
【小問1詳解】
由題得，
將代入得：
，
橢圓E的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，則，
且，
兩式相減得：，可得，
l方程為，即.
【小問3詳解】
由得：
，且，
，
∴，
又直線的斜率存在，AF與RQ不平行，
∴四邊形ARQF為梯形.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)已知條件求得，和是兩個未知參數(shù)，要求出兩個參數(shù)的值，需要兩個已知條件，如本題中“橢圓的右焦點以及橢圓所過點”兩個已知條件，再結(jié)合即可求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
19. 記，若，滿足：對任意，均有，則稱為函數(shù)在上“最接近”直線．已知函數(shù)．
（1）若，證明：對任意；
（2）若，證明：在上的“最接近”直線為：，其中且為二次方程的根．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）首先求，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合“最接近”直線的定義，分情況分析證明；
（2）首先設(shè)函數(shù)，再令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，并結(jié)合并結(jié)合“最接近”直線的定義，分析證明.
【小問1詳解】
由題意，
則當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，，
在區(qū)間上的最大值為，
根據(jù)函數(shù)的圖象特點，可知對任意，均有
，
，
下面討論的大小：
①若至少有一個大于等于1，則，
②若兩個都小于1，則，
因為是直線，故對任意，均有，，從而，
即
由①②可知，，
當(dāng)時，
，，此時等號成立，
結(jié)論證畢.
【小問2詳解】
設(shè)，再令，
，
令，，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
而，，存在，使得，
即，
且時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，
在區(qū)間上的最大值為，
而，，
則在區(qū)間上大于等于0，
由（1）問分析知，對定義在上的函數(shù)，
若滿足，且為唯一的最大值點，
則對任意的，，時取等號，

又，
故當(dāng)時，取得最小值，
在上的“最接近”直線為，
即，
化簡可得，其中，
且是二次方程的根，證畢.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解題意，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)，根據(jù)題設(shè)中的新定義，分析證明.

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