注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡可得結(jié)果.
【詳解】.
故選：A.
2 （ ）
A. 16B. C. 32D.
【答案】A
【解析】
【分析】應(yīng)用指數(shù)冪運(yùn)算的性質(zhì)化簡求值.
【詳解】由.
故選：A
3. 曲線的長度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】對(duì)式子進(jìn)行變形，明確其含義即可求解.
【詳解】由，得，
所以曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓弧，
其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，
故曲線的長度為.

4. 已知，都是非零向量，定義新運(yùn)算，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】將提公因式化簡，分別討論各個(gè)因式可得結(jié)果.
【詳解】若，則，則或.
當(dāng)時(shí)，未必成立；
當(dāng)時(shí)，.
故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
5. 曲率是用于描述曲線在某一點(diǎn)處彎曲程度的量，對(duì)于平面曲線，其曲率（是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)），曲率半徑是曲率的倒數(shù)，其表示與曲線在某點(diǎn)處具有相同彎曲程度圓的半徑.已知質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿曲率半徑為的曲線作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度的大小為.若該質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿形狀滿足的光滑軌道運(yùn)動(dòng)，則其在點(diǎn)處的向心加速度的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用曲率的定義可求得，進(jìn)而得曲率半徑，利用向心加速度的定義計(jì)算可求向心加速度.
【詳解】設(shè)，則，，所以，，
則曲線在點(diǎn)處曲率，曲率半徑，
故曲線在點(diǎn)處的向心加速度的大小為.
故選：B.
6. 若為雙曲線：上異于，的動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積為5，則的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上及斜率的兩點(diǎn)式可得，即可得漸近線方程.
【詳解】設(shè)，則，即，
則，則，故的漸近線方程為.
故選：C
7. 已知隨機(jī)變量，，則的最大值為（ ）
A. 9B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性得到，再用代換1法求最大值即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可得.
因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
即最大值為.
故選：D
8. 設(shè)是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)根，其中為常數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，利用二倍角的正切公式求出關(guān)于的表達(dá)式，再由結(jié)合二倍角的正切公式可得出關(guān)于的等式，化簡后可得出的值.
【詳解】設(shè)，則，
，
整理得，故.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 將函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A. B. 的最小正周期為
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出變換之后的解析式，依次代入選項(xiàng)判斷可得結(jié)果.
【詳解】依題意可得，
因?yàn)?，故A正確；
，故B錯(cuò)誤；
由，可知點(diǎn)為對(duì)稱中心，由，可知在處取最小值，故C，D均正確.
故選：ACD
10. 已知為曲線：上一點(diǎn)，，，，點(diǎn)到直線：，：，：的距離分別為，，，則（ ）
A. 存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得
B. 存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得
C. 存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得
D. 僅存在一個(gè)點(diǎn)，使得且
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)曲線方程得或，結(jié)合已知點(diǎn)坐標(biāo)和直線判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】由，得，得或.
是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，故曲線上不存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得，
是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，故有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，
是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，故有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，
聯(lián)立與，得，或，所以僅存在兩個(gè)點(diǎn)，使得且，
所以A、D錯(cuò)誤，B，C正確.
故選：BC
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則（ ）
A. B. 是增函數(shù)
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用賦值法計(jì)算可判斷AB；由已知可得，進(jìn)而可得，可求判斷C；利用錯(cuò)位相減法可求得，判斷D.
【詳解】令，則，解得，故A正確；
令，，則，故B錯(cuò)誤；
由，可得，
令，，則，即，
所以，故，
則，故C正確；
因?yàn)椋?br>所以，
兩式相減，可得，
故，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若分別為奇函數(shù)、偶函數(shù)，，且，則______.
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)已知有，進(jìn)而求得，，再應(yīng)用奇偶性求目標(biāo)函數(shù)值.
【詳解】依題意得，又，解得，，
所以.
故答案為：4
13. 已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的公差為，且是等差數(shù)列，則______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式可得，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的特點(diǎn)求解即可.
詳解】由題意，，
所以，
因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，則的通項(xiàng)是一次函數(shù)型，
則能整理成完全平方型，
所以，
化簡得，所以，即.
故答案為：.
14. 一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字之和記為，例如.用0，1，4，6，7，8組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)按照從小到大的順序排列為，則______，的平均數(shù)為______.
【答案】 ①. 8761 ②.
【解析】
【分析】應(yīng)用排列組合數(shù)求出無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)，結(jié)合最大的四位數(shù)，即可得，先求出給定數(shù)字的出現(xiàn)次數(shù)，再應(yīng)用平均數(shù)的求法求平均數(shù).
【詳解】用0，1，4，6，7，8組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的總個(gè)數(shù)為，
其中最大的四位數(shù)為8764，所以.
四位數(shù)含0時(shí)，后三位選一位填0有種，再選一位填1（同理填4，6，7，8）有種，最后從余下的4個(gè)數(shù)字選2個(gè)填余下的兩位有種，
所以1，4，6，7，8出現(xiàn)的次數(shù)均為次，
四位數(shù)不含0時(shí)，四位選一位填1（同理填4，6，7，8）有種，從余下的4個(gè)數(shù)選3個(gè)填余下的三位有種，
所以1，4，6，7，8出現(xiàn)的次數(shù)均為次，
綜上，1，4，6，7，8出現(xiàn)的次數(shù)均為次，
所以的平均數(shù)為.
故答案為：8761，
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 《九章算術(shù)·商功》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在四面體中，平面，，且，，.
（1）證明：四面體為鱉臑；
（2）若直線平面，求直線與所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)可證，，，進(jìn)而利用線線垂直證明平面，進(jìn)而可得，可得結(jié)論；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量與直線的方向向量，利用向量法可求得直線與所成角的余弦值.
【小問1詳解】
因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面?br>所以，，.
又，且，平面，
所以平面，又平面，則，
所以四面體的四個(gè)面都為直角三角形，則四面體為鱉臑.
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，
則，，.
設(shè)平面的法向量為，則，
令，得.
由，
得直線與所成角的余弦值為.
16. 如圖，點(diǎn)，，，，均在直線上，且，質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)均從點(diǎn)出發(fā)，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每次都只能向左或向右移動(dòng)1個(gè)單位長度，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)時(shí)向左移動(dòng)的概率均為，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均移動(dòng)2次.已知每個(gè)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分如下表所示，設(shè)隨機(jī)變量為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分之和.
（1）求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分為0的概率；
（2）求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
（2）分布列見解析，200
【解析】
【分析】（1）根據(jù)互斥事件的概率加法公式求解即可；
（2）首先分析出的所有可能取值為，，0，200，400，再按步驟寫出分布列，計(jì)算期望即可.
【小問1詳解】
設(shè)事件為“質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分為0”，
由題意可知點(diǎn)兩次移動(dòng)后在點(diǎn)，又起點(diǎn)為點(diǎn)，即的移動(dòng)一次向左一次向右，
所以.
【小問2詳解】
的所有可能取值為，，0，200，400.
，
，
，
，
，
所以隨機(jī)變量的分布列為
.
17. 的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
（1）求；
（2）若，，求內(nèi)切圓的半徑；
（3）若為的垂心，且點(diǎn)在內(nèi)，直線與交于點(diǎn)，且，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知及正弦邊角關(guān)系得，再由余弦定理求角的大?。?br>（2）由及面積公式得、，再由內(nèi)切圓半徑即可得；
（3）設(shè)，，進(jìn)而得到、，最后有即可求最大值.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以.
由正弦定理得，所以，
因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
由（1）知，代入數(shù)據(jù)得.
因?yàn)榈拿娣e，
所以內(nèi)切圓的半徑.
【小問3詳解】
如圖，設(shè)，，則，且.
因?yàn)椋?
由正弦定理得，所以，
所以，其中，
故的最大值為.
18. 已知函數(shù).
（1）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若，證明：，；
（3）若在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于或者等于零恒成立，求解分離參數(shù)求解即可
（2）構(gòu)造函數(shù)，求兩次導(dǎo)，得到這個(gè)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，從而得到，則在上單調(diào)遞增，得到，即當(dāng)時(shí)，，所以，不等式得證.
（3）分情況討論，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)，對(duì)極值點(diǎn)的大小進(jìn)行分析，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理取點(diǎn)證明有兩個(gè)極值點(diǎn)即可.
【小問1詳解】
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
設(shè)，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，則，即的取值范圍為.
【小問2詳解】
證明：若，則.
設(shè)，則，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，則在上單調(diào)遞增，
所以，即當(dāng)時(shí)，，
所以，不等式得證.
【小問3詳解】
.
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，令，
令，得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
由（2）知，則，
所以恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，
令，得，令，得或，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而有兩個(gè)極值點(diǎn).
綜上，的取值范圍是.
19. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，的最大值是最小值的3倍.
（1）求橢圓的離心率；
（2）若點(diǎn)不與橢圓的頂點(diǎn)重合，過作的切線，與軸交于點(diǎn)，求；
（3）已知，是上兩個(gè)不同的點(diǎn)，過分別作直線，與相切，與的交點(diǎn)為，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
（附：橢圓以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為）
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）出最大值與最小值，列出關(guān)于的齊次式求離心率即可；
（2）直接寫出點(diǎn)處的切線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求余弦值，代入計(jì)算即可；
（3）求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)，表示出直線方程，將用韋達(dá)定理表示，得到的方程即為所求.
【小問1詳解】
設(shè)，則，
，所以最大值為，最小值為，
所以，解得，即橢圓的離心率為.
【小問2詳解】
設(shè)點(diǎn)，，則，
橢圓在點(diǎn)處的切線方程為.
令，可得，即，
，
.
，
；
【小問3詳解】
因?yàn)?，所以，，，的方程?
設(shè)，，，
則橢圓在點(diǎn)處的切線方程分別為，，
則，，故直線的方程為.
聯(lián)立可得，
，，則.
因?yàn)?，所以，解得?br>化簡可得，
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.
積分
0
100
200
0
200
400

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