（考試時間：上午8∶00－9∶30）
說明：本試卷為閉卷筆答，不允許攜帶計算器．答題時間90分鐘．
一、選擇題（本大題共10個小題）在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑．
1. 用配方法解一元二次方程時，應在方程兩邊同時加上（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
答案：A
解：由題意得：方程兩邊同時加上1；
故選：A．
2. 平面直角坐標系中的下列各點，在反比例函數(shù)的圖象上的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：A.把點代入得，故A選項不符合題意；
B.把點代入得，故B選項不符合題意；
C.把點代入得，故C選項符合題意；
D.把點代入得，故D選項不符合題意．
故選：C．
3. 中國古代的數(shù)學研究成果輝煌，產(chǎn)生的一些數(shù)學名詞，頗有趣味．如《九章算術》中的“芻童”，原指
上、下底面都是長方形的草垛．如圖是一個“芻童”形狀的幾何體，它的主視圖和左視圖如圖所示，則其俯視圖是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：俯視圖是
，
故選：D ．
4. 如圖，已知直線，兩條直線，分別與a，b，c交于點A，B，C，D，E，F(xiàn)．下列線段的比與一定相等的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：∵，
∴，
∴，
故選：C．
5. 如圖，矩形的對角線交于點，若，，則的長為（ ）
A. 2B. 3C. D. 4
答案：A
解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=2×2=4，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC=OA=AC=2．
故選：A．
6. 課堂上，同學們圍繞一元二次方程的根的情況展開討論，其中一次項系數(shù)被遮擋，下面四位同學的觀點中正確的是（ ）
A. 無論“▲”為何值，該方程都有兩個相等的實數(shù)根
B. 無論“▲”為何值，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根
C. 無論“▲”為何值，該方程都只有一個實數(shù)根
D. 因為“▲”的值不確定，無法判定該方程有沒有實數(shù)根
答案：B
解：由，可知，
無論取何值，
一定有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：B
7. 北京時間12月4日，我國申報的“春節(jié)——中國人慶祝傳統(tǒng)新年的社會實踐”通過評審，列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質文化遺產(chǎn)代表作名錄．現(xiàn)將四張大小相同的正方形卡片拼成如圖所示的正方形靶盤（其中兩張卡片上是“春”字，另外兩張上是“福”字）．現(xiàn)向該靶盤隨機擲兩次飛鏢，則兩次射中的卡片上的字不相同的概率為（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：設正方形靶盤被分為四個相等的正方形區(qū)域，分別標記為“春1”，“春2”，“福1”，“福2”．
兩次射中卡片的總情況有16種，即每張卡片都有可能被射中兩次，形成種組合．
射中“春”和“?！钡慕M合有8種，即（春1，福1），（春1，福2），（春2，福1），（春2，福2），以及反向的（福1，春1），（福1，春2），（福2，春1），（福2，春2）．這8種情況滿足條件．
因此，兩次射中卡片上的字不相同的概率為，
故選：A．
8. 如圖，點是反比例函數(shù)圖象上任意一點，過點且平行于軸的直線交反比例函數(shù)的圖像于點，以為邊作平行四邊形，其中，在軸上，則四邊形的面積為（ ）
A. 6B. 5C. 3D. 2.5
答案：B
解：連接、，設交y軸于E，如圖，
∵平行四邊形，
∴軸，
∴軸，
∴，，
∴，
∵平行四邊形，
∴平行四邊形的面積．
故選：B．
9. 如圖的矩形為學校教學樓區(qū)域的平面示意圖，其中的陰影部分為“弓”字形樓體，“弓”字形各部分的寬度均相同．已知的長為80米，的長為200米，空地面積是整個矩形區(qū)域面積的．若設“弓”字形樓體各部分的寬度為米，則應滿足的方程是（ ）
A.
B.
春1
春2
福1
福2
春1
春1春1
春2春1
福1春1
福2春1
春2
春1春2
春2春2
福1春2
福2春2
福1
春1福1
春2福1
福1福1
福2福1
福2
春1福2
春2福2
福1福2
福2福2
C.
D.
答案：A
解：由題意可得方程為；
故選A．
10. 圖1是機場常用的一種圓錐形直飲水杯，這種設計是為了方便清潔和節(jié)省存儲空間．小明畫出這種紙杯的截面圖如圖2所示，其中點為杯底頂點，，分別表示杯口、水面，，．若杯中水的高度是杯子高度的，則水的體積與杯子容積的比最接近于（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：設杯子的高度為h，則杯中水的高度為，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴水的體積為；
杯子的體積為，
∴；
故選：D．
二、填空題（本大題共5個小題）把答案寫在答題卡相應的位置．
11. 反比例函數(shù)的圖象在第______象限．
答案：一、三
解：由反比例函數(shù)可知：，所以該函數(shù)圖象在第一、三象限；
故答案為一、三．
12. 已知，四邊形是平行四邊形，對角線，交于點．若增加一個條件，將它邊的數(shù)量關系特殊化，可使，則增加的一個條件可以是______．（寫出一個即可）
答案：（答案不唯一）
解：∵四邊形為平行四邊形，
∴當時，為菱形，
此時．
∴增加的一個條件可以是．
故答案為：（答案不唯一）．
13. 如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，小華想畫一個三角形，使它與關于原點位似，若點A對應點的坐標是，則點的對應點的坐標是______．
答案：
解：設，
∵與關于原點位似，若的對應點的坐標是，
點的對應點，
∴，，
∴，，
∴．
故答案為：．
14. 在學習了《圖形的相似》之后，同學們利用黃金分割原理設計圖案．如圖，四邊形是正方形，點是線段的黃金分割點（），以為邊在正方形內作正方形．按此方式繼續(xù)構造正方形，得到如圖所示的圖案．若的長為，則，兩點之間的距離為______．
答案：
解：連接，
∵正方形，
∴，
∵點是線段的黃金分割點（），
∴，
∵正方形，
∴，，
∴．
故答案為：．
15. 如圖，在矩形中，點是延長線上的一點，連接，，點是邊
的中點，的延長線交于點，若，，則線段的長為______．
答案：##
解：過點E作于H，交于P，如圖，
∵矩形，
∴，，
∴，
∵點是邊的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴即，
∴，
∴，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個小題）解答應寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1），
（2），
【小問1詳解】
將原方程化為它的一般形式，得，
∵，
∴，
∴，．
【小問2詳解】
∴，
∴，
∴或
∴，．
17. 質樸大方的中華燈、嶄新的漢白玉欄桿、花朵點綴的隔離帶……，翻新后的迎澤大橋成為了網(wǎng)紅打卡地，迎來了各地游客前來拍照留念．小徐和小亮收集了五張迎澤大橋的不同時期的圖片（除正面圖案外完全相同，分別記為A，B，C，D，E）．現(xiàn)將五張圖片背面朝上放置于桌面，攪勻后小徐先從中隨機抽取一張，不放回，小亮再從剩余圖片中隨機抽取一張，求小徐、小亮兩人取到的恰好都是新中國成立后的迎澤大橋圖片的概率．
答案：
解：所有可能的結果列表如下（樹狀圖同樣得分）：
由表格可知，共有20種可能出現(xiàn)的結果，且每種結果出現(xiàn)的可能性相同，其中兩人取到的恰好都是新中國成立后迎澤大橋圖片的結果有6種，
∴兩人取到恰好都是新中國成立后迎澤大橋圖片概率為．
18. 已知：如圖，中，，點是邊的三等分點（）．
第2張
第1張
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E

求作：線段的三等分點（）．
作法：①在邊上截??；
②分別以點和點為圓心，以長為半徑作弧，在內部交于點，連接；
③延長交于點．點即為線段的三等分點．
請你按上述作法完成作圖、標清字母，并說明這種作法的合理性．
答案：圖和字母見解析，過程見解析
解：如圖1：

理由：如圖2，連接．

由作圖可知，，
四邊形為菱形．
，即．
．
∵點是的三等分點，且，
．
∵，
．
．
點是的三等分點．
19. 問題情境：區(qū)間測速是指檢測機動車在兩個相鄰測速監(jiān)控點之間的路段（測速區(qū)間）上平均速度的方法．小聰搜集了某路段測速區(qū)間內若干小型汽車行駛的平均速度與行駛時間的數(shù)據(jù)如右表．
小型車輛
行駛時間
平均速度
建立模型：
（1）根據(jù)調查數(shù)據(jù)可知，該路段測速區(qū)間內小型汽車平均速度是行駛時間的函數(shù)．求與之間的函數(shù)關系式；
問題解決：
（2）若某輛小汽車通過該測速區(qū)間的行駛時間為50分鐘，求它的平均速度；
（3）已知該測速區(qū)間限速要求不超過，小汽車通過該測速區(qū)間時，行駛時間應控制在怎樣的范圍內？
答案：（1）；（2）它的平均速度是；（3）行駛時間應大于等于．
解：（1）方法1：根據(jù)題意，測速區(qū)間的路程是定值．
因為平均速度，
所以，汽車在該測速區(qū)間內的平均速度是行駛時間的反比例函數(shù)．
A
0.5
60
B
0.3
100
C
0.6
50
D
0.4
75
根據(jù)表格數(shù)據(jù)，當時，，所以測速區(qū)間路程為．
所以，與之間的函數(shù)關系式為．
方法2：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，，，，，
表中各組平均速度與行駛時間對應值均滿足，
所以，汽車在該測速區(qū)間內的平均速度是行駛時間的反比例函數(shù)．
與之間的函數(shù)關系式為；
（2）根據(jù)題意，得50分鐘，
將代入，
得，
答：它的平均速度是．
（3）方法一：解：將代入，
得，解得．
因為，且，
所以，隨的增大而減小，即當時，．
答：行駛時間應大于等于．
方法二：解：根據(jù)題意，，
所以．
因為，解得．
即當時，．
答：行駛時間應大于等于．
20. 12月13日，文化和旅游部網(wǎng)站發(fā)布擬確定19家旅游景區(qū)為國家級旅游景區(qū)的公示，山西省太原市晉祠天龍山景區(qū)在列，這將填補太原沒有級景區(qū)的空白．某經(jīng)銷商以每套18元的價格購進一批晉祠冰箱貼套裝，結合銷售記錄發(fā)現(xiàn)，若按每套30元的價格銷售，平均每天可售出60套；若每套的售價每降低1元，平均每天的銷售量增加10套．為了減少庫存，該經(jīng)銷商決定降價銷售．請通過計算判斷，經(jīng)銷
商每天銷售該冰箱貼套裝的利潤能否達到810元？如果能，請求出冰箱貼每套的售價；如果不能，請說明理由．
答案：能，銷售單價應定27元/個．
解：設每個冰箱貼的售價降低元，
根據(jù)題意，得．
整理，得．
解得．
此時，（元）．
答：經(jīng)銷商每天銷售該冰箱貼套裝的利潤能達到810元，銷售單價應定為27元/個．
21. 學科實踐——測量物體的高度
活動課題：借助標桿測量校園內路燈的高度．
活動工具：標桿、皮尺、激光儀等工具，
方案設計：如圖，表示路燈的高度．在路燈旁的水平空地上直立一根高米的標桿，調整地面上激光儀的位置點，使從點處發(fā)出的激光束恰好同時經(jīng)過，．（圖中各點均在同一豎立平面內）
測量數(shù)據(jù)：篤行小組按照上述方案，測得米，米．
問題解決：
（1）根據(jù)篤行小組的測量數(shù)據(jù)，計算路燈的高度．
質疑反思：在交流中，一位同學對篤行小組的方案提出質疑：如果路燈底部不可直接到達，將無法測得線段的長，因此不能求得路燈高度．篤行小組在此基礎上對原有方案作出補充：如圖，在點處再直立一根同樣高度的標桿，調整地面上激光儀的位置點，使從點處發(fā)出的激光束恰好同時經(jīng)過，．按照此方案，篤行小組的同學認為再測量一條線段，即可求出路燈的高度．
（2）他們計劃測量的線段是______，若用表示該線段的長，則路燈的高度可用含的代數(shù)式表示為______米．
答案：（1）路燈的高為米；
（2）；．
【小問1詳解】
解：，
，
，
米，米，米，
米，
，
解得：米；
【小問2詳解】
解：他們計劃測量的線段是，
，
，
，
又米，米，
，
整理得：，
，
，
，
又米，米，，
，
，
解得：．
故答案為：；
22. 綜合與實踐——數(shù)學拼圖活動
問題情境：圖1是一張菱形紙片，其中，．點是對角線上的一點，且，剪去（陰影部分）得到如圖2所示的不規(guī)則多邊形紙片．

數(shù)學思考：
（1）圖1中線段的長為______；
實踐操作：
（2）在圖2中，以連接某兩個頂點的線段為裁剪線，使經(jīng)過裁剪后的兩部分紙片可拼接為圖3所示的五邊形．在圖2畫出裁剪線，在圖3中畫出拼接線．（要求：拼接時，兩部分紙片無終隙、不重疊且沒有剩余）；
（3）圖4是一個與圖3全等的五邊形．請你在圖4中畫一條裁剪線，使該五邊形沿你所畫的裁剪線剪開后，可以拼得一個矩形．要求：只能用無刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡，標明裁剪線，并直接寫出所拼得的矩形的周長．
答案：（1）；（2）見解析；（3）圖見解析，周長為
解：如圖，作于點H，
∵，
∴．
∵菱形紙片，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：；
（2）如圖，為裁剪線，
如圖，或為拼接線，
或
（3）如圖，
如圖1，作于點G，
∵菱形紙片，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
由作圖可知，，，，
∴所拼得的矩形的周長．
23. 綜合與探究——課堂上，同學們探究正方形旋轉中的數(shù)學問題
問題情境：如圖1，已知正方形與正方形的邊長相同，點在對角線上（不與，重合），點在的延長線上，線段交邊于點，線段交邊于點．
初步思考：（1）“樂學”小組發(fā)現(xiàn)，改變點的位置，四邊形始終是正方形，請你證明；
動態(tài)分析：（2）如圖2，“善思”小組將正方形繞點順時針旋轉，線段交邊于點，線段交邊于點，對角線交邊于點．他們提出如下問題，請你解答：當時，猜想線段與之間的數(shù)量關系，并說明理由；
拓展探究：（3）“好問”小組在“善思”小組的基礎上繼續(xù)將正方形繞點順時針旋轉，設直線交邊于點，直線交邊于點．若正方形的邊長為6，，當直線經(jīng)過點時，直接寫出四邊形的面積．
答案：（1）見解析
（2），理由見解析
（3）11
（1）證明：如圖，
∵正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴四邊形矩形，
∴四邊形是正方形．
（2），
理由：如圖，
由（1）知：，
∵正方形，正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）如圖，過點E作于M，作于N，
∵正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴四邊形是矩形，
∴，， ，
∴
∴
∵
∴
∴，，
∴，
∴，
∵正方形
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．

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