第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）
1．的絕對值的相反數(shù)的倒數(shù)等于（ ）
A．B．C．D．12
【分析】本題考查絕對值，相反數(shù)，倒數(shù)，根據(jù)絕對值，相反數(shù)，倒數(shù)逐步求解即可．
【詳解】解：∵的絕對值是，的相反數(shù)是，的倒數(shù)是，
∴的絕對值的相反數(shù)的倒數(shù)等于．
故選：C
2．截止2025年2月14日，我國第三代自主超導量子計算機“本源悟空”全球訪問量突破2000萬次，刷新了我國自主量子算力服務(wù)規(guī)模記錄．其中數(shù)據(jù)“2000萬”用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的方法進行解題即可．本題主要考查了用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，為正整數(shù)，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：依題意，2000萬，
即數(shù)據(jù)“2000萬”用科學記數(shù)法表示為，
故選：C
3．已知，則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，解一元一次不等式．根據(jù)絕對值的性質(zhì)，可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
解得：，
則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是：
故選：A．
4．低碳出行已深入人心，嘉嘉某周連續(xù)5天使用交通工具碳排放量（單位：）數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示，則這5天碳排放量的中位數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】本題考查中位數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的意義和計算方法求出結(jié)果即可．理解中位數(shù)的意義是正確計算的前提．
【詳解】解；根據(jù)題意可得嘉嘉某周連續(xù)5天使用交通工具碳排放量為，
故中位數(shù)為4，
故選：B．
5．一張標準對數(shù)視力表由一些形狀相同但大小不一定相同的符號“E”組成的，我們可以借助平面直角坐標系中的位似變換來對符號“E”進行放大或縮?。鐖D，兩個符號“E”在第一象限，且關(guān)于原點O位似．若點，點，點，則點D的坐標是（ ）
A．B．C．D．
【分析】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或．利用以原點為位似中心的對應(yīng)點的坐標特征得到相似比為，然后把C點的橫縱坐標都乘以得到其對應(yīng)點D的坐標．
【詳解】解：∵兩個符號“E”在第一象限，且關(guān)于原點O位似，
而點，點，
∴相似比為，
∴點的對應(yīng)點D的坐標是，即．
故選：C．
6．學校組織七年級學生去紅色基地研學，需要租賃客車，若每輛車乘40人，則有26人不能上車；若每輛車乘45人，則有17個空座．設(shè)七年級的學生數(shù)為x，則以下列出的方程中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，是解題的關(guān)鍵．設(shè)七年級的學生數(shù)為x，根據(jù)車的總輛數(shù)相同，列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)七年級的學生數(shù)為x，根據(jù)題意得：
，
故選：D．
7．已知：如圖，在中，是弦，點A是的中點，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接．
點A是的中點
．
．
故選∶B．
8．如圖，圖1有4顆星，圖2有6顆星，圖3有9顆星，……，按照此規(guī)律圖10的星星顆數(shù)為（ ）
A．55B．58C．65D．69
【分析】本題考查了圖形的變化類—規(guī)律型，根據(jù)題目總結(jié)出圖形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意得出圖形中的數(shù)量的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意得，圖1有顆星，
圖2有顆星，
圖3有顆星，
圖10有顆星，
故選：B ．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）
9．方程的解是
【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【詳解】解：，
或，
解得：，，
故答案為：，．
10．計算： ．
【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，負整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，熟練掌握實數(shù)的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．先利用負整數(shù)指數(shù)冪，絕對值計算，再進行加減即可．
【詳解】解：
，
故答案為：．
11．若點是拋物線 上一點， ．
【分析】本題考查拋物線上的點，根據(jù)拋物線上的點的坐標滿足函數(shù)解析式，將代入，進行求解即可。
【詳解】解：把代入，得：；
故答案為：
12．如圖，用長的籬笆靠墻(墻足夠長)圍成一個面積是 的長方形雞場，雞場有一個的門，設(shè)與墻垂直的邊長為，所列方程是 ．
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意表示出墻的對面的一條邊的長是解答關(guān)鍵．
設(shè)與墻垂直的邊長為，根據(jù)籬笆總長為，表示墻的對面的一條邊的長，再利用長面積公式求解．
【詳解】解：設(shè)與墻垂直的邊長為，
則墻的對面的一條邊的長為，
所以列出方程為．
故答案為：．
13．社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為，，則旗桿的高度為 m．
【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，直接利用銳角三角函數(shù)，求出的值即可．
【詳解】解：由題意：，
∴；
故答案為：．
14．圓中，弦與直徑平行，點在上，當時，，則 ．
【分析】過點作，連接，垂徑定理，得到，斜邊上的中線得到，等邊對等角，結(jié)合平行線的性質(zhì)，推出，進而得到，得到，，推出四邊形為菱形，設(shè)，的半徑為，利用勾股定理列出方程進行求解，再根據(jù)結(jié)合余弦的定義，進行求解即可．
【詳解】解：過點作，連接，則：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，，，
∵，
∴四邊形為菱形，
∴，
設(shè)，的半徑為，則：，
在中，由勾股定理，得：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∵，
∴；
故答案為：．
15．如圖，在中，邊與x軸交于點C，且，某一反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，若點B的坐標為，，則這個反比例函數(shù)的表達式是 ．
【分析】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、等腰三角形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形，正確求得點A坐標是解答的關(guān)鍵．過A作軸于D，根據(jù)坐標與圖形性質(zhì)和三角形的面積公式求得，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)求得，進而求得 ，然后利用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】解：過A作軸于D，如圖，
∵點B的坐標為，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)這個反比例函數(shù)的表達式是，
∵這個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，
∴，
∴這個反比例函數(shù)的表達式是，
故答案為：．
16．如圖是一種筆記本電腦支架，它有到共個檔位調(diào)節(jié)角度．相鄰兩個檔位間的距離為．將某型號電腦打開置于水平托架上，屏幕側(cè)寬與托架側(cè)寬都是，是支點且．當支架調(diào)到檔時，；調(diào)到檔時，托架繞點旋轉(zhuǎn)至，支點旋轉(zhuǎn)至點時，，．若眼睛的水平視線恰好經(jīng)過點．測點的俯角為，則眼睛與屏幕的距離為 ．
【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，把所求的線段合理分割，整理成直角三角形中相關(guān)的邊是解決本題的關(guān)鍵．
延長交于點，作于點，可得矩形，從檔位到一共個檔位，之間有個間隔，所以，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得的長，作于點，根據(jù)勾股定理可得的長，進而可得的正弦值和余弦值，根據(jù)的正弦值和余弦值及的長可得的長和的長，即可求得的長，那么就求得了和的長，易得是等腰直角三角形，那么，即可求得的長度．
【詳解】解：延長交于點，作于點，可得矩形，
，，，
，，
，
到共個檔位調(diào)節(jié)，相鄰兩個檔位間的距離為，
，到共個檔位，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
解得：，
作于點，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
由題意得：，
，
，
，
，
故答案為：．
三、解答題（本大題共10題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．解不等式組．
【分析】本題主要考查解不等式組，掌握不等式的性質(zhì)，取值方法是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)不等式的性質(zhì)分別求出各不等式的解集，再根據(jù)取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解”即可求解．
【詳解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，
∴不等式組的解集為．
18．如圖，點，分別在，上，，，相交于點，．
求證：．
小虎同學的證明過程如下：
證明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步

(1)小虎同學的證明過程中，第___________步出現(xiàn)錯誤；
(2)請寫出正確的證明過程．
【分析】（1）根據(jù)證明過程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論．
【詳解】（1）解：則小虎同學的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯誤，
故答案為：二．
（2）證明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
19．先化簡，再求值：，其中．
【分析】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．
先將先括號內(nèi)通分，去括號，除式分子分解因式，再約分化簡，繼而將a的值代入計算可得．
【詳解】解：，
當時，
原式．
20．為提升學生的核心素養(yǎng)，長沙縣某教育教學聯(lián)合體開展了城鄉(xiāng)讀書交流活動．該教育教學聯(lián)合體的某成員校號召全體師生積極捐書．為了解所捐書的種類，校團委對部分書籍進行了隨機抽樣調(diào)查，所捐書籍分為四類：文學類（記作A類），藝術(shù)類（記作B類），科普類（記作C類），其他類（記作D類）．學生張華根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了如圖1，圖2所示的不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下面的問題：

(1)木次隨機抽樣調(diào)查的書籍的本數(shù)是________本；a=________；D類扇形圓心角的度數(shù)等于________°；
(2)通過計算，補全圖①中的條形統(tǒng)計圖．
(3)本次活動，該校一共捐書1000本，請你估計文學類的書籍約有多少本？
【分析】（1）由科普類（記作C類）書籍的數(shù)量及其所占百分比可得抽取的總數(shù)量，再求出A、D類各自所占百分比即可解題；
（2）用樣本容量減去其他類別的數(shù)量即可求出B類書的具體數(shù)量，從而補全圖形；
（3）用總數(shù)量乘以樣本中文學類書籍數(shù)量所占比例可得．
【詳解】（1）解：本次抽樣調(diào)查的書有（本）；
A類所占百分比為，
D類所占百分比為，
D類扇形圓心角的度數(shù)為，
故答案為：100，25，54；
（2）隨機抽樣調(diào)查B類書的數(shù)量為（本），
補全統(tǒng)計圖如下：

（3）估計文學類（D類）書籍的本數(shù)為（本）．
21．如圖所示，在平行四邊形中，于E，于F，，，，
(1)求的度數(shù)；
(2)求平行四邊形的周長．
【分析】本題主要查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)：
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，從而得到，再由，，可得，即可求解；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，在和中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．
【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴；
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
在和中，，
∴，
∵，，
∴，
∴平行四邊形的周長為．
22．如圖，已知的三個頂點的坐標分別為，，．
(1)將關(guān)于O點中心對稱，試作出對稱后的，并寫出點的坐標 ；
(2)計算四邊形的面積．
【分析】本題考查了利用中心對稱的性質(zhì)進行網(wǎng)格作圖，點的坐標，割補法求面積； 掌握中心對稱的性質(zhì)，能根據(jù)具體圖形割補成規(guī)則圖形是解題的關(guān)鍵，
（1）由中心對稱的性質(zhì)可作圖即可，由圖可得點的坐標；
（2）的面積可轉(zhuǎn)化為1個矩形的面積減去4個直角三角形的面積，即可求解；
【詳解】（1）解：如圖所示，△A1B1C1為所求．
由圖可知點的坐標
故答案為：；
（2）解：如圖所示：
．
23．如圖，為的直徑，C為上一點，D為的中點，過C作的切線交的延長線于E，交的延長線于F，連．
(1)求證：與相切；
(2)若，，求的半徑．
【分析】本題考查三線合一、切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)定理并能利用等面積法解決問題是關(guān)鍵．
（1）連接，由三線合一得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得即可；
（2）先利用勾股定理求得，設(shè)，再根據(jù)等面積法列即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
是的切線，
，
為的中點，，
，則垂直平分，
，
，，
，
，
與相切；
（2）解：，，
，
由（1）可知，，
，
設(shè)，
，
，
，
解得，
故的半徑為．
24．如圖，一條拋物線和直線l交于點O、B，其中O是平面直角坐標系的原點，B點坐標是，在拋物線上．
(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；
(2)求的面積；
(3)在直線l下方的拋物線上有一點P，當?shù)拿娣e取得最大值時，求此時P點的坐標．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到：待定系數(shù)法、一次函數(shù)表達式的確定、軸對稱、最值問題，綜合性強，難度大．
（1）把，，代入，用待定系數(shù)法即可求解；
（2）求直線l的表達式是：；過點A作軸交直線l于點D，求的面積和即可；
（3）過點P作軸交直線l于點M，則：M點的橫坐標和P點的橫坐標一樣，設(shè)，則，則，求
即可，進而可求坐標．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表示式為，
依題，它經(jīng)過，，，
則： ，
解得：，
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表示式為；
（2）解：因為直線l經(jīng)過原點，設(shè)直線l的表達式：，
把代入，
得：，
，
∴直線l的表達式是：；
過點A作軸交直線l于點D，
則：D點的橫坐標和A點的橫坐標一樣，都是3，
∴在中，令，則，
，
，的高均為3，
∴；
（3）解：過點P作軸交直線l于點M，則：M點的橫坐標和P點的橫坐標一樣，
設(shè)，則，則：
；
∴當時，取得最大值，
此時，，
P點坐標是．
25．小實家的新房戶型結(jié)構(gòu)平面圖如圖所示，主臥與次臥是兩個面積相等的正方形，陽臺是直徑與主臥邊長相等的半圓（取3，墻體厚度不計）．
(1)請算出小實家兩個臥室和客廳的面積總和．
(2)小實家打算將兩個臥室和客廳全部鋪上實木地板，衛(wèi)生間、廚房全部鋪上柔光磚，陽臺鋪木紋磚，鋪貼費用如下表：
問：小實家鋪貼地面的總金額是多少元（結(jié)果精確到百位，并用科學記數(shù)法表示）？
【分析】本題考查有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，根據(jù)圖形列出算式是解決本題的關(guān)鍵．
（1）先求出每個臥室的邊長，再根據(jù)圖形求出客廳和臥室的面積之和即可；
（2）根據(jù)題意列出算式即可求解．
【詳解】（1）解：∵主臥與次臥是兩個面積相等的正方形，
∴臥室的邊長為m，
∴客廳的長為m，
∴兩個臥室和客廳的面積總和；
（2）解：（元）
26．【模型建構(gòu)】
如圖1，已知線段，所在直線交于點O，其所夾銳角為．小明在學習了平移之后，將圖1中的線段，其中的一條線段經(jīng)過不同的平移變換后，得到多個以點A，B，C，D其中三個點為頂點的平行四邊形．例如：圖2是將線段沿方向平移線段的長度得到，圖3是將線段沿方向平移線段的長度得到．
【模型應(yīng)用】
（1）小明受到上述模型建構(gòu)的啟發(fā)，運用兩種方法構(gòu)造出平行四邊形解決下面問題：
如圖4，在中，，，點D，E分別在，延長線上，且，，求證：．
方法一：過點E作，且，連接，，將證明，轉(zhuǎn)化為證明；
方法二：過點C作，且，連接，，將證明，轉(zhuǎn)化為證明．
請你依照小明的解題思路，任選一種方法，寫出證明過程．
（2）小明又嘗試將(1)中問題進行變式提出了新問題，請你應(yīng)用【模型建構(gòu)】構(gòu)造平行四邊形的方法或者按照自己的思路解答下面問題：
如圖5，在中，，E為上一點，D為延長線上一點，且，，連接交于點G，求的度數(shù)．
（3）如圖6，在中，，D，E分別是邊，上的點，且于點H，若，， ，請直接寫出的長．
【分析】（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到；方法一：如圖1，過點作，且，連接，，證明四邊形是平行四邊形．得到，，再證明，，進而證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到即可．
方法二：如圖2，過點作，且，四邊形是平行四邊形．由，證明，得到，，再證明是等邊三角形得到即可．
（2）方法一：如答圖3，過點作，且，連接，證明四邊形是平行四邊形，得到，，再證明得到即可得結(jié)論；
方法二：如答圖4，過點作，且，連接，證明四邊形是平行四邊形得到，，再證明，得到，，進而求得即可；
（3）如答圖5，過點作，且，連接，作于點，證明四邊形是平行四邊，得到，，進而，則，在中，利用勾股定理分別求解即可．
【詳解】解：（1）證明：，，
，
方法一：如圖1，過點作，且，連接，
四邊形是平行四邊形．
，，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
是等邊三角形．
．
方法二：如圖2，過點作，且，連接，
四邊形是平行四邊形．
，，
，
，，
，
即，
，
，
，
，，
，，
，
是等邊三角形，
．
（2）方法一：如圖3，過點作，且，連接，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
；
方法二：如圖4，過點作，且，連接，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
（3）如圖5，過點作，且．連接，作于點，
四邊形是平行四邊形．
，，
，
，
在中，
由勾股定理，得．
于點，
，
中，有．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用和全等三角形的性質(zhì)，“一題多解”的方法運用是解答的關(guān)鍵．
類別
實木地板
柔光磚
木紋磚
平均費用（元/）
200
90
80

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2025年中考第一次模擬考試卷：數(shù)學（寧夏卷）（原卷版）

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