注意事項(xiàng)：
1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分.
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
3.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答題標(biāo)號(hào)：答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域或?qū)懺诒驹嚲砩蠠o(wú)效.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)全集，集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量滿足，則（ ）
A.-12 B.-20 C.12 D.20
4.《九章算術(shù)》對(duì)中國(guó)古代的數(shù)學(xué)發(fā)展有很大影響，它標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成.其中記載了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：今有牛?馬?羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗.羊主曰“我羊食半馬.”馬主曰“我馬食半牛.”今欲衰償之，問(wèn)牛主出幾何.意思是：牛?馬?羊吃了別人的禾苗，苗主人要求三牲畜的主人共賠償他五斗粟，羊的主人說(shuō)：“我的羊吃了馬一半的量.”馬的主人說(shuō)：“我的馬吃了牛一半的量.”現(xiàn)在若依據(jù)三牲畜吃苗的量按比例賠償苗主，牛主應(yīng)償還（ ）粟？（1斗=10升）
A.1斗升 B.1斗升 C.2斗升 D.2斗升
5.若隨機(jī)變量，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A.的密度曲線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)
B.的密度曲線關(guān)于對(duì)稱
C.
D.若，則
6.若，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.若線段的垂直平分線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則當(dāng)時(shí)，直線的方程為（ ）
A.或
B.或
C.或
D.或
8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，則（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.以長(zhǎng)為，寬為的矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的表面積可以為（ ）
A. B. C. D.
10.關(guān)于函數(shù)有下列命題，其中正確的是（ ）
A.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B.在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)
C.若在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
D.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
11.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為曲線.下列結(jié)論正確的有（ ）
A.當(dāng)時(shí)，是一個(gè)點(diǎn)
B.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離之和為時(shí)，是橢圓
C.當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，是拋物線
D.當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，是雙曲線
12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的解且，則的可能取值為（ ）
A. B. C. D.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知事件與事件互斥，如果，那么__________.
14.曲線在處的切線的傾斜角為，則__________.
15.雙曲線的焦距為，已知點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi)_________.
16.已知矩形垂直于點(diǎn)垂直于點(diǎn)，將矩形沿對(duì)角線折起，使異面直線成角，若四點(diǎn)都在球的表面上，則球的半徑為_(kāi)_________，此時(shí)兩點(diǎn)間距離為_(kāi)_________.（第一空2分，第二空3分）
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
17.（本題滿分10分）
如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面為中點(diǎn)，且.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的余弦值.
18.（本題滿分12分）
已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且__________.
從①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，并解答下列問(wèn)題.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記求數(shù)列的前項(xiàng)的和.
注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
19.（本題滿分12分）
在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其外接圓半徑為，.
（1）求；
（2）求的面積.
20.（本題滿分12分）
為不斷提升社區(qū)服務(wù)質(zhì)量，某物業(yè)公司監(jiān)察部門對(duì)其服務(wù)的甲?乙兩個(gè)社區(qū)開(kāi)展“服務(wù)滿意度大調(diào)查”，隨機(jī)對(duì)兩社區(qū)多名業(yè)主發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷，對(duì)物業(yè)公司服務(wù)評(píng)分，并繪制如下頻率分布直方圖，其中為非常不滿意，為不滿意，為一般，為基本滿意，為滿意，為非常滿意.
（1）求乙社區(qū)調(diào)查結(jié)果圖中的值并估計(jì)乙社區(qū)調(diào)查結(jié)果的分位數(shù)（精確到0.01）；
（2）已知調(diào)查問(wèn)卷中有來(lái)自甲社區(qū)業(yè)主.
①若在所有評(píng)分不足60分的調(diào)查問(wèn)卷中隨機(jī)抽取一份，請(qǐng)估計(jì)這份問(wèn)卷恰好來(lái)自甲社區(qū)業(yè)主的概率；
②為了解業(yè)主對(duì)物業(yè)公司服務(wù)的具體意見(jiàn)，在所有評(píng)分不足60分的調(diào)查問(wèn)卷中隨機(jī)抽取70份進(jìn)行細(xì)致分析，求這70份問(wèn)卷中來(lái)自甲社區(qū)業(yè)主的問(wèn)卷份數(shù)的期望.
21.（本題滿分12分）
已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為.直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)不在直線上，直線與交于點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線的斜率.
22.（本題滿分12分）
已知函數(shù)的最小值為0，其中.
（1）求的值；
（2）若對(duì)任意的，有成立，求實(shí)數(shù)的最小值；
（3）證明：.
2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試
高三數(shù)學(xué)（參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1-8CDAC BDAB
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.CD 10.ABC 11.AD 12.ABD
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 14. 16.5，或（第一空2分，第二空3分）
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
17.（本題滿分10分）
（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，
所以
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面.
（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，
的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，得.
設(shè)直線與平面所成角為，且，
所以，
所以，
即直線與平面所成角的余弦值為.
18.（本題滿分12分）
解：（1）由，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，即，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為.
選①，由成等差數(shù)列，
可得，即，解得，
所以
選②由成等比數(shù)列，得，
即，解得，
所以
選③，由，得，
所以
（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
記前項(xiàng)的和中的奇數(shù)項(xiàng)之和為，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
記前項(xiàng)和中的偶數(shù)項(xiàng)之和為，
故
19.（本題滿分12分）
解：（1）因?yàn)榍彝饨訄A半徑為1，根據(jù)正弦定理得，
即，
代入，即，
由于，則，所以，
則，解得.
（2）因?yàn)?，根?jù)正弦定理得，
即
由（1）知，所以，所以，
由余弦定理得，
解得.
所以
20.（本題滿分12分）
解：（1）由頻率之和為1得：，
解得：
這組的頻率為：這組的頻率為：，
，
故分位數(shù)在組，設(shè)分位數(shù)為，
則，解得
故分位數(shù)為89.09
（2）①任抽一份問(wèn)卷，是來(lái)自甲社區(qū)業(yè)主的問(wèn)卷記作事件A，
問(wèn)卷評(píng)分不足60分記作事件.
根據(jù)題意可知：
所以
，
所以，，
所以，從不足60分的問(wèn)卷中抽取一份，該份問(wèn)卷是來(lái)自甲社區(qū)業(yè)主問(wèn)卷的概率為
②70份評(píng)分不足60分的調(diào)查問(wèn)卷中來(lái)自甲社區(qū)業(yè)主的問(wèn)卷份數(shù)，
所以
21.（本題滿分12分）
解：（1）因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)為4，所以，
因?yàn)殡x心率為，所以，又，
所以，
所以橢圓的方程
（2）設(shè)，聯(lián)立，可得，
，
，
因?yàn)椴辉谥本€上，所以，即，
則直線方程為：，令，則，
因?yàn)橹本€與交于點(diǎn)，所以，
所以，
將代入，可得，
所以直線的斜率為2.
22.（本題滿分12分）
解：（1）
由得，
所以時(shí)在上單調(diào)遞增；
時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以，所以
（2）
設(shè)，所以對(duì)任意恒成立
①時(shí)，不符合題意
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
在上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，不符合題意
③當(dāng)時(shí)，在恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
，符合題意，
綜上，
所以的最小值為.
（3）由（2）知：令得：，
令得：，
當(dāng)時(shí)，（1）
當(dāng)時(shí)，，
所以，（2）
，（3）
，（n）
將（1）（2）（3），，（n）式相加得：
不等式左邊：
不等式右邊：
；
所以.

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