一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先寫出集合，再利用集合的交集運(yùn)算求解即可.
【詳解】，，
.
故選：B.
2. 命題“”的否定為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用全稱量詞命題的否定求解.
【詳解】全稱量詞命題否定是存在量詞命題，
因?yàn)槊}“”是全稱量詞的命題，
則“”的否定為“”.
故選：D.
3. 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列對事件的表述正確的是（ ）
A. 與互為對立事件B. 與互斥
C. 與相互獨(dú)立D. 更多優(yōu)質(zhì)資源可進(jìn)入 【答案】C
【解析】
【分析】列舉出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果，再逐一分析判斷各個選項(xiàng)即可.
【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
事件包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），
事件包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），事件包含的結(jié)果有：（正，反），
所以與不互斥，且不對立，故A、B錯誤；
又，所以，所以與相互獨(dú)立，故C正確，D錯誤.
故選：C.
4. 已知，下列不等式中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】對于AB：根據(jù)不等式的性質(zhì)分析求解；對于CD：舉反例說明即可.
【詳解】因，可得，則，故A錯誤，B正確；
例如，可得，故C錯誤；
例如，可得，即，故D錯誤；
故選：B.
5. 青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（ ）
A. 0.8B. 0.9C. 1.2D. 1.3
【答案】A
【解析】
【分析】由題中等式和對數(shù)與指數(shù)的互化運(yùn)算得出.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
代入數(shù)據(jù)可得，
故選：A.
6. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞增，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)可知，在內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則，
又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞減，
由在內(nèi)單調(diào)遞增，則；
由在內(nèi)單調(diào)遞減，則；
由在內(nèi)單調(diào)遞增，則；
綜上所述：，所以.
故選：D.
7. 如圖，在梯形中，直線交于點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幾何圖形，對向量做加減線性運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以,
所以=.
故選：D.
8. 設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，，則稱為高斯函數(shù).已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可知為奇函數(shù)，利用分離常數(shù)法可得的值域，由表示不超過的最大整數(shù)可求得的值域.
【詳解】由題意可知，且， ，
所以為奇函數(shù)，
又因?yàn)椋?，，所以的值域?yàn)椋?br>根據(jù)表示不超過的最大整數(shù)可知當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
綜上的值域?yàn)椋?br>故選：A
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 某公司為了解用戶對其一款產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了10名用戶的滿意度評分，滿意度最低為0分，最高為10分，分?jǐn)?shù)越高表示滿意度越高.這10名用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：.則下列說法正確的是（ ）
A. 這組數(shù)據(jù)眾數(shù)為7
B. 這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為8
C. 這組數(shù)據(jù)的極差為6
D. 這組數(shù)據(jù)的方差為3.2
【答案】ACD
【解析】
【分析】把這組數(shù)從小到大排列后，再根據(jù)相關(guān)數(shù)字特征的定義求出眾數(shù)、百分位數(shù)、極差和方差.
【詳解】這組數(shù)從小到大排列為.
對于A，眾數(shù)為，故A正確；
對于B，因?yàn)?，所以分位?shù)為第8個數(shù)據(jù)和第9個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，故B錯誤；
對于C，極差為，故C正確；
對于D，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
則方差，故D正確.
故選：ACD.
10. 若函數(shù)有三個零點(diǎn)，且，則下列說法正確的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由和是的兩個零點(diǎn)求得，，可判斷選項(xiàng)A和B；然后得到也是函數(shù)的零點(diǎn)，即，可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】和是函數(shù)的零點(diǎn)，
，解得，，故A錯誤，B正確；
，
令，得或或，
由題知，，即，故C正確；
，
即，，故D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的有（ ）
A. 當(dāng)時，函數(shù)的定義域?yàn)?br>B. 當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)?br>C. 函數(shù)有最小值的充要條件為
D. 若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A、B，當(dāng)時，直接求解函數(shù)的定義域和值域即可，對于C，換元后，只需要 即可，對于D，換元后利用復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性的方法求解即可.
【詳解】當(dāng)時，，
對任意恒成立，所以的定義域?yàn)椋?br>又因?yàn)?，所以，的值域?yàn)?，故A正確，B錯誤.
對于C，令，則，
當(dāng)時，有最小值，反之也成立，故C正確；
對于D，令，則，
當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增時，，解得，故D錯誤.
故選：AC.
12. 數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)分別為三角形的外心?重心?垂心，且為的中點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由題意可知：可得，根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合三角形各心得性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】
因?yàn)槭堑闹匦模堑耐庑?，是的垂心?br>且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，所以，
對于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A不正確；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)槭堑闹匦模瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，
又因?yàn)?，則，
即，故選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)C：設(shè)點(diǎn)是的外心，所以點(diǎn)到三個頂點(diǎn)距離相等，
即，故選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D：
，故選項(xiàng)D正確；
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用已知條件得，利用向量的線性運(yùn)算結(jié)合可得出向量間的關(guān)系.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可列關(guān)系式求解.
【詳解】由題意可得，解得，
故答案為：
14. 已知甲?乙?丙三人投籃的命中率分別為，，，若甲?乙?丙各投籃一次（三人投籃互不影響），則至少有一人命中的概率為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，事件和它的對立事件概率間的關(guān)系，求出結(jié)果.
【詳解】甲?乙?丙三人投籃的命中率分別為，，，
甲?乙?丙各投籃一次，則他們都沒有命中的概率為，
則至少有一人命中的概率為.
故答案為：.
15. 已知實(shí)數(shù)，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】把變形為，再利用乘“1”法和基本不等式求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時即時，取等號.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)，若方程有4個不同的實(shí)數(shù)根且，則的取值范圍為__________；的取值范圍為__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，并作出函數(shù)圖象，結(jié)合方程根的意義及對勾函數(shù)單調(diào)性求解即得.
【詳解】函數(shù)的圖象對稱軸是，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，
在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，
由，得，因此方程的根即為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，
觀察圖象知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有4個交點(diǎn)，
因此方程有4個不同的實(shí)數(shù)根，的取值范圍是；
顯然，當(dāng)時，或，于是，
由，得，即，則，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，即，
則，所以的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及同一函數(shù)的幾個不同自變量值對應(yīng)函數(shù)值相等問題，可以轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)問題，結(jié)合函數(shù)圖象性質(zhì)求解.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 平面內(nèi)給定兩個向量，.
（1）若，求實(shí)數(shù)；
（2）若向量為單位向量，且，求的坐標(biāo).
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行關(guān)系，列出方程，求出實(shí)數(shù)；
（2）根據(jù)平行關(guān)系和模長，列出方程組，求出的坐標(biāo).
【小問1詳解】
，，
因?yàn)椋?br>所以，解得；
【小問2詳解】
設(shè)向量，因?yàn)橄蛄繛閱挝幌蛄浚寓伲?br>又因?yàn)椋?br>所以②，
由①②解得或，
所以或.
18. 在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并回答下列問題.
設(shè)全集，__________，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)分式不等式，絕對值不等式，對數(shù)函數(shù)的定義域即可分別求出三種情形下的集合；
（2）對集合中不等式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)充分必要條件和集合包含關(guān)系即可求解.
【小問1詳解】
若選①：，，
即，等價于，解得，
，
因?yàn)?，所以?br>，
；
若選②：，，解得，，
因?yàn)?，所以?br>，
；
若選③：，解得，，
因?yàn)?，所以?br>，
；
【小問2詳解】
由（1）知，
，
因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集.
（i）若，即，此時，
所以，等號不同時取得，解得.
（ii）若，即，則，不合題意舍去；
（iii）若，即，此時，
所以，等號不同時取得，解得.
綜上所述，的取值范圍是.
19. 已知且.
（1）求函數(shù)的解析式，并寫出函數(shù)圖象恒過的定點(diǎn)；
（2）若，求證：.
【答案】（1），
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）用換元法令，代入函數(shù)解析式即可求出；
（2）作差，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明.
小問1詳解】
令，得，則，
所以
令，得，且，
因此，函數(shù)圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.
【小問2詳解】
證明：因?yàn)?br>又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以
又由，可得，
所以，即
即.
20. 某高中為了解木校高一年級學(xué)塵的綜合素養(yǎng)情況，從高年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生作為樣本，進(jìn)行了“綜合素養(yǎng)測評”，根據(jù)測評結(jié)果繪制了測評分?jǐn)?shù)的頻率分布直方閣和頻數(shù)分布表，如下圖.
（1）求的值；
（2）由頻率分布直方圖分別估計(jì)該校高一年級學(xué)生綜合素養(yǎng)成績的中位數(shù)（精確到0.01）?平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（3）在選取的樣本中，從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，求抽取的兩名學(xué)生成績屬于同一組的概率.
【答案】（1），，
（2）平均數(shù)，中位數(shù)為
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合頻率和頻數(shù)之間的關(guān)系分析求解；
（2）根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖運(yùn)算求解；
（3）求低于60分的各組人數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概型分析求解.
【小問1詳解】
由圖知第三組的頻率為0.25，又由第三組的頻數(shù)為10，所以，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可知：每組的頻率依次為，
平均數(shù)，
設(shè)中位數(shù)為，且，可知，
所以，解的.
【小問3詳解】
記事件：從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人成績屬于同一組，
由（1）知樣本中位于內(nèi)的有兩人，分別記為；
位于內(nèi)的有四人，分別記為；
從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人的樣本空間
，，
共包含15個樣本點(diǎn)，
所以共包含7個樣本點(diǎn)，
所以，即從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人成績屬于同一組的概率為.
21. 某高校為舉辦百年校慶，需要氦氣用于制作氣球裝飾校園，化學(xué)實(shí)驗(yàn)社團(tuán)主動承擔(dān)了這一任務(wù)．社團(tuán)已有的設(shè)備每天最多可制備氦氣，按計(jì)劃社團(tuán)必須在天內(nèi)制備完畢．社團(tuán)成員接到任務(wù)后，立即以每天的速度制備氦氣．已知每制備氦氣所需的原料成本為百元．若氦氣日產(chǎn)量不足，日均額外成本為（百元）；若氦氣日產(chǎn)量大于等于，日均額外成本為（百元）．制備成本由原料成本和額外成本兩部分組成．
（1）寫出總成本（百元）關(guān)于日產(chǎn)量的關(guān)系式
（2）當(dāng)社團(tuán)每天制備多少升氦氣時，總成本最少？并求出最低成本．
【答案】（1）
（2）當(dāng)社團(tuán)每天制備氦氣時，總成本最少，最低成本為百元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)生產(chǎn)天數(shù)要求，可確定的取值范圍；計(jì)算可得日產(chǎn)量不足和大于等于時，氦氣的平均成本，由此可得關(guān)系式；
（2）分別在、的情況下，利用基本不等式和二次函數(shù)求最值的方法可求得最小值，綜合兩種情況可得結(jié)論.
【小問1詳解】
若每天生產(chǎn)氦氣，則需生產(chǎn)天，，則；
若氦氣日產(chǎn)量不足，則氦氣的平均成本為百元；
若氦氣日產(chǎn)量大于等于，則氦氣的平均成本為百元；
.
【小問2詳解】
當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），
當(dāng)時，取得最小值；
當(dāng)時，，令，則，
，則當(dāng)，即時，取得最小值；
綜上所述：當(dāng)社團(tuán)每天制備氦氣時，總成本最少，最低成本為百元.
22. 已知函數(shù)，且滿足.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)圖像與直線的圖像只有一個交點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由即可求出k的值.
（2）將函數(shù)的圖像與直線的圖像只有一個交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為只有一個解進(jìn)行求解.
（3）由題意知，，利用換元法，令，，轉(zhuǎn)化為，，討論三種情況，其中時，再討論對稱軸 ，分和兩種討論求解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，?br>所以，故.
【小問2詳解】
由題意知方程只有一個解，即方程
只有一個解，令，則函數(shù)的圖像與直線有且只有一個交點(diǎn)
任取且，則，所以即有
所以，
故在上為減函數(shù)，
又因?yàn)椋?br>所以，故.
【小問3詳解】
令，又因?yàn)樗裕瑒t
（i）當(dāng)時，在上為增函數(shù)，
所以不符合題意
（ii）當(dāng)時，對稱軸為，
所以在上為增函數(shù)，
故解得（舍）
（iii）當(dāng)時，開口向下，對稱軸為，又因?yàn)?br>若，即時，解得
若，即時，解得（舍）
綜上所述，.4
10
12
8
4

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