數(shù) 學(xué)
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若集合，則（ ）
A. B.
C. D.
2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量，若，則（ ）
A. B. C. D.40
4.一個近似圓臺形狀的水缸，若它的上?下底面圓的半徑分別為和，深度為，則該水缸灌滿水時的蓄水量為（ ）
A. B. C. D.
5.在黨的二十大報告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號召，近期將安排甲?乙?丙?丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為（ ）
A. B. C. D.
6.已知函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，，則（ ）
A. B. C.0 D.
7.三相交流電是我們生活中比較常見的一種供電方式，其瞬時電流（單位：安培）與時間（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系式：（其中為供電的最大電流，單位：安培；為角速度，單位：弧度/秒；為初始相位），該三相交流電的頻率（單位：赫茲）與周期（單位：秒）滿足關(guān)系式.某實驗室使用10赫茲的三相交流電，經(jīng)儀器測得在秒與秒的瞬時電流之比為，且在秒時的瞬時電流恰好為1.5安培.若，則該實驗室所使用的三相交流電的最大電流為（ ）
A.1安培 B.安培 C.2安培 D.3安培
8.已知橢圓的左?右焦點分別為為上一點，滿足，以的短軸為直徑作圓，截直線的弦長為，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.下列說法正確的是（ ）
A.數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是4
B.若數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為
C.隨機變量服從正態(tài)分布，若，則
D.隨機變量服從二項分布，若方差，則
10.已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A.
B.
C.當(dāng)時，取最大值
D.當(dāng)時，的最小值為27
11.已知是上的兩個動點，且.設(shè)，，線段的中點為，則（ ）
A.
B.點的軌跡方程為
C.的最小值為6
D.的最大值為
12.設(shè)函數(shù)，則（ ）
A.
B.函數(shù)有最大值
C.若，則
D.若，且，則
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，第16題第一問2分，第二問3分，共20分.
13.在的展開式中的系數(shù)為__________.
14.已知直線是曲線的一條切線，則__________.
15.已知，寫出符合條件的一個角的值為__________.
16.已知直線過拋物線的焦點，且與交于兩點.過兩點分別作的切線，設(shè)兩條切線交于點，線段的中點為.若，則__________；面積的最小值為__________.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（10分）
已知函數(shù)稱為高斯函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，如.若數(shù)列滿足，且，記.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前2024項和.
18.（12分）
一次跳高比賽中，甲同學(xué)挑戰(zhàn)某個高度，挑戰(zhàn)規(guī)則是：最多可以跳三次.若三次都未跳過該高度，則挑戰(zhàn)失?。蝗粲幸淮翁^該高度，則無需繼續(xù)跳，挑戰(zhàn)成功.已知甲成功跳過該高度的概率為，且每次跳高相互獨立.
（1）記甲在這次比賽中跳的次數(shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望；
（2）已知甲挑戰(zhàn)成功，求甲第二次跳過該高度的概率.
19.（12分）
已知四棱錐的底面為矩形，，過作平面，分別交側(cè)棱于兩點，且
（1）求證：；
（2）若是等邊三角形，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.
20.（12分）
記的內(nèi)角的對邊分別為，已知是邊上的一點，且.
（1）求證：；
（2）若，求.
21.（12分）
在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左頂點為，離心率為，焦點到漸近線的距離為2.直線過點，且垂直于軸，過的直線交的兩支于兩點，直線分別交于兩點.
（1）求的方程；
（2）設(shè)直線的斜率分別為，若，求點的坐標(biāo).
22.（12分）
已知函數(shù).
（1）若的最小值為1，求；
（2）設(shè)為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
機密★啟用前
?？谑?024屆高三摸底考試數(shù)學(xué)試題
參考答案
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.24 14.2 15.（答案不唯一） 16.4，4
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（10分）
【解】（1）因為，
所以，
所以，
所以數(shù)列的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列.
當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則，
當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則，
所以.
（2）設(shè)的前項和為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以.
18.（12分）
【解】記“第跳過該高度”分別為事件.
（1）的可能取值為，且
；
；
.
所以的概率分布為
所以，.
（2）“甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功”為事件B，則
所以.
答：甲挑戰(zhàn)成功，且第二次跳過該高度的概率.
19.（12分）
【解】（1）證明：因為四邊形是矩形，所以.
又平面平面，
所以平面.
因為，平面，
所以.
因為，所以.
因為四邊形為矩形，所以，
又平面且，
所以平面.
因為平面，
所以.
（2）設(shè)中點分別為，
因為是等邊三角形，所以.
因為四邊形是矩形，點分別為的中點，
所以，且.
由（1）可知，平面，
又平面，所以，所以.
以為原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立
空間直角坐標(biāo)系，
則，
.
設(shè)，
則，
所以.
設(shè)平面的一個法向量為，
又，
由得
解得
不妨取，可得平面的一個法向量為.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則.
設(shè)，
則.
因為，所以，所以，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.
20.（12分）
【解】（1）在中，由正弦定理，得，
所以，
同理.
代入，得，
在中，由正弦定理，得，
所以，即.
因為是邊上的一點，
所以，即.
（2）因為，所以，
在中，由余弦定理，得，
同理，.
因為，所以，
化簡，得.
在中，由余弦定理，得，
所以，
所以.
21.（12分）
【解】（1）不妨設(shè)雙曲線的焦點坐標(biāo)為，漸近線方程為.
由題意可得：
解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）由題意直線的斜率不為0.
設(shè)直線方程為，
由，消去得：，
由，得：.
設(shè)，則.
由題意可知，則直線.
令，得，所以坐標(biāo)為，
同理，坐標(biāo)為，
所以.
因為，所以，
整理得：.
又
，
所以.
因為，所以，即，
所以點的坐標(biāo)為.
22.（12分）
【解】（1）函數(shù)的定義域為，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)增.
又，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以.
（2）由，得，
即即.
由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
不妨設(shè).
令，
則.
當(dāng)時，，
所以當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，即，
又，所以.
因為，當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，所以，
因為，所以，題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
C
B
A
D
A
題號
9
10
11
12
答案
BCD
ABD
BC
ACD
1
2
3

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